2025-2026学年广东省湛江市高三高考一模数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年广东省湛江市高三高考一模数学试题 [附解析]，共6页。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|lg⁡x2}，则A∪B=
A. (2,+∞)B. (2,10)
C. (0,10)D. (0,+∞)
2.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1=1+i，则z1z2=
A. iB. −i
C. 1D. −1
3.设a，b为单位向量，且|a−b|=2，则|a+b|=
A. 1B. 2
C. 3D. 2
4.若x1=π3，x2=2π3是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的两个相邻的零点，则ω=
A. 3B. 4
C. 5D. 6
5.某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为
A. 120B. 96
C. 48D. 24
6.在数列{an}中，a1=1，an+1=an2+1，令bn=1an+1+an，则数列{bn}的前15项的和为
A. 2B. 3
C. 15D. 4
7. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为4，其中 A1E→=3ED1→，点 F 为 B1C1 的中点，则点 C 到平面 BEF 的距离为
A. 455B. 855
C. 162121D. 41717
8. 已知不等式 2x−mlnx+1≥2lnx+n（m,n∈R，且 m≠−2）对任意正实数 x 恒成立，则 n−5m+2 的最大值为
A. ln2B. 1
C. −1D. −ln2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 一组互不相等的数据从小到大排列为 x1，x2，⋯，x6，去掉 x1 后，则下列选项正确的是
A. 极差变大B. 平均数变大C. 中位数变小D.80%分位数变大
10. 已知 g(x) 为 f(x) 的导函数，两个函数的定义域均为 R，f(x) 为偶函数，且 f(2x−1) 为奇函数，则下列选项一定正确的是
A. f(1)=0B. f(4)=0
C. g(0)=0D. g(1)=0
11. 如图，已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，两条渐近线 l1:ay=bx，l2:ay=−bx 互相垂直，点 P 是双曲线 C 右支上任意一点，则下列说法正确的是
A. 双曲线 C 的离心率为 2
B. 存在点 P，使得 ∆PF1F2 为等腰直角三角形
C. 当 k∈(−1,1) 时，直线 l:y=kx+1 与双曲线 C 一定有两个交点
D. |PF1||PF2| 的最大值为 22+3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知 tanα+5π4=2，则 tan2α=_____。
13. 已知直线 l1:x+y+3=0 和直线 l2:y=−1，则抛物线 y=14x2 上一动点 P 到直线 l1，l2 的距离之和的最小值为 _____。
14. 某智力问答游戏的规则如下：游戏共有A，B两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）。参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答。如此循环，直到解答正确为止。已知甲解答A，B两类问题的正确率分别是14，13，且解答每道问题是相互独立的。若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）
在∆ABC中，AB=3，AC=7，D是BC的中点，∠ADB=π3。
（1）当BD=2AD时，求sinB的值；
（2）求∆ABC的面积S。
16.（本小题15分）
某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节。在育苗环节，每粒种子的成活率为p。在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q。若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功。每粒种子种植是否成功互不影响。
（1）若一粒种子种植成功的概率为12，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为14，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为ζ，求E(ζ)；
（2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求X=5的概率P，并求P的最大值。
17.（本小题15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=DC=2AB=2。过点A作平面α与棱PB，PC，PD交于点E，F，G，其中PEPB=23，且点G为PD的中点。
（1）证明：AG∥平面PBC；
（2）求PFPC的值；
（3）求平面α与平面ABCD夹角的余弦值。
18.（本小题17分）
已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率为32，且Γ上的点到其中一个焦点的距离的最小值为2−3，过点G(1,0)的直线交椭圆于C，D两点，直线CB，DB分别交直线l:x=4于点M，N。
