浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 与 终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用周期性写出终边相同的正角，即可得.
【详解】由 ，显然与 、 的终边相同.
故选：A
2. 已知点 在角 的终边上，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知求出 即得解.
【详解】点 在角 的终边上，
所以 ，
则 ；
故选：B
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】先利用诱导公式对 进行转化，再利用两角和的正弦公式计算求解．
【详解】 ，
，故 C 正确．
故选：C．
4. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出 的关系即可得解.
【详解】由题意 ， ，
所以 ，
即 ，
故选：D
5. 以下函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用逐一验证法，根据常用函数的单调性以及奇偶性可直接判断即可.
【详解】对于 A，由于 是奇函数，故 A 错误；
对于 B，由 ，
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知 为偶函数，且 在 上是增函数，故 B 正确；
对于 C，由 ，
知 为偶函数，且 在 上不单调，故 C 错误；
对于 D，当 时， 在 上递增，在 上递减，故 D 错误.
故选：B
6. 某尖拱结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图， 和 所在圆的圆心都在线段 上，
若 ，则 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过 作 ，设 的圆心为 O，半径为 ，表示出 ，由勾股定理得 ，
再进一步求出 ，即可求.
【详解】过 作 ，设 的圆心为 O，半径为 ，则 ，
由题意，在 中 ，其中 且 ，
所以 ， ，
在直角三角形 中 ，所以 ，
所以 ，而 ，
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若 ，则 ，而 ，故 ，
所以 ，与题图中 矛盾，故 ，所以
故选：A.
7. 函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用复合函数单调性结合对数函数定义域列式计算求出参数.
【详解】函数 在区间 上单调递减，
令 ，
因为 单调递增，
所以 在区间 上单调递减且 ，
则 ，所以 .
故选：D.
8. 已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的单调性判断 AB，利用放缩法结合基本不等式判断 C，假设 使得
，利用三角恒等变换化简判断 D.
【详解】选项 A：因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
结合函数图象可得存在 使得 ，此时 ，A 说法错误；
选项 B：当 时， ，即 ，
因为 在 单调递减，所以当 时， ，B 说法错误；
选项 C：当 时， 且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，而 ，
所以 ，
当 时， 且 ，
所以 ，
同理可得 ，
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当 时， ，
综上 ，C 说法正确；
选项 D：假设 使得 ，
则 ，
由函数图象易知当 时 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
即 恒成立，与假设矛盾，
所以不存在 使得 ，D 说法错误；
故选：C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分．
9. 以下两个函数 与 ，其中 可以通过 平移得到的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
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【解析】
【分析】分析函数的平移，伸缩，对称变换即可.
【详解】对于选项 ，两个函数斜率不同，不能通过平移得到，故 错误.
对于选项 ， ，是对 向左平移
个单位，再向上平移四个单位得到的，故 正确.
对于选项 ， ，
则 ，所以可将 向左平移 个单位即可得到 ，故 正确.
对于选项 ， ，是对 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，故 正确.
故选：
10. 已知函数 向左平移 个单位长度后得到一个偶函数，则关于 的说
法正确的是（ ）
A. 为函数 的一个零点 B. 函数 的图象关于 对称
C. 方程 在 上有三个解 D. 函数 在 上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合正弦型函数的零点、对称性、单调性、特殊角的余弦函数值
逐一判断即可.
【详解】函数 向左平移 个单位长度后得到函数
.
由题意可知函数 偶函数，
所以 ，
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因为 ，所以 ，即 ，所以 .
A：因为 ，所以本选项说法正确；
B：因为 ，
所以函数 的图象关于 对称，所以本选项说法正确；
C：当 时， ，
由 ，
所以方程 在 上有两个解，因此本选项说法不正确；
D：当 时， ，
显然 ，
所以函数 在 上单调递减，因此本选项说法正确.
故选：ABD
11. 已知函数 ．若 与 的图象有且只有三
个交点 ，且 ．则（ ）
A. B. 当 时， 在 上恒成立
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先对 进行化简，然后分析 与 图象特征，根据图象交点情况判断选项 A；通过代
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入 ，比较 与 在 上 大小判断选项 B；根据函数的对称性判断选项 C；根据数值的关
系判断选项 D.
【详解】对于 A， ，因为 ，
当 时， ，所以 与 图象最多有一个交点， ，故 A 正确；
对于 B，当 时， ，在同一坐标系内作出 与 的图象，如图，
观察图象可得 在 上恒成立（仅在端点处相等），故 B 错误；
对于 C，因为函数 的图象关于 对称，
对于 ，由 ，得 ，
即 的对称轴方程为 ，故函数 的图象也关于 对称，
又 与 图象有且只有 3 个交点，且 ，则 ， ，故 C 正确；
对于 D，设 ，因为 ，则 ， ，
由 ，得 ，
即 ， 。，
又 ， ，
可得 ，
-故 ，D 正确，
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故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系中的商关系进行求解即可.
【详解】 .
