2024-2025学年湖南省常德市优质高中学校联盟高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省常德市优质高中学校联盟高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|y=ln(x−1)}，N={y|y=ex}，则M∩N=( )
A. (12,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. [1,+∞)
2.在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA=(1,2)，OB=(2,2)，则|z1+z2|=( )
A. 2B. 4C. 5D. 6
3.以点A(2,3)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为( )
A. (x−2)2+(y−3)2=9B. (x+2)2+(y+3)2=9
C. (x+2)2+(y+3)2=4D. (x−2)2+(y−3)2=4
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Snan=n+12，则a5a9=( )
A. 59B. 95C. 925D. 259
5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为( )
A. 12B. 22C. 33D. 23
6.已知函数f(x)=−sinx2，g(x)=4sin(ωx+π6)(ω>0)，若y=f(x)与y=g(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个交点，则ω的最小值是( )
A. 43B. 73C. 2312D. 1712
7.在△ABC中，已知BC=5，AC=2，∠ACB=π3，D是BC的中点，E是线段AD上一点，且AE=13AD，连接CE并延长交AB于点P，则线段CP的长度为( )
A. 1275B. 1295C. 1335D. 125
8.已知正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O在平面BCD内，棱AB与球面交于点P.若A∈平面α1，B∈平面α2，C∈平面α3，D∈平面α4，ai//ai+1(i=1,2,3)且α1与αi+1(i=1,2,3)之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与α2交于点Q，R，若△PQR的周长为2( 21+ 3)3，则球O的半径为( )
A. 2B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线Γ：y2−x2m2=1的上焦点为F，直线l：mx+y=0是Γ的一条渐近线，P是Γ上支上的一点，O为坐标原点，则( )
A. F到l的距离为2
B. Γ的焦距为 2
C. Γ的离心率为 2
D. 若A(2,3 2)，则|PA|+|PF|的最小值为4
10.如图，点P在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的面对角线BC1上运动(P点异于B，C1点)，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线BD与AB1所成角为60°
B. A1P⊥B1D
C. 三棱锥P−ACD1的体积为13
D. 直线A1P与平面AD1C1B所成角的正弦值的取值范围为(12, 33]
11.定义[m]为不超过m的最大整数，例如：[3]=3，[ 5]=2，已知集合S1={a1}，且∀n∈N∗，an+1[an]=[an]2an−[an],an−[an]≠0an2,an−[an]=0，Sn+1=Sn∪{an+1}，下列说法正确的是( )
A. 若a1=1710，则S3={1710,107,73}
B. 若a1= 5，则Sn的真子集个数为2n−1
C. 记Tn为Sn中所有元素之和，且Tn=nan−1(n≥2)，则数列{an}的单调性无法确定
D. 若a1= m2+2m(m∈N∗)，正整数n0满足：对任意m∈N∗，n≥n0，都有Sn+1=Sn，则n0的最小值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线E：x2=2py(p>0)上一点M到其焦点F的距离与到x轴的距离之差为2，则p= ______．
13.记数列{1anan+1}的前n项和为Sn，若Sn=14−12an+1,a1=2，则a2024= ______．
