河南省濮阳市2025-2026学年高二上学期2月期末数学试卷含解析（word版）

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2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需 改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡 上.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 过点 −1,2 且斜率为 32 的直线的方程为( )
A. 2x−3y+4=0 B. 2x−3y+8=0 C. 3x−2y+5=0 D.3x−2y+7=0
【答案】D
【解析】
【分析】利用点斜式方程, 结合一般式, 可得答案.
【详解】由题意可得直线方程为 y−2=32x+1 ,化简可得 3x−2y+7=0 .
故选: D.
2. 已知向量 a=−1,2,x,b=2,−4,2 ，若 a⊥b ，则 x= ( )
A. 5 B. 3 C. 1 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】由向量垂直得出数量积为 0 , 计算求值即可.
【详解】因为 a⊥b ,
所以 a⋅b=0 ,
所以 −2−8+2x=0 ,
解得 x=5 ,
故选: A.
3. 已知等比数列 an 的公比为 2,前 n 项和为 Sn ,若 S3=7 ,则 S6= ( )
A. 21 B. 42 C. 63 D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】先利用等比数列前 3 项和公式求出首项 a1 ,再代入前 6 项和公式计算 S6 .
【详解】等比数列前 n 项和公式: Sn=a1qn−1q−1 ,代入 S3=7,q=2 ,
则 S3=a123−12−1=a1×7=7⇒a1=1 ,则 S6=a126−12−1=1×64−1=63 .
故选: C
4. 已知函数 fx=x+aex 的图象在点 A−1,f−1 和 B1,f1 处的切线互相垂直,则 a= ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求得 f′x ,利用 f′1f′−1=−1 ,即可求得结果.
【详解】因为 f′x=x+a+1ex ,所以 f′1=a+2e,f′−1=ae−1=ae ,
由题意有 f′1f′−1=−1 ,即 a+2e⋅ae=−1 ,
可得 a2+2a+1=0 ,即 a+12=0 ,
解得 a=−1 ,
故选: B
5. 已知数列 an 满足 3an+1−an+2an+1an=0,a1=1 ,则()
A. 1an 是等差数列 B. 3an 是等差数列
C. 1an+2 是等比数列 D. 1an+1 是等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】将原式进行变形化简, 根据等比数列的定义进行判断即可.
【详解】数列 an 满足 3an+1−an+2an+1an=0 ,可得 3an−1an+1+2=0 ,则有 3an+3=1an+1+1
所以 1an+1+1=31an+1 ,又 1a1+1=2 ,
根据等比数列的定义可知,数列 1an+1 是首项为 2 公比为 3 的等比数列, D 选项正确;
所以 1an+1=2×3n−1,1an=2×3n−1−1 ,则有 1a1=1,1a2=5,1a3=17 ,
1a3−1a2=12,1a2−1a1=4,1a3−1a2≠1a2−1a1,1an 不是等差数列, A 选项错误;
3a3−3a2=36,3a2−3a1=12,3a3−3a2≠3a2−3a1,3an 不是等差数列, B 选项错误;
1a3+21a2+2=197,1a2+21a1+2=72,1a3+21a2+2≠1a2+21a1+2,1an+2 不是等比数列, C 选项错误.
故选: D.
6. 如图,在三棱台 ABC−A1B1C1 中， AB=2A1B1,AB=a,AC=b,AA1=c,E,F 分别为 CC1,A1B1 的中点，则 EF= ( )

A. 14a−34b+12c B. 12a+14b−34c C. −34a+12b+14c
34a+14b−12c
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可.
【详解】 EF=EC+CA+AA1+A1F=12C1C−AC+AA1+12A1B1 .
因为 C1C=C1A1+A1A+AC,A1B1=12AB,AB=a,AC=b,AA1=c ,
所以 EF=12C1C−AC+AA1+12A1B1=12C1A1+A1A+AC−b+c+14a =12−12b−c+b−b+c+14a=14a−34b+12c .
故选: A.
7. 若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同,且离心率之积为 1 , 则称椭圆为该双曲线的伴生椭圆. 已知双曲线 C:x22−y22=1 的左焦点为 F,C 的伴生椭圆 E 与 C 在第一象限的交点为 M ,则 MF= ( )
A. 4 B. 32 C. 42 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由新定义求出双曲线 C 的伴生椭圆 E 的方程 x28+y24=1 ,进而联立方程求出点 M 坐标, 再求解 MF 即可.
【详解】已知双曲线 C:x22−y22=1 ,得 a=2,b=2 ,即知 c=a2+b2=2+2=2 , 所以双曲线的左焦点为 F−2,0 ,离心率 e=ca=22=2 ,
设双曲线 C 的伴生椭圆 E 的离心率为 e1 ,则 e1⋅e=1 ,即 e1=1e=12=22 ,
因为椭圆 E 的左焦点也为 F−2,0 ,设椭圆 E 的半长轴为 a1 ,半短轴为 b1 ,
则 e1=ca1=22,a1=22,b12=a12−c2=8−4=4
所以椭圆 E 的方程为 x28+y24=1 .
联立 x28+y24=1x22−y22=1 ,解得 x=±2y=±2 ,
设椭圆 E 与 C 在第一象限的交点为 Mx0,y0 ,即 M2,2 ,
所以 MF=2+22+2−02=32 , 故选: B.

