湖南省长沙市2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试试题含解析

这是一份湖南省长沙市2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试试题含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的准线方程求解即可.
【详解】由抛物线，则，即，
所以抛物线的准线方程是.
故选：D
2. 在空间直角坐标系中，，，则（ ）
A. B. 6C. 29D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可.
【详解】.
故选：A
3. 、分别为与上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先判断两直线平行，再利用两平行直线的距离公式计算即得.
【详解】因直线与直线互相平行，、是两直线上的点，
故当且仅当为两直线的公垂线段时，取得最小值，
即的最小值为两直线之间的距离，为.
故选：B.
4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，代入圆的标准方程，即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
设关于直线对称点为，
则，解得，即对称的圆心为，
所以对称圆的方程为：.
故选：C
5. 已知是椭圆上一点，，是其左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】椭圆，可得，则，
因为点在椭圆上，可得，
又由，可得,
联立方程组，可得，
所以的面积为.
故选：C
6. 若等差数列的首项，，则等于（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先由求得，然后根据，即可得到本题答案.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，
所以．
故选：B
7. 若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，利用勾股定理求出的取值范围，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程可化为，
联立，解得，即直线过定点，且直线不表示直线，
显然当直线过圆心时，取最大值，
当直线与垂直时，圆心到的距离取最大值，
此时，取最小值，
因为，则直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即，不合乎题意，
因此，的取值范围是.
故选：A.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为，则，，
所以，，
因，则，
设，则，则，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因为，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可.
【详解】设，
对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确；
对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误；
对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确；
对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确；
故选：ACD.
10. 已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 拋物线的准线方程为
B. 若直线过，且轴，则
C. 若直线过，则
D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出，确定焦点位置，即可判断A项；通过计算点的坐标易判断B项；设的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C项；对于D项，结合图形可推出当且仅当经过点时，，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，计算的中点的横坐标，即得的中点到轴距离的最小值为2.
【详解】由可知抛物线的焦点在轴正半轴上，且.
对于A，拋物线的准线方程为，故A正确；
对于B，因直线过，且轴，把代入，解得，
故，故B正确；
对于C，由上分析知，因直线的斜率不能为0，故可设其方程为，
代入，可得，由韦达定理，可得，故C错误；
对于D，由图知，，当且仅当经过点时，等号成立.
设直线的方程为，，代入，可得，
则，由韦达定理，可得，，
则，
因，故可得，即得，
设的中点为，而即点到轴的距离，
因，
故当时，的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确.
故选：ABD.
11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ）
A. 曲线的方程是
B. 曲线关于坐标轴对称
C. 曲线与轴没有交点
D. 的面积不大于
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据两点之间的距离公式和题目所给定义，判断A的正误，根据坐标轴对称的性质，判断B的正误，根据设纵坐标为0，列出方程，判断C的正误；根据三角形正弦定理面积公式，以及三角函数范围，判断D的正误；
【详解】设，则，
则，所以A正确；
令代，则，
可知曲线关于轴对称，
令代，则，
可知曲线关于轴对称，所以B正确；
令，则，化简得，解得，
可知当时，，当时，或，当时，或，
可知与轴至少有2个交点，所以C不正确；
由三角形面积公式可知，因为在三角形中，所以，
且仅当，即时取等号，所以D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等差数列的前项和，若，则_________________.
【答案】590
【解析】
【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由求和公式求解.
【详解】设公差为，
由可得解得，
故，
故答案为：590
13. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】先求得双曲线的右焦点，结合抛物线的知识求得的值.
【详解】双曲线，，右焦点，
抛物线的焦点为，所以.
故答案为：
14. 已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解.
【详解】因为为双曲线上的动点，
所以，则，，
由题意，直线是双曲线的切线，切点为，
而双曲线的渐近线方程为，则，
联立，解得，
所以点的坐标为，
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以线段的中点为，
则
（当且仅当时取等号），
由题意可得直线的斜率大于零或不存在，
故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，求的值.
【答案】（1）；
（2）8.
【解析】
【分析】（1）设，求出 和，代入，计算求解即可；
（2）求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得到，代入数值计算求解.
【小问1详解】
设，，，，，
，，，
，，
的方程为；
【小问2详解】
的方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
.
16. 记为等差数列的前项和，且满足，.
（1）求.
（2）是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）或6时，取得最大值15，无最小值
【解析】
【分析】（1）根据题设结合等差数列求和公式可得，进而求解即可；
（2）先根据等差数列求和公式可得，再结合二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意得，，则，解得，
所以.
【小问2详解】
由，函数开口向下，对称轴为，
而，则或6时，取得最大值15，无最小值.
17. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点.

（1）证明：平面
（2）设，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，然后利用向量的夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
如图，连接，

底面为正方形，所以，
平面，平面，，
平面，平面，，
平面
【小问2详解】
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，
则，，，
设平面的法向量为，
由，即，令，得：；
设平面的法向量为，
由，即，令，得：；
则.
故结合图像易知：二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
18. 已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度；
（3）直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值.
【答案】（1）；
（2）； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为；
（2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案；
（3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，
则，即，
所以抛物线为；
【小问2详解】
直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：，
得，，设，
由韦达定理得，
故；
【小问3详解】
由题意可知直线斜率不为0，设其方程为，
联立方程得：，
整理得：，，
其中，，
因为以为直径的圆经过点，所以，
又因为，
∵，
∴，
所以直线过定点，
又因为，所以为直角三角形，
所以当为斜边中点时，为定值，
此时，
所以定点为，为定值２．
19. 已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为，
（1）求C的方程；
（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）点的轨迹是圆，该圆的方程为
【解析】
【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程；
(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点；
(3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解.
解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到 ，从而得到点的轨迹和轨迹方程.
【小问1详解】
因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆C的离心率为，
得，所以椭圆方程为.
【小问2详解】
由，得直线斜率为，中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
联立垂直平分线方程和椭圆方程
得，，
，所以直线与椭圆相切，
线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
【小问3详解】
解法一：设，
当时，的垂直平分线方程为，
此时或；
当时，的垂直平分线方程为，
联立，
得，
即
因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，
故，
即，
则，
即，
，
即，
，
而，也满足该式，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即.
解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P，
则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线，
也为的角平分线，

作的角平分线，根据椭圆的光学性质得，
，则，
故，
所以三点共线，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
当P在椭圆长轴上时，M点为或也满足，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为.
【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是：
(1)首先根据题意得到直线和椭圆方程；
(2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程；
(3)计算，根据，判断直线与椭圆公共点的个数.