2025-2026学年湖南省张家界市桑植县高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省张家界市桑植县高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.与向量a=(1,0,−2)共线的向量的坐标可以为( )
A. (2,0,−1)B. (2,0,−4)C. (2,−1,1)D. (−2,0,−4)
2.观察下列数列的特点，在划线处应璃的数是( )
1，1，2，3，5，_____，13，…
A. 7B. 8C. 9D. 10
3.已知圆的标准方程是x2+y2=25，下列各点在圆内的是( )
A. (−2, 22)B. (−3,−4)C. (−2 3, 11)D. (3 2, 7)
4.抛物线y2=4x上横坐标为1的点到焦点的距离为( )
A. 2B. 32C. 1D. 12
5.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12c
D. 23a+23b−12c
6.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+2)，则a5=( )
A. 74B. 94C. 95D. 115
7.已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)0)与双曲线C1：x2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)有相同的焦点F1，F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且cs∠F1PF2=35，则当1e1+2e2取最大值时，e1+e2=( )
A. 3 25B. 4+ 33C. 3 105D. 2+ 62
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆C：x2+4y2=16的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的任意一点，则( )
A. C的离心率为12B. |PF1|+|PF2|=8
C. |PF1|的最大值为4+2 3D. 使∠F1PF2为直角的点P有4个
10.下列说法正确的是( )
A. 若直线x+y−a=0与直线3x−ay+3=0平行，则它们之间的距离是 2
B. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
C. 当点P(3,2)到直线mx−y+1−2m=0的距离最大时，m的值为−1
D. 已知直线l过定点P(1,0)且与以A(2,−3)，B(−3,−2)为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−3]∪[1,+∞)
11.如图，在矩形ABFC中，AE= 3，EF=2，B为EF的中点，分别沿AB，BC将△ABE、△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三线锥P−ABC，则( )
A. 三棱锥P−ABC的体积为 23B. PA与BC所成角的余弦值为 36
C. PA与平面PBC所成角的正接值为13D. 三棱锥P−ABC的外接球半径为 224
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数f(x)=x3+1，则曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为 ．
13.已知向量a=(2,−3,0)，b=(0,3,4)，则向量a在向量b方向上的投影向量为 ．
14.记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=4，且Sn+1=4Sn+4n+1，则Sn= ；若对于任意n∈N∗，都有λan≤(n−16)Sn，则实数λ的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C的圆心在直线x−y−1=0上且与x轴相切于点M(5,0)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点P(2,2)且被圆C截得的弦长为4 3，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=n2，数列{bn}满足b1=0，bn+1=2bn+n−1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{bn+n}为等比数列；
(3)求数列{(n+bn)⋅an}的前n项和．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD//BC，AD=AP=2AB=2BC=2，PA⊥平面ABCD，E为棱PD上的动点．
(1)当E为棱PD的中点时，证明：EC//平面PAB；
(2)若PE=2ED，求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−x−6lnx．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)当x∈[1,4]时，讨论方程f(x)−m=0的实数解的个数．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12.且经过点(1,32),P,Q是椭圆C上的两点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若直线OP与OQ的斜率之积为−34(O为坐标原点)，点D为射线OP上一点，且OP=PD，若线段DQ与椭圆C交于点E，设QE=λED(λ>0).(i)求λ值，(ii)求四边形OPEQ的面积．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.A
5.B
6.D
7.D
8.C
9.BCD
10.AC
11.ABD
12.3
13.(0,−2725,−3625)
14.n⋅4n
(−∞,−16]
15.解：(1)由题意圆C的圆心在直线x−y−1=0上且与x轴相切于点M(5,0)，
因为圆C与x轴相切于点M(5,0)，所以圆心C的横坐标为5，
又因为圆C的圆心在直线x−y−1=0上，则圆心C的纵坐标为4，即C(5,4)，
则圆C的半径r=|MC|=4，
所以圆C的方程为(x−5)2+(y−4)2=16；
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则d= r2−(4 32)2= 42−12=2，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时d=3，不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x−2)，
即kx−y+2−2k=0．
则d=|5k−4+2−2k| k2+1=2，解得k=125或0，
所以直线l的方程为12x−5y−14=0或y=2．
综上所述，直线l的方程为12x−5y−14=0或y=2．
16.解：(1)由Sn为数列{an}的前n项和，Sn=n2，可得a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
上式对n=1也成立，
则数列{an}的通项公式为an=2n−1；
(2)证明：由{bn}满足b1=0，bn+1=2bn+n−1，
可得bn+1+n+1=2bn+n−1+n+1=2(bn+n)，
即有数列{bn+n}是首项为1，公比为2的等比数列；
(3)由等比数列的通项公式，可得bn+n=2n−1，
又an=2n−1，
可得(n+bn)⋅an=(2n−1)⋅2n−1，
设数列{(n+bn)⋅an}的前n项和为Tn，
Tn=1⋅20+3⋅21+5⋅22+...+(2n−1)⋅2n−1，
2Tn=1⋅21+3⋅22+5⋅23+...+(2n−1)⋅2n，
相减可得−Tn=1+22+23+...+2n−(2n−1)⋅2n=1+4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n=−3+(3−2n)⋅2n，
即有Tn=3+(2n−3)⋅2n．
17.(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E为PD的中点，
所以EF//AD,EF=12AD，
因为AD//BC，AD=2BC，
所以EF//BC，EF=BC，
所以四边形EFBC为平行四边形，所以EC//BF．
又BF⊂平面PAB，EC⊄平面PAB，
所以EC//平面PAB．
(2)因为AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，即AB，AD，AP两两垂直，
故可以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，
因为PE=2ED，所以E(0,43,23)，
所以AC=(1,1,0),AD=(0,2,0),AE=(0,43,23)．
设平面EAC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥ACn⊥AE，则n⋅AC=x+y=0n⋅AE=43y+23z=0，
取y=1，得x=−1，z=−2，
所以n=(−1,1,−2)，.
因为AB⊥AD，AP⊥AD，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．
所以AD=(0,2,0)为平面PAB的一个法向量，
设平面EAC与平面PAB的夹角为θ，
则csθ=|cs|=|n⋅AD||n|⋅|AD|=22 6= 66．
所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为 66．
18.解：(1)由题意函数f(x)=x2−x−6lnx，
可得f′(x)=2x−1−6x=(2x+3)(x−2)x，
令f′(x)=0，得x=2，
当x>2时，f′(x)>0，f(x)递增；
当0