8. 若函数 fx=−x2+4x−2−x−t 恰有 2 个零点,则实数 t 的取值范围是( )
A. −4,0 B. [2−2,0) ,
C. [−2−2,2−2) D. −2−2,2−2
【答案】B
【解析】
【详解】令 −x2+4x−2−x−t=0 ,等价于 y=−x2+4x−2y=x+t ,
由方程 y=−x2+4x−2 ,等价于 x−22+y2=2y≥0 ,
则方程的图象为圆心 2,0 ,半径 r=2 的半圆,
由题意可得直线 y=x+t 与半圆 y=−x2+4x−2 存在两个交点,
可作图如下:

当直线与半圆只有一个交点时,圆心到直线的距离为 r ,
令 2−0+t1+1=2 ,解得 t=0 ,可得 l1:y=x ;
令 y=0 ,由 y=−x2+4x−2 ,解得 x=2−2 或 2+2 ,
将 2−2,0 代入 y=x+t ，可得 0=2−2+t ，解得 t=2−2 ，即 l2:y=x+2−2 .
当 l 在 l1 与 l2 之间(含 l2 不含 l1 )时，与半圆的交点有两个，
综上可得 2−2≤t0,y1>0 ,因为 AF=4 ,
由抛物线的焦半径公式 AF=x1+p2 ,可得 x1=3 ,对应的 y1=4x1=23 .
所以 A3,23 ,所以直线 AB 的斜率为 k=23−03−1=3 .
所以直线 AB 的方程为 y−0=3x−1 ,即 y=3x−3 , B 正确;
联立直线 AB 的方程与抛物线方程得, 3x−32=4x ,化简得 3x2−10x+3=0 .
解得 x1=3,x2=13 ,所以弦长 AB=x1+x2+p=163,C 错误;
因为直线 AB 的方程为 y=3x−3 ,所以原点 O 到直线 AB 的距离为 d=33+1=32 .
所以 △AOB 的面积为 S=12×32×163=433 , D 正确.
故选: ABD.
11. 在正项数列 an 中, a1+a2=10 ,且对任意 m,n∈N∗,m∤nam+n=m+naman ,数列 bn 的前 n 项和为 Sn,bn=11an−λn−tn2+62n+1 ,则下列说法正确的是 ( )
A. a2=6
B. a10=10240
C. 若 t=0 ,且 bn 是递增数列,则 λ 的取值范围为 −∞,44
D. 若 λ=0,t=1 ,则 Sp−Sqp>q 的最大值为 32
【答案】BD
【解析】
【分析】先通过递推关系构造等比数列求出 an=n⋅2n ,再代入 bn 的表达式,逐一分析每个选项的正确性.
【详解】选项 A: 赋值 m=n=1 时,求 a1 和 a2 ,代入递推式得:
1⋅1⋅a2=1+1⋅a1⋅a1⇒a2=2a12 ,结合 a1+a2=10 ,得方程: a1+2a12=10 ,解方程得 a1=2 ,因此 a2=2⋅22=8 ,所以选项 A 错误;
选项 B: 赋值 m=1,n=kk≥2 时,推导递推公式得:
1⋅k⋅ak+1=1+k⋅a1⋅ak⇒kak+1=2k+1ak ,整理得比值关系: ak+1ak=21+kkk≥2 ,
累乘得: an=a1⋅a2a1⋅a3a2⋯anan−1 ,代入 a1=2 和比值关系:
an=2⋅2⋅21⋅2⋅32⋯2⋅nn−1=2⋅2n−1⋅n=n⋅2n ,
当 n=10 时, a10=n⋅2n=10⋅210=10240 ,选项 B 正确;
选项 C: 递增数列需满足 bn+1−bn>0 对任意的 n∈N∗ 成立,计算 bn+1−bn :
bn+1−bn=11n+1⋅2n+1−λn+1−11n⋅2n−λn⇒bn+1−bn=11⋅2nn+2−λ ,
要求 11⋅2nn+2>λ 对所有 n 成立,即 λ0 ,故只需 −2n2+11n−12≥0 ,解不等式:
−2n2+11n−12≥0⇒n∈1.5,4 ,因此, n=2,3,4 时 bn≥0 ,其余 n 时 bnb>0 的左、右焦点, M 为椭圆上在 y 轴右侧的一动点，且 MF1−MF2=MO ( O 为坐标原点)，则该椭圆离心率的取值范围为_____.
【答案】 12,1
【解析】
【分析】用 MO 表示出 MF2 ,结合三角形的存在性判断即可.
【详解】