故答案为：
13. 已知函数 在 的最大值和最小值分别为 ，则 ___________．
【答案】2
【解析】
【分析】设 ， ，证明 是奇函数，由奇函数的对称性求结论．
【详解】设 ， ，
则 ，
，
所以 是奇函数，
又 ， ，
所以 ， ．
故答案为： ．
14. 已知关于 的方程 在 上有两个不同的实数解 ，则
___________．
【答案】
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【解析】
【分析】利用辅助角公式，方程可变形为 ，其中锐角 满足 ，
，则有 ，结合倍角公式求解即可.
【详解】 ，
其中锐角 满足 ， ，
方程 在 上有两个不同的实数解 ，
即方程 在 上有两个不同的实数解 ，
不妨设 ，由 ，
得 ， ， ，
所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知 为锐角， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式计算求解；
（2）先利用已知条件求出 ，进而求出相关角的正、余弦值，再利用两角和的正弦公式计算求解．
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【小问 1 详解】
，
．
【小问 2 详解】
为锐角，
，
又 ，
，
， 为锐角，
，
．
16. 已知函数 满足：
① 相邻两条对称轴的距离为 ；② 在 处取得最大值 2．
（1）求 解析式及其单调递增区间；
（2）若 ，求满足 的 的值．
【答案】（1） ，递增区间为 ；
（2）
【解析】
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【分析】（1）由三角函数图像的性质可得振幅 ，周期 ，再将点 代入运算，结合
求解即可，应用正弦函数单调区间计算求解；
（2）由 可得 ，再结合 ，即可求得 的值.
【小问 1 详解】
由题意知，最大值 ，周期 ，∴ ，∴ ．
将点 代入得： ，
则 ，又 ，故 ，
故 ，
因为 ，所以 ,
所以 的单调递增区间为
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，且 .
则 ，
所以 ，所以
17. 已知函数 为奇函数．函数 满足 ，且 ．
（1）求 和 的解析式；
（2）若 在区间 上的最小值为 2，求 的值．
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【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求出 解析式，从而得到 的解析式；
（2）结合（1）可得 ，利用单调性的定义得到 在 上单调递
增，从而得到 ，令 ， ，化为 在区间 的最
小值为 ，结合二次函数的单调性讨论即可求解.
【小问 1 详解】
由题可得 的定义域为 ,
因为函数 为奇函数，
所以 ，解得： ,
当 时， ，则函数 为奇函数，
所以 的解析式为 ，则 ，
当 ，即 时，
由 可得：
【小问 2 详解】
由 ，
则 ,
由于 ， ，不妨设 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，则 ，
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所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以 在区间 上的最小值为 2，
等价于 在区间 的最小值为 ，
由于 的对称轴为 ，
当 ，即 ， ，解得 ，满足条件；
当 ，即 ， ，方程无解；
当 ，即 ， ，解得 ，不满足条件；
综上： .
18. 已知函数
（1）若 ，求 的值；
（2）若 在 上有两个不等的实数根，求 的取值范围；
（3） 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） 或 1
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出 的值，再代入 中，求出 ，进而得到关于 的方程求解即可；
（2）根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质，列出关于 的不等式组，求解即可；
（3）先由必要性探路求得 ，再由函数的单调性结合题意证明充分性即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
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，
由 ，解得 或 1；
【小问 2 详解】
因为函数 在 上有两个不相等的实根，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ；
【小问 3 详解】
在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
令 ，
由题意， ，解得 ，
①当 时， 单调递增，
所以 ，符合题意；
②当 时，要使 恒成立，即证 ，
令 ，由 可得 ，
所以 在 时单调递增，所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 恒成立，所以 符合题意；
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综上， 的取值范围为 .
19. 已知 的最小正周期为
（1）求函数 的表达式与最值；
（2）求证：函数 有且只有一个零点 ；
（3）将函数 横坐标先向左平移 个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的 ，得到函数 ，
求证： ，其中 为（2）中函数 的零点．
【答案】（1） ， 的最大值为 1，最小值为 .
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式，化简整理，可得 解析式，根据周期，求得 值，即可
得答案；
（2）分 和 讨论，再结合零点存在性定理证明即可；
（3）利用换元法转化为证明 ，从而证明左边不等式成立，对右边不等式转化为证明
，结合 即可证明.
【小问 1 详解】
，
因为 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，
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所以 ，则 的最大值为 1，最小值为 .
【小问 2 详解】
由题意可知 ，定义域 ．
①当 时， 单调递增，
且 ， ，
②当 时，由 ，所以 ，
而 ，所以 在 恒成立，
综上，存在唯一的 ，使得 ，且 ．
【小问 3 详解】
由题意可知， ，
①下证不等式右边： ，
因为 ，代入上式，
要证（ ）式成立，只要证 ，
令 ，则
，
上式化为证 ，即证： ，
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由 ，显然成立．
②下证不等式左边：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
下证 ，即证 ，即 ．
由于 ，所以 ，
所以 ，得证．