2025-2026学年湖南省常德七中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省常德七中高二（上）期末数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x∈Z|−20时，函数f(x)有三个零点
C. 已知x0是函数f(x)的极大值点，若f(x0)=f(t)，x0≠t，则t=2 2a
D. 函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.6个人选3个人去演讲，若甲一定去，则有 种选法．
13.已知圆x2+y2−4y=0，过点(1,1)的直线被该圆截得的最短弦长为 ．
14.高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以高斯命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数y=[x]，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如[2026]=2026，[1.6]=1，[−0.5]=−1.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且an+1an=2Sn，则[1a2026]= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m=(sinA,−1),n=(1, 3csA)，且m⊥n．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在正四棱锥S−ABCD中，所有棱长都相等，P为侧棱SC的中点．
(1)求证：SA//平面PBD；
(2)求直线PB与平面SAB所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项a1=23，且满足an+1=2anan+1，
(1)求证：数列{1an−1}为等比数列；
(2)若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右顶点为A(2,0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作与x轴不重合的直线与椭圆E交于M、N两点，记直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2．
(i)证明：k1k2为定值；
(ii)求△AMN面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−1x−alnx(a∈R)．
(1)当a=3时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)试讨论函数f(x)的零点个数；
(3)当函数f(x)恰有三个零点t1，t2，t3，且t10恒成立，
由韦达定理得y1+y2=−6t3t2+4,y1⋅y2=−93t2+4，
此时k1=y1x1−2,k2=y2x2−2，
所以k1k2=y1x1−2⋅y2x2−2=y1y2(ty1−1)(ty2−1)=y1y2t2y1y2−t(y1+y2)+1，
因为y1+y2=−6t3t2+4,y1⋅y2=−93t2+4，
所以k1k2=−93t2+4t2⋅(−93t2+4)−t(−6t3t2+4)+1=−94，
则k1k2为定值；(ii)32
19.x+y−1=0 当a≤2时，f(x)恰有1个零点；当a>2时，f(x)恰有3个零点 证明：因为t11，因此lnt3−2(t3−1t3+1)>0,(t3+1)2t3lnt3>0，故t1+2t2+t3−2a>0，
即t1+2t2+t3>2a得证