湖北黄石市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试卷（含答案）

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项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A C B B D C
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．3 13. 14. 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解：(1) 设圆心为 ，因为圆与 轴相切，所以半径 .
圆过点 ，则 .
化简得： ，解得 或 (舍去).
故 .
圆 C 的标准方程为 . 分
(2) 圆 ，圆心 ，半径 .
直线 与圆相交，圆心到直线的距离 .
弦长 。
所以 的面积 .
13 分
16.解：（1）由 ，
两式相减得 (代入 时也满足题设条件) 分
数列 的前 项和
.
..7 分
（2）由（1）可知
，
分
则 前 项 和 为
. 分
17.解：（1）在图 1 中，连接 ，交 于点 ，
因为四边形 为边长是 的正方形，则 ，
在图 2 中，则有 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ． 分
（2）因为 是直二面角，且 是二面角 的平面角，
所以 ，又 ，
故分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如
图
由题意， 、 、 、
．
则 ， ， ，
设 ，则 ，
则 ，
平面 的一个法向量为 ，
由题意，得 .
所以 ，解得
分
时， ，设平面 的法向量为
，
则 ，即 ，令 3，则 .∴ ，设平
面 所成角为
， 时，同理，取 ， .
综上，平面 所成角的余弦值为 或 ．
分
18. 解： (1)由 为等差数列，设公差为 ，则有
，由 ，故 ………3 分
由
（1）-（2）得
则有 ，由 为等比数列，则 的公比为 4，故 所以
………………………………….6 分
（2） ，则有
①-②得：
…………………11 分
(3) ，若存在三项 成等比，则有 ，所以
由 成等差数列，则 ，故有
所以 …………………………13 分
由 当且仅当 时取等号，这
与 相矛盾，故不存在这样的三项满足条件 ………………… 分
19.解：（1）由 ∥ ，则 ，故有
，
，故 的轨迹为以
为焦点，长轴长为 的椭圆，则方程为：
…………………5 分
（2）（i）由题意知 ，则有
两者相乘得：
则 ，故 ，则椭圆方程为：
…………….10 分
（ii）设 ，则记 ，
则有
，又 E 在椭圆上，则有 ，
故有 ，……………13 分
不妨设 的斜率为 ，则 方程为
同理可得
，则
当
且仅当 时取等号. …………………….17 分