2025-2026学年安徽省临泉县田家炳实验中学（阜阳市临泉县教师进修学校）高三上学期（12月）月考数学试题 [附答案]

这是一份2025-2026学年安徽省临泉县田家炳实验中学（阜阳市临泉县教师进修学校）高三上学期（12月）月考数学试题 [附答案]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|y=ln(x−2)}，B={1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {1,2,3,4}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {2,3,4}
2.已知a，b∈R，则“ab0)的长、短轴的一个端点，且直线AB的斜率为512，则C的离心率为( )
A. 513B. 1213C. 712D. 11912
4.已知直线l1：ax+(a−2)y+2=0和直线l2：3ax+y+13=0平行，且a≠0，则a=( )
A. 73B. 76C. 1D. 2
5.若函数f(x)=3cs(2x+φ)(φ>0)的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：(x−c2)2+y2=b216相切，则双曲线的渐近线方程是( )
A. y=±xB. y=±2xC. y=± 3xD. y=± 2x
7.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为点A和B相关的阿波罗尼斯圆.现已知点A和B相关的阿波罗尼斯圆为圆O：x2+y2=4，其中点A(−4,0)，且点P在该圆上，点Q在圆M：(x−5)2+(y−8)2=4上，则2|PQ|+|PA|的最小值为( )
A. 16B. 8C. 12D. 6
8.已知f′(x)是定义在R上的奇函数f(x)的导数，且g(x)=f′(x)−2ex+2x也是定义在R上的奇函数，则关于a的不等式g(2a+1)+g(a−5)0)的焦点为F，P(x,y)为该抛物线上的动点，A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则sin∠PAFsin∠AFP的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知双曲线y2a2−x212=1(a>0)的一个焦点为(0,2 7)，且双曲线的一个顶点与抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且弦AB的中点的横坐标为−4，求直线l的斜率．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=12x2−(1+1a)x+lnxa+12(a>0)．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1）处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥D−ABC中，平面DAC⊥平面ABC，AD=DC，∠ADB=∠BDC．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)已知BD= 5,AC=2,AD= 2，F是线段BD上一点，当AF⊥BD时，求二面角F−AC−D的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，其左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，右顶点为B，下顶点为D，△DBF1的面积为1+ 32．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设P，Q是椭圆上异于A，B的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2=57，求证：直线PQ过定点．
19.(本小题17分)
设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互质.若n为正整数且n≥2，集合Xn={1,2,…,n−1}，规定函数φ(n)的值等于集合Xn中与n互质的正整数的个数．
(1)试求φ(5)，φ(7)，φ(35)的值．
(2)设p，q是两个不同的质数，写出φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系．
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：
①准备两个不同的、足够大的质数p，q；②计算φ(m)，其中m=p⋅q；③选取一个大整数e，满足与φ(m)互质，求正整数k，使得ke除以φ(m)的余数是1；④其中(m,e)称为公钥，(m,k)称为私钥．
已知某RSA加密算法中的公钥是(143,17).若满足私钥条件的正整数k按从小到大排列得到的一列数记为数列{bn}，数列{an}满足120an=bn+7，Sn为数列{an}的前n项和，记Tn=1S1+1S2+1S3+…+1Sn，证明：Tn≥1．
答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.B
6.B
7.B
8.B
9.AD
10.BC
11.BD
12.an=n+12(答案不唯一)
13.π3
14. 22
15.解：(1)根据双曲线y2a2−x212=1(a>0)的一个焦点为(0,2 7)，那么可得a2=(2 7)2−12=16，解得a=4，
抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为(0,p2)，根据题意，p2=4，解得p=8，
因此抛物线C为x2=16y．
(2)根据第一问设A(x1,x1216),B(x2,x2216)，由弦AB的中点的横坐标为−4，得x1+x2=−8，
所以直线l的斜率k=x1216−x2216x1−x2=x1+x216=−12．
16.解：(1)因为f(x)=12x2−(1+1a)x+lnxa+12(a>0)，
所以a=2时，f(x)=12x2−32x+lnx2+12，
所以f′(x)=x−32+12x，则f′(1)=1−32+12=0，
又f(1)=12−32+ln12+12=−12，
故所求切线方程为：y=−12；
(2)因为f(x)=12x2−(1+1a)x+lnxa+12(a>0)，定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=x−(1+1a)+1ax=ax2−(a+1)x+1ax=(x−1)(ax−1)ax，
令f′(x)=0，得x=1或x=1a，
当1a=1，即a=1时，f′(x)=(x−1)2x≥0，
故f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当1a>1，即0