云南德宏州2025年秋季学期县中高二年级教学质量统一监测数学试卷（含答案）

这是一份云南德宏州2025年秋季学期县中高二年级教学质量统一监测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l经过点A2,−1和点B4,3，则直线l的斜率为( )
A. −5B. 2C. 0D. −2
2.抛物线y2=2026x的准线方程为( )
A. y=10132B. x=10132C. x=−10132D. y=−10132
3.已知数列an的通项公式为an=n2+2，则146是该数列的( )
A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第13项
4.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的其中一条渐近线的斜率为12，则离心率为( )
A. 2B. 3 55C. 4 55D. 52
5.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，则BD1=( )
A. −a+b+cB. a−b+cC. a+b−cD. −a−b+c
6.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=4，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角的大小为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
7.已知an是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，a1a5=a3，且2a4与a5的等差中项为4，则S4等于( )
A. 74B. 154C. 152D. 314
8.从原点O引圆(x−m)2+(y−2)2=m2+1的切线为y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是
A. x2+y2=2B. (x−1)2+y2=3
C. (x−1)2+(y−1)2=1D. x2+y2=3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an的前n项和为Sn,a1=3,an+1=11−an，则( )
A. a3=23B. a5>0C. a8=−12D. S8=40
10.已知椭圆C:x29+y2m=1的两个焦点为F1,F2,P为C上不与F1,F2共线的点，则下列说法正确的有( )
A. 实数m的取值范围是(0,+∞)
B. 若椭圆C的焦点在x轴上，则PF1+PF2=6
C. 若m=8，则▵PF1F2周长为8
D. 若m=18，则椭圆C的离心率为 22
11.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD=DE=4，G为线段AE上的动点，则( )
A. AE⊥CF
B. 若G为线段AE的中点，则GB//平面CEF
C. 点B到平面CEF的距离为4 33
D. BG2+CG2的最小值为48
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知an为等差数列，若a2+a8=12，则a5= ．
13.直线3x−4y+10=0与以点C(1,2)为圆心的圆相交于A,B两点，且|AB|=4，则圆C的标准方程为 ．
14.已知F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且△PF1F2的面积为c22(c为双曲线C的半焦距)，则C的渐近线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S6=S5+7．
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=2an，求数列{an+bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(3,m)在抛物线上，且|MF|=5．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=16，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图所示，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2.
(1)证明：PB//平面DEF；
(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知数列an的前n项和Sn=n2，数列bn的前n项和Tn=2bn−2．
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列bn的通项公式；
(3)若cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Qn．
19.(本小题17分)
设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，且F1(−1,0)，离心率为12．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设动直线l与坐标轴不垂直，动直线l与椭圆E交于不同的M、N两点，且直线F2M和F2N的斜率互为相反数．
(i)证明：动直线l恒过x轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
(ii)求▵OMN面积的最大值．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.A
6.B
7.B
8.D
9.AC
10.BCD
11.ABC
12.6
13.x−12+y−22=5
14.y=±x
15.解：(1)因为S6=S5+7，
所以a6=S6−S5=7，
故{an}的公差d=a6−a16−1=7−26−1=1，
所以{an}的通项公式为an=2+(n−1)×1=n+1．
(2)由(1)及题设得bn=2an=2n+1，
所以b1=22=4，bn+1bn=2n+22n+1=2，
所以{bn}是首项为4，公比为2的等比数列．
Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+⋯+(an+bn)
=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=(2+n+1)n2+4(1−2n)1−2
=12n2+32n+2n+2−4．
16.解：(1)根据抛物线的定义可知，
|MF|=xM+p2=5，即3+p2=5，解得p=4，
所以抛物线的方程为y2=8x．
(2)
由(1)知，抛物线焦点为F(2,0)，
若直线l的斜率不存在，则A(2,4),B(2,−4)，
则|AB|=8，不满足题意，
所以直线l的斜率存在且不为零，并设为k，则l:y=k(x−2)，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
联立y2=8xy=k(x−2)，消去y可得，k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，
所以x1+x2=4k2+8k2=4+8k2，
因为|AB|=AF1+BF1=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=4+8k2+4=16，
解得k=±1，
所以直线l的方程为y=±(x−2)．

17.解：(1)证明：题意知E，F分别是BC，CP的中点，所以PB/​/EF，
因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB/​/平面DEF；
(2)由PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，可知AB，AC，AP两两垂直，
则可以A点为坐标原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，
D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(0,12,1)，
所以AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)，
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，
则DE⋅n=y2=0DF⋅n=−12x+y2+z=0，
令z=1，则x=2，得n=(2,0,1)，
设直线PA与平面DEF所成角为θ，
则sinθ=|n⋅AP|n||AP||=|22× 5|= 55，
故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 55．
18.解：(1)当n=1 时，a1=S1=1，
当n≥2 时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
又a1=1符合上式，
故数列an 的通项公式为：an=2n−1n∈N∗.
(2)当n=1 时，T1=b1，代入得：b1=2b1−2⇒b1=2，
当n≥2 时，由Tn=Tn−1+bn 及Tn=2bn−2，Tn−1=2bn−1−2，
得：2bn−2=2bn−1−2+bn⇒bn=2bn−1，
又b1=2≠0，
所以数列bn 是首项为2、公比为2 的等比数列，
其通项公式为：bn=2⋅2n−1=2nn∈N∗.
(3)代入an,bn得：cn=an⋅bn=2n−1⋅2n，
于是：
Qn=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+2n−1⋅2n，
2Qn=1⋅22+3⋅23+⋯+2n−3⋅2n+2n−1⋅2n+1，
两式相减得：
−Qn=2+3−1⋅22+5−3⋅23+⋯+2n−1−2n−3⋅2n−2n−1⋅2n+1，
=2+23+24+25+⋅⋅⋅+2n+1−2n−1⋅2n+1
=2+8⋅2n−1−12−1−2n−1⋅2n+1
=2+2n+2−8−2n−1⋅2n+1
=3−2n⋅2n+1−6
所以：Qn=2n−3⋅2n+1+6.

19.解：(1)因为F1(−1,0)，所以c=1，
离心率e=ca=12，得a=2，
由b2=a2−c2=4−1=3
所以椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2)(i)设直线l：y=kx+mk≠0,Mx1,y1,Nx2,y2,F21,0，
联立方程y=kx+mx24+y23=1,
得到3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
由已知方程3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0的判别式Δ>0，
由韦达定理：x1+x2=−8km3+4k2,x1x2=4m2−123+4k2．
因为直线F2M和F2N的斜率互为相反数．
所以y1x1−1+y2x2−1=0，
即kx1+mx1−1+kx2+mx2−1=0，
化简得到2kx1x2+m−kx1+x2−2m=0，
即2k⋅4m2−123+4k2+m−k⋅−8km3+4k2−2m=0，
即2k4m2−12−8kmm−k−2m3+4k2=0，
化简得到4k+m=0⇒m=−4k．
故直线l:y=k(x−4)，恒过x轴上的定点T(4,0)．
(ii)点O到直线y=k(x−4)的距离为：d=4|k| k2+1；
由m=−4k，代入3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
得到3+4k2x2−32k2x+64k2−12=0
则Δ=1441−4k2>0，又k≠0，故0