14.如图所示，由半椭圆C1：x2a2+y216=1(x≤0)和两个半圆C2：x2+(y−2)2=4(x≥0)，C3：x2+(y+2)2=4(x≥0)组成曲线C：F(x,y)=0，其中点F1，F2分别是C1的上，下焦点和C2，C3的圆心.若过点F1，F2作两条平行线l1，l2分别与C1，C2和C1，C3交于P，Q和M，N，则|MN|+|PQ|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C经过A(2,−1)，B(0,5)，且圆心在直线x−y+1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：y=kx+4截得圆C弦长最短时，求实数k的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，cs(2π3−A)=2a−b2c．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的上，下底面为正方形，CD1与C1D交于点E，平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ABB1⊥平面ABCD．
(1)证明：AA1⊥平面ABCD；
(2)若AA1=AB=2A1B1，求直线AE与平面A1D1C所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，点A在第一象限，O为坐标原点．
(1)求|AB|的最小值(用p表示)；
(2)若直线OA与抛物线的准线交于点E，
(i)求证：BE//x轴；
(ii)若直线AB的斜率大于零，AB的中点为M，过点F作直线AB的垂线交抛物线的准线于点N，△MNF与△BEF的面积相等，求直线AB的斜率．
19.(本小题17分)
已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1=1，S10=55，数列{bn}的前n项和为Tn，b1=2，Tn+1=2Tn+2(n∈N∗).定义：若b被m除得的余数为a，记为b≡a(mdm)，如：5≡1(md2)，14≡2(md3)，数列{cn}满足cn=1,an≡1(md3)2,an≡2(md3)an,an≡0(md3)，记{cn}的前n项和为Mn．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若对任意n≥2，都有M3n≥λan−1恒成立，求λ的最大值；
(3)求数列{bn⋅cn}的前3n项和．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.C
6.D
7.B
8.A
9.CD
10.ABD
11.AD
12.4
13.4048
14.10
15.解：(1)因圆心在直线x−y+1=0上，设圆心C坐标为(a,a+1)，
圆C标准方程为：(x−a)2+(y−a−1)2=r2，
因为圆C经过A(2,−1)，B(0,5)，
则(2−a)2+(−1−a−1)2=r2a2+(5−a−1)2=r2，解得a=1，r= 10，
即圆的标准方程为：(x−1)2+(y−2)2=10；
(2)已知直线l：y=kx+4过定点M(0,4)，圆C的圆心为C(1,2)，
当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
kCM=4−20−1=−2，所以kCM⋅k=−1，即k=12．
16.解：(1)∵cs(2π3−A)=2a−b2c，
∴cs(2π3−A)=2sinA−sinB2sinC，
∴cs2π3csA+sin2π3sinA=2sinA−sinB2sinC，
∴ 3sinAsinC−csAsinC=2sinA−sin(A+C)，
∴ 3sinAsinC−csAsinC=2sinA−sinAcsC−csAsinC，
∴ 3sinAsinC+sinAcsC=2sinA．
∵sinA≠0，∴ 3sinC+csC=2sin(C+π6)=2，
∴sin(C+π6)=1．
∵C+π6∈(π6,7π6)，∴C+π6=π2，∴C=π3．
(2)S△ABC=12absinC= 34ab，
由余弦定理知c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2−ab≥ab，
当且仅当a=b=2时等号成立，∴ab≤4．
S△ABC= 34ab≤ 34×4= 3，
∴△ABC面积的最大值为 3．
17.解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面A1ADD1，AA1⊂平面A1ADD1，
所以AB⊥AA1，
又因为平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面A1ABB1∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面A1ABB1，AA1⊂平面A1ABB1，
所以AD⊥AA1，
因为AB∩AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD．
(2)由题意可建立空间直角坐标系如图所示，

令AA1=AB=2A1B1=2，可得A1(0,0,2)，D1(0,1,2)，C(2,2,0)，