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）证明：A，D，M三点共线；
（3）试问以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由。
19.（本小题17分）
已知f(x)=x+1ex，设y=f(x)与y=x−n−1(n∈N∗)的图象位于第一象限的交点为Pn(xn,yn)。
（1）求f(x)的最大值；
（2）证明：n+11−n进行排除）。所以上述不等式等价于2xm+2+1−nm+2⩾lnx，设函数f(x)=lnx，直线l:y=2xm+2+1−nm+2。经过分析可知，f(x)单调递增，且直线l始终位于曲线f(x)的上方。
直线l经过点2,5−nm+2，则可得该点位于函数f(x)=lnx的“外部”，即可得5−nm+2⩾ln2，由此即可得n−5m+2⩽−ln2。当直线l与f(x)相切于点2,5−nm+2时等号成立，此时m=2，n=5−4ln2，故选D。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.【正确答案】BD由题意得极差变小，平均数变大。原数据和新数据的中位数分别为x3+x42，x4，故中位数变大。原数据和新数据的80%分位数分别为x5，x5+x62，故80%分位数变大，故选BD。
10.【正确答案】AC
由题意得f(−2x−1)=−f(2x−1)，故f(x)关于(−1,0)中心对称，所以f(−1)=0，因为f(x)是偶函数，所以f(1)=0，选项A正确；因为f(−x)=f(x)，且f(x−1)=−f(−x−1)=−f(x+1)，所以f(x−1)=f(x+3)，故f(x)的周期T=4，从而f(4)=f(0)，故选项B不确定；对f(−x)=f(x)两边求导得−g(−x)=g(x)，故g(x)为奇函数，故g(0)=0，选项C正确；因为f(x)关于(−1,0)中心对称，所以g(x)关于x=−1对称，由于周期T=4，所以g(2n)=0，故选项D不确定，故选AC。
11.【正确答案】ACD
因为渐近线l1:ay=bx，l2:ay=−bx互相垂直，所以两条直线的斜率分别为1和−1，从而可得a=b，即可得双曲线C的离心率为2，选项A正确；若∆PF1F2为等腰直角三角形，则PF2⊥F1F2且有|PF2|=|F1F2|，从而可得b2a=2c，所以a=2c，与离心率为2矛盾，选项B错误；因为直线l:y=kx+1恒过定点(0,1)，当k=±1时，直线l∥l1或l∥l2，当k∈(−1,1)时，直线l与直线l1，l2都相交，结合双曲线C与渐近线的关系，即可得此时直线l与双曲线C的两支各有一个交点，选项C正确；根据双曲线的定义可知|PF1|−|PF2|=2a，得|PF1||PF2|=|PF2|+2a|PF2|=2a|PF2|+1⩽2ac−a+1，由离心率为2可得c=2a，代入上式即可得|PF1||PF2|的最大值为22+3，选项D正确，故选ACD。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.【正确答案】34
tanα+5π4=tanα+π4=tanα+11−tanα=2，得tanα=13，所以tan2α=2tanα1−tan2α=34。
13.【正确答案】22
点P到l2的距离等于点P到焦点F(0,1)的距离，点P到直线l1，l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离，即|1+3|1+1=22。
14.【正确答案】35 设pA−B表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，pB−B表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，通过题意可得，pA−B=34pB−B，pB−B=13+23×12pA−B+23×12pB−B。计算可得pA−B=35，pB−B=45，则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为35。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解：（1） 如图，设AD=a，则BD=2a，
在∆ABD中，由余弦定理得AB2=a2+4a2−4a2cs∠ADB，即3=3a2，
故a=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分
∴AD=1，BD=2。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分
在∆ABD中，由正弦定理得ADsinB=ABsin∠ADB，即1sinB=332，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分
∴sinB=12。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分
（2） 如图，设AD=x，BD=DC=y，
在∆ABD和∆ADC中，由余弦定理得
{AB2=x2+y2−2xycs⁡∠ADB,AC2=x2+y2−2xycs⁡∠ADC,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分
即{x2+y2−xy=3①,x2+y2+xy=7②,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分
② - ①，得2xy=4，
∴xy=2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分
