河北省保定市六校联考2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题含答案

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求补集，再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，所以，
故选：B.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定理解判断.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：A.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式性质进行推理，可以排除D项，证得B项.
【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误；
对于B，由，利用不等式性质易得，故B正确；
对于C，当时，取，则，故C错误；
对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误.
故选：B.
4. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数单调性，结合中间值比较出大小.
【详解】，，，
故.
故选：C
5. 函数，的图象与直线（a为常数）的交点个数不可能为（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】A
【解析】
【分析】作出在的图象，再根据数形结合法得出交点个数即可.
【详解】作出在的图象如下：
则可得当或时，与交点个数为0；
当或时，与的交点个数为1；
当时，与的交点个数为2.
故选：A.
6. 若且，函数满足对任意的实数都有成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到函数在上单调递增，然后根据分段函数单调性的判断方法求实数的取值范围即可.
【详解】因为对任意的实数都有 ，
所以函数 在 上是单调递增函数.
则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得.
实数a的取值范围.
故选：D
7. 设函数，其中表示x，y，z中的居中者，下列说法正确的有（ ）
A. 有最大值，无最小值B. 的值域为
C. 为偶函数D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】先画出的图象，依据图象逐项判断后可得正确的选项.
【详解】，故为的偶函数，故C正确；
当时，，故，
当时，，故，
当时，，故，
故的图象如图所示，
对于A，由图可得有最小值，无最大值，故A错误；
对于B，的值域为，故B正确；
对于D，由图可得在上单调递增，
故选：BCD.
8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可.
【详解】∵，
当时， 在上为减函数，且，
当时，在上为增函数，且，
当时，在上为增函数，且，
作出函数的图象如图所示：
设，
当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有1个解，
当时，方程有0个解，
方程等价为，解得，
要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解，
所以时，方程有3个解，所以，即得.
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 函数与函数表示同一个函数
C. 若的定义域为，则的定义域为
D. 函数是奇函数且在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，由集合关系判断充分必要条件；对B，分别求两函数定义域判断；对C，根据抽象函数定义域判断；对D，由幂函数性质判断.
【详解】对于A：因为，所以“”是“”的必要不充分条件，A正确；
对于B：函数的定义域为，
函数的定义域为或，两者定义域不同，不是同一个函数，B错误；
对于C：因为的定义域为，由解得，
所以的定义域为，C正确；
对于D：令，则函数定义域为，对于，
且，所以是奇函数，
又，由幂函数性质可知，在单调递增，D正确；
故选：ACD.
10. 设函数，则下列叙述正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 在上的最小值为D. 的图象关于点对称
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断得解.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，不是函数的最值，
因此的图象关于直线不对称，B错误；
对于C，由，得，当，即时，，C正确；
对于D，，的图象关于点对称，D错误.
故选：AC
11. 已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ）
A. B. 为上的增函数
C. 为奇函数D. 若则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法求，判断A；根据函数单调性的定义判断B；根据奇偶性的定义判断C；利用是奇函数，且是减函数解不等式，可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，对于任意实数满足:，
对于A，令，则，所以.
所以A正确.
对于B，令，则，，所以.
所以，所以为上的减函数.
所以B错误.
对于C，因为函数的定义域为，所以的定义域为.
令，则，即.
所以为奇函数.所以C正确.
对于D，由B，C可得为上的减函数，且是奇函数.
因为，所以.
所以，即，解得.
的取值范围为.所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不为零以及被开偶次方根的数为非负数解不等式即可求得结果.
【详解】依题意可知，解得且；
因此函数定义域为.
故答案为：
13. 已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数函数的图象可得，故可求的解析式，根据对数的运算即可求解.
【详解】在中，令,可得,
故.
设,由题意可得,解得.
所以，.
故答案为:.
14. 已知正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据，求出的最小值，从而得到关于的不等式，解得的范围.
【详解】因为恒成立，
所以，
而正实数，满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式中的代换，利用基本不等式求和的最小值和解决恒成立问题，属于中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为，集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化简集合，根据交、并、补集的概念计算；
（2）将集合运算转化为集合间关系求解.
【小问1详解】
由题，又，
所以，
又或，所以；
【小问2详解】
若，则，因为，或，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
16. 已知，且为第二象限角.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求和的值；
（2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中的三角函数值计算.
【小问1详解】
因为，且为第二象限角，
所以，
【小问2详解】
.
17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的．
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高？最高效率是多少？
【答案】（1），
（2）（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高，最高为4
【解析】
【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得；
（2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论.
【小问1详解】
因为，
又，所以，
所以当时，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）可得，
当时，，
此时，
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
此时，此时的最大值为；
当时，，
此时
，
综上，当时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高，最高为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且图象过点和，当时，．
（1）求的值：
（2）求在上的解析式
（3）解不等式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合奇函数的定义，以及图象过点和，列出方程组，求解该方程组，即可求解；
（2）根据奇函数的性质可求在上的解析式；
（3）先求出当时，函数的解析式，再分类讨论，即可求解．
【小问1详解】
因为的图象过点，所以.①
因为是奇函数，且的图象过点，
所以的图象过点，
则.②
联立①②，解得.
【小问2详解】
由（1）知，时，，
当时，，则.
因为是奇函数，所以，则.
而当时，，
故.
【小问3详解】
当时，，即，解得；
当时，，即，解得.
当时，，符合题意，
综上，不等式的解集是.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若定义在上的函数的图象关于点对称，且当时，．设函数．
（1）若函数的图象关于点对称，求m，n的值；
（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由的图象关于点对称，则，化简计算即可得解；
（2）判断的单调性，求出值域，由题意转化为，再由的对称性分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可.
小问1详解】
的图象关于点对称，则，
由 ，
得： ，
所以函数 的图象关于点对称.
即.
【小问2详解】
，则 在 上单调递增，
所以 的值域为 .
设 在 上的值域为 ，
对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 .
当 时， ，
函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，且 .
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
由对称性可知， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以 ，所以 .
由 ，可得 解得 .
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由对称性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
结合对称性可得在 上的值域可能为，也可能为 .
因为 0 ，所以 ， ，
又 ，
所以 ，
所以当 时， 成立.
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
由对称性可知 在 上单调递减，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 .
综上所述，实数的取值范围为 .