则AC=(2,2,0),CD1=(−2,−1,2)，A1D1=(0,1,0)，A1C=(2,2,−2)，
因为在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上，下底面为正方形且AB=2A1B1，
所以C1D1/​/CD且C1D1CD=12，所以△C1D1E∽△DCE，
即D1EEC=12，则CE=23CD1，
AE=AC+CE=AC+23CD1=(23,43,43)，所以|AE|=2．
设平面A1D1C的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则A1D1⊥nA1C⊥n，则A1D1⋅n=0A1C⋅n=0，故y1=02x1+2y1−2z1=0，
令x1=1，得y1=0，z1=1，
所以n=(1,0,1)为平面A1D1C的一个法向量，且|n|= 2，
设直线AE与平面A1D1C所成角为θ，
则sinθ=|AE⋅n||AE|⋅|n|=22× 2= 22，
即直线AE与平面A1D1C所成角的正弦值为 22．
18.解：(1)易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+p2，
联立方程x=my+p2y2=2px，整理得y2−2pmy−p2=0，
所以y1+y2=2pm，y1y2=−p2，
|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+2p=2p(m2+1)≥2p，
当且仅当m=0时等号成立，所以|AB|的最小值是2p．
(2)(ⅰ)证明：直线OA的方程为y=y1x1x，则yE=−p2⋅y1x1=−p2⋅2py1=−p2y1，
结合(1)有y2−2pmy−p2=0，
由韦达定理易得y1y2=−p2，所以yE=−p2y1=y1y2y1=y2，所以BE/​/x轴．
(ⅱ)过点F的垂线方程为y=−m(x−p2)，所以垂线y=−m(x−p2)与准线的交点为N(−p2,mp)，
则yM=yN，所以BE//MN，则|MN|=12|AB|=p(m2+1)，
又|MF|= 1+m2|yM|=|m|p 1+m2，
|BF|=|BM|−|MF|=12|AB|−|MF|=p(m2+1)−|m|p 1+m2=p 1+m2( 1+m2−|m|)，
记点N，E到直线AB的距离分别是ℎ1，ℎ2，
由平面几何相似知识知ℎ1ℎ2=|MN||BE|
所以S△MNFS△BEF=12|MF|ℎ112|BF|ℎ2=|MF||BF|⋅|MN||BE|=|m|p 1+m2⋅p(m2+1)[p 1+m2( 1+m2−|m|)]2=|m| 1+m2( 1+m2−|m|)2，
由条件知|m| 1+m2( 1+m2−|m|)2=1，化简得5m4+5m2−1=0，
解得m2=3 5−510，因为直线AB的斜率大于零，
所以直线AB的斜率k=1m=1 3 5−510= 6 5+102．

19.解：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
因为S10=55，a1=1，所以5(a1+a10)=55，解得a10=10，
所以d=a10−a110−1=1，an=a1+(n−1)d=n．
因为Tn+1=2Tn+2，①
所以Tn=2Tn−1+2(n≥2)，②
①−②得：bn+1bn=2，
当n=1时，b1+b2=2b1+2，b2=4,b2b1=2，
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=b1qn−1=2n；
(2)由题意，M3n=(c1+c4+...+c3n−2)+(c2+c5+...+c3n−1)+(c3+c6+...+c3n)
=n+2n+(3+6+…+3n)=3n2+9n2．
因为M3n≥λan−1，所以3n2+9nn−1≥2λ，
所以3(n−1)2+15(n−1)+12n−1=3(n−1)+12n−1+15≥27
当且仅当n=3时，等号成立，所以272≥λ，即λ的最大值为272．
(3)记{bn⋅cn}的前3n项和为Dn，
Dn=b1c1+b2c2+b3c3+…+b3nc3n
=(b1c1+b4c4+…+b3n−2c3n−2)+(b2c2+b5c5+…+b3n−1c3n−1)+(b3c3+b6c6+...+b3nc3n)，
因为b1c1+b4c4+…+b3n−2c3n−2=21+24+…+23n−2=23n+1−27，
b2c2+b5c5+…+b3n−1c3n−1=2×(22+25+…+23n−1)=23n+3−87，
记A=b3c3+b6c6+…+b3nc3n=3×23+6×26+…+3n×23n，③
23A=3×26+…+(3n−3)×23n+3n×23n+3，④
③−④得：−7A=3×23+3×26+…+3×23n−3n×23n+3
=3×23[1−(23)n]1−23−3n×23n+3，所以A=(21n−3)×23n+3+2449，
所以Dn=23n+1−27+23n+3−87+(21n−3)×23n+3+2449
=(84n+23)×23n+1−4649．