因为 MF1−MF2=MO ,且 MF1+MF2=2a ,
所以 MF2=a−MO2 ,
又因为 OF2=c ,
所以在三角形 OF2M 中,
MO2n−8 ,
整理得 n2−9n+8>0 ,解得 n8 ,
故 n 的最小值为 9 .
16. 已知圆 C:x−a2+y−2a2=r2a>0,r>0 ) 过原点,且与直线 2x+y−9=0 相切.
(1)求圆 C 的方程；
(2)判断圆 C 与圆 M:x2+y2+2y−2=0 是否相交，若相交，请求出公共弦的长.
【答案】(1) x−12+y−22=5
(2)相交， 2355
【解析】
【分析】(1) 利用圆 C 过原点,以及直线 2x+y−9=0 与圆 C 相切,可得出关于 a、r 的方程组, 解出这两个量的值,即可得出圆 C 的方程;
(2)利用圆与圆的位置关系可判断出圆 C 与圆 M 相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆 M 所得弦长即可.
【小问 1 详解】
∵ 圆 C 过原点， ∴−a2+−2a2=r2 ，①
∵ 圆 C 与直线 2x+y−9=0 相切, ∴2a+2a−912+22=r ,(2
①② 联立，解得 a=1 ， r=5 ， ∴ 圆 C 的方程为 x−12+y−22=5 .
【小问 2 详解】
圆 M:x2+y+12=3 ,圆心 M0,−1 ,半径 R=3
∵5−3=r−R0 的右焦点为 F2,0 ,一条渐近线的方程为 y=3x.
(1)求 E 的方程.
(2)过直线 y=3x 上一点 P 作直线 l ，与 E 交于 A,B 两点.
(i) 证明: 当 PA=PB 时, P 必与原点重合;
(ii) 求 PA⋅PB 的最小值.
【答案】(1) x2−y23=1
(2)(i)证明见解析；(ii)1
【解析】
【分析】(1) 根据 c=2,ba=3 ,结合 a2+b2=c2 ,可求 a,b 的值,进而得到双曲线的标准方程.
(2)(i)方法一:设 Pt,3t ，直线 l:y=kx−t+3t ，将直线 l 的方程与双曲线方程联立，根据 P 为 A,B 中点，可求 t 的值.
方法二:涉及中点弦的问题，可用“点差法”证明.
(ii) 分直线 l 斜率不存在和存在两种情况讨论. 当直线 l 斜率存在时,将直线 l 的方程与双曲线方程联立,利用韦达定理和弦长公式,表示出 PA⋅PB ,结合二次函数的性质,求最小值即可.
【小问 1 详解】
设 E 的半焦距为 cc>0 . 由题知 c=2,ba=3 ,
∴b=3a,∴a2+b2=a2+3a2=4a2=c2=4 ,
∴a2=1,∴b2=3a2=3 ,
∴E 的方程为 x2−y23=1 .
【小问 2 详解】
(i) 方法一: 设 Pt,3t ,易知直线 l 的斜率一定存在,设 l:y=kx−t+3t .

由 3x2−y2−3=0y=kx−t+3t ,得 3−k2x2−2kt3−kx−3−k2t2−3=0 ,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 3−k2≠0Δ>0x1+x2=2kt3−k3−k2 .
∵PA=PB,∴x1+x2=2kt3−k3−k2=2t ,整理得 3k−3t=0 ,
∵3−k2≠0,∴k≠±3,∴t=0 ,即点 P 与原点重合.
方法二: 设 Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2 .
由 x12−y123=1,x22−y223=1 ,作差可得 y1−y2y1+y2=3x1−x2x1+x2 .
∵PA=PB, ∴x0=x1+x22, y0=y1+y22, ∴y1−y2y0=3x1−x2x0 ,
又 y0=3x0,∴y1−y2x0=3x1−x2x0 .
由题意知,直线 l 的斜率一定存在,且斜率不能等于 3 ,即 y1−y2≠3x1−x2 ,
∴x0=0,y0=0 ,即点 P 与原点重合.
(ii) 设 Pt,3t .
当 l 与 x 轴垂直时, l:x=tt>1 ,设点 At,y1 ,则 Bt,−y1 ,
∴PA⋅PB=3t−y1⋅3t+y1=3t2−y12 ,
又点 A 在 E 上, ∴t2−y123=1 ,即 3t2−y12=3,∴PA⋅PB=3 .
当 l 的斜率存在时,由 3x2−y2−3=0y=kx−t+3t 得 3−k2x2−2kt3−kx−3−k2t2−3=0 ,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 3−k2≠0Δ>0x1+x2=2kt3−k3−k2x1x2=−3−k2t2−33−k2 ,
PA⋅PB=1+k2t−x1⋅1+k2t−x2=1+k2t2−x1+x2t+x1x2
=1+k2t2−2kt23−k3−k2+−3−k2t2−33−k2=3+3k2k2−3=3+12k2−3≥1 ,当 k=0 时,等号
成立.
综上, PA⋅PB 的最小值为 1 .