福建泉州市南安市2025年秋季初中阶段期末教学诊断样卷B卷 九年级数学上学期期末试题（试卷+解析）

这是一份福建泉州市南安市2025年秋季初中阶段期末教学诊断样卷B卷 九年级数学上学期期末试题（试卷+解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
2. 方程一次项系数是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列抛物线的开口方向向下的是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 下列线段、、、不是成比例线段是（ ）
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
5. “煮熟鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是（ ）
A. 不可能事件B. 随机事件C. 必然事件D. 无法确定
6. 下列运算错误的是（ ）．
A B.
C. D.
7. 方程的两根之和是（ ）．
A. B. C. D.
8. 小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性．当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离是（ ）
A. B. C. D.
9. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）
A. B. 且
C. D. 且
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若，则的值为_____．
12. 在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到）
13. 抛物线的顶点坐标是_____．
14. 已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____．
15. 如图，在中，是边上的中线，是重心，过点作，交于点，若，则______．
16. 某公园有一秋千如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差米，假设秋千的绳索拉得很直．则秋千绳索的长度是_____米．（请用含和的式子表示）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 解方程：．
19. 在某中学校园文化艺术节书画摄影展览中，学校要求每个班级精选2幅作品参赛（作品可以是绘画、书法或摄影类）．已知该校九年级（1）班共准备了4幅优秀作品，其中绘画作品2幅、书法作品1幅、摄影作品1幅．先给作品编号，绘画作品为，书法作品为S，摄影作品为Y．
（1）从4幅优秀作品随机抽取1幅作品恰好是摄影作品的概率是________；
（2）从4幅作品中随机抽取2幅作品参赛，求抽到的2幅作品中至少有1幅是绘画作品的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）．
20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和．
（1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为点，请在所给的网格图中画出．
21. 为落实劳动教育，学校计划在操场靠墙区域开辟一块面积为的长方形“校园微农场”劳动实践基地．已知墙的最大可用长度为，基地另外三边用总长为的篱笆围成，且在平行于墙的一边设置两个开口宽为的进出门（如图）方便师生进出管理，设垂直于墙的长方形的边长为，求的值．
22. 抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上且位于第一象限，连接、，若的面积为10，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是抛物线的对称轴上一点，连接、，当最小时，求Q的坐标．
23. 综合实践：
24. 如图，直线与轴，轴分别相交于点和点，，点在的内部，连接，过点作于点，交于点．已知，．
（1）求的长；
（2）求证：点是的中点；
（3）求的长．
25. 如图1，正方形的面积为36，点E是边上的一个动点，点F是的中点．
（1）设的长为m，的面积为S，求S与m的函数关系式；（不要求写出自变量m的取值范围）
（2）如图2，点G是上的一个动点，连结并延长交的延长线于点H，过点D作于点M，交的延长线于点N，连结，若，．
①求的值；
②求的长．试验种子数（粒）
发芽频数
发芽频率
探究主题
一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境
在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证
（1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想：
①当，时，例如，此方程的解是________；
②当，时，例如，此方程的解是________；
这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明
（2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸
（3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．
福建泉州市南安市2025年秋季初中阶段期末教学诊断样卷B卷九年级数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：A．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2. 方程的一次项系数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程项与系数的判断，掌握好一元二次方程的概念是关键．
将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式中一次项系数的定义确定答案．
【详解】解：将方程移项化为一元二次方程的一般形式为．
∴该方程的一次项为，对应的一次项系数是．
故选：B．
3. 下列抛物线的开口方向向下的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查抛物线开口方向的判断，掌握好二次函数的图象与系数的关系是解题关键．
抛物线（）的开口方向由二次项系数的符号决定，时开口向上，时开口向下，逐一判断各选项中二次项系数的符号即可．
【详解】解：对于选项A：二次项系数，开口向上，故A错误；
对于选项B：二次项系数，开口向上，故B错误；
对于选项C：二次项系数，开口向下，故C正确；
对于选项D：二次项系数，开口向上，故D错误．
故选：C．
4. 下列线段、、、不是成比例线段的是（ ）
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，四条线段成比例需满足最长线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此逐一验证各选项即可．
【详解】解：成比例线段的判定规则：对于四条线段、、、，若，则四条线段成比例．
∵选项A中，，∴是成比例线段
∵选项B中，，∴是成比例线段
∵选项C中，，∴是成比例线段
∵选项D中，，，，∴不是成比例线段
故选：D．
5. “煮熟的鸭子飞了”，从数学的观点看，这句俗语中描述的事件是（ ）
A. 不可能事件B. 随机事件C. 必然事件D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，需根据各类事件的定义，结合俗语描述的事件进行判断即可，解题的关键是正确理解不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件．