∴S∆ABC=2S∆ABD=2×12xysin∠ADB=3。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分
16.解：（1）记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B。
由题意得P(A)=p，P(B|A)=q，
因为P(AB)=P(A)P(B|A)=pq=12，P(B¯|A)=1−P(B|A)=1−q=14，
所以q=34，p=23。 4分
设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为ξ，
根据题意可得ξ∼B300,23，由此可得E(ξ)=np=300×23=200。6分
（2）解法一：一粒种子种植成功概率为pq，“X=5”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”，
所以P(X=5)=C65(pq)5(1−pq)=6(pq)5−6(pq)6。9分
令pq=t，设函数f(t)=6t5−6t6(t∈(0,1），10分
∴f'(t)=6t4(5−6t)。11分
当t∈0,56时，f'(t)>0；当t∈56,1时，f'(t)0；当t∈56,1时，f'(t)0，∴存在两个不相等的实数根.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则{y1+y2=−2tt2+4,y1y2=−3t2+4, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分
故直线CB的方程为yy1=x−2x1−2，令x=4，可得M4,2y1x1−2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分
又AD→=(x2+2,y2)，AM→=6,2y1x1−2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分
∴(x2+2)·2y1x1−2−6y2=2y1(ty2+3)−6y2(ty1−1)x1−2=−4ty1y2+6(y1+y2)x1−2=0. ⋯⋯ 11分
∴AD→∥AM→,故A，D，M三点共线. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分
（3）是.
由（2）易得，直线DB的方程为yy2=x−2x2−2，令x=4可得N4,2y2x2−2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分
设H(x,y)为以MN为直径的圆上一点，则有MH→·NH→=0，
即(x−4)2+y−2y1x1−2y−2y2x2−2=0， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分
由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上.
令y=0，
得(x−4)2=−4y1y2(x1−2)(x2−2)=−4y1y2(ty1−1)(ty2−1)=−4y1y2t2y1y2−t(y1+y2)+1=3，⋯ 15分
∴x=4±3, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16分
∴以MN为直径的圆恒过两定点(4+3,0)，(4−3,0).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 17分
19.（1）解：由题意得 f'(x)=−xex， ……………………………………………………………… 1分
∴f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减， ………………………………………… 2分
故f(x)的最大值为f(0)=1. ………………………………………………………………………… 3分
（2）证明：令x+1ex=x−n−1，即x−1−x+1ex−n=0.
设g(x)=x−1−x+1ex−n(x>0)，…………………………………………………………… 4分
则g'(x)=1+xex>0，故g(x)在(0,+∞)上单调递增. ………………………………………… 5分
∴g(n+1)=−n+2en+1en+1−(n+1)2nen+1+1n. …………………… 6分
设h(x)=ex−x2(x⩾2)，则h'(x)=ex−2x，设m(x)=ex−2x，则m'(x)=ex−2⩾e2−2>0，
………………………………………………………………………………… 7分
∴h'(x)在[2,+∞)上单调递增，故h'(x)⩾h'(2)=e2−4>0，
∴h(x)在[2,+∞)上单调递增，故h(x)⩾h(2)=e2−4>0， ………………………………………… 8分
∴h(n+1)=en+1−(n+1)2>0，即gn+1+1n>0，……………………………………………… 9分
故n+10，∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增， …………………………………………………… 14分
∴φ(xn+1)>φ(xn)，即xn+1+1exn+1+1exn+1>xn+1exn+1exn，
∴xn+1+1exn+1−xn+1exn>−1e(xn+1−xn). ……………………………………………………………… 15分
由xn+1exn=xn−n−1，xn+1+1exn+1=xn+1−n−2，
得xn+1−xn=1+xn+1+1exn+1−xn+1exn>1−1e(xn+1−xn)，……………………………………… 16分
解得xn+1−xn>ee+1. ………………………………………………………………………… 17分