九师联盟2026届高三3月质检数学试题及参考答案

这是一份九师联盟2026届高三3月质检数学试题及参考答案，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知复数 z 在复平面内对应的点为 0,−2 ,则 4z=
A. 2i B. 2 C. -2i D. -2
2. 已知集合 M={x∣1b>0 的离心率为 22 ,长轴长为 4,F 为 C 的右焦点,点 A,B 在 C 上,且关于 y 轴对称,其中点 A 在第一象限. P,Q 分别为线段 AF,AB 的中点,点 E12,0,O 为坐标原点,则 A. C 的方程为 x24+y22=1
B. PQ+PF=2
C. AE 的最小值为 32
D. △OPF 的面积的取值范围为 0,12
11. 已知函数 fx 满足 ∀x,y∈R,fxfy−2fx+y=xy ,且 f−2≠0 ,则
A. f0=2 B. f2=1
C. f2−xf5
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知向量 a=1,0,b=0,−2 ，若 ma−b⊥a+b ，则实数 m= _____.
13. 已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 −1,0 的直线与 C 在第四象限内交于 A,B 两点,若 AF=2BF ，则直线 AB 的斜率为_____.
14. 某数学兴趣小组有 4 名男生与 2 名女生参加答题活动，规则如下:先从这 6 人中随机选 1 人回答问题,再从剩下的 5 人中随机选 1 人回答问题,依此进行,直到剩下的学生的性别一样或仅剩 1 人时答题结束. X 为答题结束时选取答题的人数,则 EX= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取 6 名学生，对其入学的数学成绩 x (分)和高一第一学期期末考试数学成绩 y (分)进行了统计，如下表:
(1)规定高一期末数学成绩不低于 90 分为及格，不低于 120 分为优秀，从所抽取的 6 人中随机选取 1人，记 A 为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，B 为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求 PB∣A ；
(2)由散点图可知 y 与 x 之间具有线性相关关系，求 y 关于 x 的经验回归方程并估计某中考数学成绩为 110 分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩(成绩保留整数，采用四舍五入法).
附:经验回归模型 y=bx+a 中， b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2,a=y−bx ;
参考数据: i=16xiyi=46900,i=16xi2=35500 .
16. (本小题满分 15 分)
在数列 an 中, a1=1,n+1an=nan+1 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 Sn 为 an 的前 n 项和，求数列 1an+2Sn 的前 n 项和 Tn .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在 △ABC 中， AB=5,AC=2+2,D 为线段 AC 上一点， AD=2,BD=5 ，过点 D 作 DE⊥ AC ,交 BC 于点 E ,将 △CDE 沿 DE 翻折至 △PDE 的位置，使得 AP=2 .

(1)证明: AP⊥ 平面 PDE ；
(2)在线段 DE 上是否存在点 M ，使得平面 PBD 与平面 PBM 的夹角的余弦值为 7618 ? 若存在，求出 DMDE 的值；若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右顶点分别为 A,B,AB=6,C 的渐近线方程为 y=±13x .
(1)求 C 的方程；
(2)若 D,E 是 C 上不同于 A,B 的两点，过 D 作与直线 y=13x 平行的直线交直线 AE 于点 P ，过 D 作与直线 y=−13x 平行的直线交直线 BE 于点 Q .
(i) 若点 D 在第一象限，记直线 AD ， BD 的斜率分别为 k1 ， k2 ，求 4k1+k2 的最小值；
(ii)证明:直线 PQ 恒过定点.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=4x−tanx,x∈−π2,π2 .
(1)求 fx 的单调区间；
(2)证明: ∀x∈0,π2,fx