【详解】解：由不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，
∵煮熟鸭子不具备飞行能力，“煮熟的鸭子飞了”这一事件在现实中一定不会发生，
∴该事件是不可能事件，
故选：．
6. 下列运算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，掌握好相关的运算法则是关键．根据二次根式的运算法则逐一判断各选项的运算正误即可．
【详解】解：∵
∴，选项A运算正确，不符合题意；
∵与不是同类二次根式，不能直接合并，
∴，选项B运算错误，符合题意；
∵，
∴选项C运算正确，不符合题意；
∵，
∴选项D运算正确，不符合题意．
故选：B．
7. 方程的两根之和是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是关键．
对于形如的一元二次方程，两根之和为，代入对应系数计算即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，其中，，，
∴判别式，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为．
故选：A．
8. 小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性．当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用，过作于点，延长交于点，由题意得，，，证明，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，
由题意得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用三角函数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，，
∴；
故B，C之间的距离是米；
故选D．
10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，需先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再利用根的判别式列不等式求解的取值范围．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程
方程有实数根
其中，，
由，解得
综上，的取值范围是且
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若，则的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，（），
∴．
故答案为：5
12. 在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用频率估算概率，掌握好频率与概率的关系是关键．
根据频率的稳定性，当试验次数大量时，频率接近概率，观察发芽频率值，并得出结论．
【详解】解：从频数表可知，试验次数次及以上时，发芽频率分别为，，，这些值稳定在附近．
根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，
∴该稻种的发芽概率约为．
故答案为：．
13. 抛物线的顶点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接利用配方法求出二次函数顶点式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
14. 已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____．
【答案】
1
【解析】
【分析】本题考查了方程的解的定义．将代入方程，利用根的定义求解
【详解】解：将代入方程 ，得 ，
故答案为：1
15. 如图，在中，是边上的中线，是重心，过点作，交于点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，由是重心，是边上中线，则，，然后证明，所以，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是重心，是边上中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 某公园有一秋千如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差米，假设秋千的绳索拉得很直．则秋千绳索的长度是_____米．（请用含和的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用，在中，，在中，，由得即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，，在中，，
∵，，
∴，
∴（米），
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的化简以及实数的混合运算，掌握好相关知识是关键．
先将二次根式、零指数幂和特殊角的三角函数值化简，再按照实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
或；
解得．
19. 在某中学校园文化艺术节书画摄影展览中，学校要求每个班级精选2幅作品参赛（作品可以是绘画、书法或摄影类）．已知该校九年级（1）班共准备了4幅优秀作品，其中绘画作品2幅、书法作品1幅、摄影作品1幅．先给作品编号，绘画作品为，书法作品为S，摄影作品为Y．
（1）从4幅优秀作品随机抽取1幅作品恰好是摄影作品的概率是________；
（2）从4幅作品中随机抽取2幅作品参赛，求抽到的2幅作品中至少有1幅是绘画作品的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率．
（1）用符合条件的作品数量除以总作品数量即可得到概率．
（2）先列出从4幅作品中抽取2幅的所有等可能结果，再找出包含绘画作品的结果数，最后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解： 总共有4幅作品，其中摄影作品有1幅，根据概率公式，随机抽取1幅作品恰好是摄影作品的概率为；
故答案为：．
【小问2详解】
解： 列出所有可能的抽取结果如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到绘画作品的结果有10种因此抽到绘画作品的概率为
20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和．
（1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为点，请在所给的网格图中画出．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键：
（1）由图和题意，与格线的交点即为点，进而写出点坐标即可；
（2）根据位似图形的性质，画图即可．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；
由图可知：；
【小问2详解】
解：如图，即为所求：
21. 为落实劳动教育，学校计划在操场靠墙区域开辟一块面积为的长方形“校园微农场”劳动实践基地．已知墙的最大可用长度为，基地另外三边用总长为的篱笆围成，且在平行于墙的一边设置两个开口宽为的进出门（如图）方便师生进出管理，设垂直于墙的长方形的边长为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程，解方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设垂直于墙的长方形的边长为，
由题意得，，
解得：
当时，（不合题意，舍去）
当时，，符合题意，故．
22 抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上且位于第一象限，连接、，若的面积为10，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是抛物线的对称轴上一点，连接、，当最小时，求Q的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，三角形面积计算，利用轴对称求最短路径问题，掌握二次函数的图象与性质及轴对称的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法，将已知两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出解析式．
（2）先计算线段的长度，再根据三角形面积公式求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，结合第一象限的条件确定点的坐标．
（3）根据抛物线的对称性可知点与点关于对称轴对称，将转化为，当、、三点共线时，最小，求出直线与对称轴的交点即为点的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过、，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
解：∵，
∴
设点（，）
∵
∴，
解得
将代入，
得
整理得，
解得或
∵点在第一象限，
∴点的坐标为
【小问3详解】
解：抛物线的对称轴为直线
∵点、关于直线对称
∴对于对称轴上任意一点，有
∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度
设直线的解析式为将、代入解析式
得
解得：
∴直线的解析式为
将代入，
得
∴点的坐标为
23. 综合实践：
【答案】（1）①；②；正确；（2）见解析；（3）时，；时，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识；
（1）根据因式分解法解方程，即可求解；
（2）根据题意计算，即可得证；
（3）根据一元二次方程的定义，以及m为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出的值，进而解方程，即可求解．
【详解】解：（1）①当，时，例如，
∴，
∴或，
∴此方程的解是；
②当，时，
例如，
∴
∴
∴或，
∴此方程的解是；
这两个实例可以验证小明的猜想正确；
故答案为：；；正确．
（2）解：小明的猜想正确，
证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），
∴，
又∵
∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根.
（3）依题意，且
解得，，
又∵m为整数，
∴或
当时，方程为，即
∵，
∴
解得：
当时，方程为
即
解得：
24. 如图，直线与轴，轴分别相交于点和点，，点在的内部，连接，过点作于点，交于点．已知，．
（1）求的长；
（2）求证：点是的中点；
（3）求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数综合问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形．
（1）根据直线解析式求得，进而可得，再根据勾股定理，即可求解；
（2）连接，设交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据相似三角形的性质可得，设，求得，，进而求得的坐标，可得，且的中点坐标为，进而勾股定理的逆定理可得，则求得直线的解析式，得出直线的解析式为，进而求得，则点是的中点，根据，即可求解；
（3）根据得出，进而求得直线的解析式，联立直线的解析式求得点的坐标，进而勾股定理求得，根据，即可求解．
小问1详解】
解：∵直线与轴，轴分别相交于点和点，
当时，，当时，
∴
∴
在中，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，设交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∴
解得：
∵，
设
∵轴，轴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，，则
同理可得，，则
∴，且的中点坐标为，即
∴，，
又∵
∴
∴
∵
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
直线的解析式为
∴直线的解析式为
当时，
解得：
∴，则点是的中点，
又∵
∴
即是的中点
【小问3详解】
解：∵
∴
∴
∴
设直线的解析式为，，代入，
∴
解得：
∴
联立
解得：
∴
又∵
∴
∴
25. 如图1，正方形的面积为36，点E是边上的一个动点，点F是的中点．
（1）设的长为m，的面积为S，求S与m的函数关系式；（不要求写出自变量m的取值范围）
（2）如图2，点G是上的一个动点，连结并延长交的延长线于点H，过点D作于点M，交的延长线于点N，连结，若，．
①求的值；
②求的长．
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质，线段中点的性质，结合三角形的面积公式即可得出S与m的函数关系式；
（2）①在上截取一点K，使得，利用等腰三角形的性质得出，设，则，求得，得出是等腰三角形，再过点K作，证得，从而得到，利用线段和差关系即可求得结果；
②过点C作，证得，利用相似三角形对应边成比例的关系得出，，结合求得，进一步推导出，利用勾股定理得出，转化为一元二次方程求得的值，再证得，利用相似三角形对应边成比例的关系求得结果．
【小问1详解】
解：∵正方形的面积为36，
∴，
又∵F是的中点，
∴，
∴，
即．
【小问2详解】
解：①如图，在上截取一点K，使得，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
过点K作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图，过点C作，
在正方形中，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
即，，
∵，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，整理得，
解得，（舍去），
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形及勾股定理，能添加恰当的辅助线，并熟练利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识进行求解是解题的关键．试验种子数（粒）
发芽频数
发芽频率
探究主题
一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境
在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证
（1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想：
①当，时，例如，此方程的解是________；
②当，时，例如，此方程的解是________；
这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明
（2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸
（3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．