2025-2026学年江苏省常州市北郊高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省常州市北郊高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.A63+C108=( )
A. 65B. 160C. 165D. 210
2.对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是( )
A. r1B. r2C. r3D. r4
3.记Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1+a5=2，a3，a1，a7成等比数列，则S6=( )
A. 0B. 6C. 12D. 18
4.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、乙两台车床的正品率分别为94%，92%.现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为( )
A. 0.93B. 0.934C. 0.94D. 0.945
5.学校组织学生参加劳动基地实践活动，将4名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建3个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到1个项目，每个项目至少分配1名学生，则不同的分配方案共有( )
A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种
6.已知P为抛物线C：y2=4x上的动点，点P到y轴的距离为d1，点P到直线l：y=2x+8的距离为d2，则d1+d2的最小值为( )
A. 10−1B. 2 5C. 2 5−1D. 5 2−1
7.已知(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则a1=( )
A. 1B. 2C. 20D. 24
8.已知数列{an}的各项均为正数，a1=2，an+1−an=4an+1+an，若数列{1an+1+an}的前n项和为5，则n=( )
A. 119B. 121C. 120D. 1222
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=15，D(X)=10，则p=13
B. 已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(X0B. S12>0
C. 数列{Sn}的最大项为S11D. |a6|>|a7|
11.设M，N为随机事件，且P(M)，P(N)∈(0,1)，则下列说法正确的是( )
A. 若P(N|M)=P(N)，则M，N可能不相互独立
B. 若P(N|M)=P(N)，则P(M|N)=P(M)
C. 若a=P(N|M)P(N−|M)⋅P(M|N−)P(M−|N−),b=P(M|N)P(M−|N)⋅P(N|M−)P(N−|M−)，则a=b
D. 若P(N|M∪N)=P(N−|M∪N)，则P(N)=P(M|N−)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是 ．
13.若数列{an}满足a1=12，an+1=1+an1−an(n∈N∗)，则该数列的前2026项的乘积a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅a2026等于 ．
14.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若|AF|=13|FB|，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C经过点A(−1,0)和B(5,0)，且圆心在直线x+2y−2=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l过点D(−1,1)，且与圆C相切，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的首项为a1=12，且满足an+1=an4an+1
(1)求证{1an}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，求Tn．
17.(本小题15分)
某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额x1和年收入的附加额y1进行研究，得到相关数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：i=17xiyi=2976，i=17yi=42，i=17xi2=32800．
附：回归方程的斜率和极距的最小二乘估计公式分别为：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−．
18.(本小题17分)
已知点( 3,1)是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)一点，且椭圆的离心率为 63．
(1)求此椭圆E方程；
(2)设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O．
(i)求矩形ABCD面积的最大值；
(ii)问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32an−n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{1an}的前n项和为Tn，且Tn≤M，求整数M的最小值；
(3)设bn=[1+1lg3(an+1)]n，且bn≤N，求整数N的最小值；
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.C
8.C
9.ACD
10.BD
11.BC
12.216625
13.32
14. 3或 62
15.(1)圆C经过点A(−1,0)和B(5,0)，
则直线AB的垂直平分线为x=2，
圆心在直线x+2y−2=0上，
联立x=2x+2y−2=0，解得x=2y=0，即圆心C(2,0)，
圆C的半径r=|AC|=3，
故圆C的标准方程为(x−2)2+y2=9；
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x=−1，满足直线l与圆C相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y−1=k(x+1)，即kx−y+k+1=0，
直线l与圆C相切，
则|2k−0+k+1| 1+k2=3，解得k=43，此时直线l的方程为4x−3y+7=0；
综上所述，直线l的方程为x=−1或4x−3y+7=0．
16.(1)证明：已知a1=12，an+1=an4an+1，
则an≠0，可得1an+1=4an+1an=4+1an，即1an+1−1an=4，
所以数列{1an}是以1a1=2为首项，以4为公差的等差数列，
可得1an=2+4(n−1)=4n−2，即an=14n−2；
(2)解：由(1)可知，an=14n−2，
则2nan=(4n−2)2n=(2n−1)2n+1，
令bn=(2n−1)2n+1，cn=(2n−5)2n+1，
则bn=cn+1−cn=[2(n+1)−5]2n+2−(2n−5)2n+1，
所以Tn=k=1nbk=(−1)×23−(−3)×22+1×24−(−1)×23+⋯+[2(n+1)−5]2n+2
−(2n−5)2n+1=(2n−3)2n+2+12．
17.解：(1)x−=17(10+30+40+60+80+90+110)=60，y−=17i=17yi=6，
b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nxy−i=1nxi2−nx−2=0.06，
又因为a​=y−−b​x−，
所以a =y−−b x−=6−0.06×60=2.4，
所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为y=0.06x+2.4．
(2)7个投入额中，“优秀投资额”的个数为3个，故X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C43C73=435，P(X=1)=C31C42C73=1835，P(X=2)=C32C41C73=1235，P(X=3)=C33C73=135，
则X的分布列为
E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．
18.解：(1)设椭圆E的半焦距为c，
因为点( 3,1)是椭圆E一点，且椭圆的离心率为 63，
所以e2=c2a2=1−b2a2=23( 3)2a2+1b2=1，
解得a2=6，b2=2，
则椭圆E的方程为x26+y22=1；
(2)(i)由(1)知A(− 6,0)，
设直线AB的方程为y=k(x+ 6)(k>0)，
联立y=k(x+ 6)x2+3y2=6，消去y并整理得(3k2+1)x2+6 6k2x+18k2−6=0，
由韦达定理得xAxB=18k2−63k2+1，
解得xB=− 6(3k2−1)3k2+1，
所以|AB|= 1+k2|xA−xB|=2 6⋅ 1+k23k2+1，
因为矩形ABCD的边CD过原点O，
所以|BC|= 6k 1+k2，
所以矩形ABCD的面积S=|AB|⋅|BC|=12k3k2+1=123k+1k≤122 3k⋅1k=2 3，
当且仅当3k=1k，即k= 33时，等号成立，
则矩形ABCD面积的最大值为2 3；
(ii)假定矩形ABCD能成为正方形，
此时|AB|=|BC|，
由(i)知2 6⋅ 1+k23k2+1= 6k 1+k2，
整理得(k−1)(3k2+k+2)=0，
因为3k2+k+2≠0，
所以k=1，
则矩形ABCD能成为正方形．
此时直线AB的方程为y=x+ 6．
19.解：(1)因为Sn=32an−n，
当n=1时，S1=32a1−1，解得a1=2，
当n≥2时，由Sn=32an−n，可得Sn−1=32an−1−(n−1)，
两式相减得an=Sn−Sn−1=32an−32an−1−1，an=3an−1+2，则an+1=3(an−1+1)，
则an+1an−1+1=3，所以{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以an+1=3n，即an=3n−1，所以数列{an}的通项公式为an=3n−1．
(2)因为1an=13n−1=12×3n−1+3n−1−1≤12×3n−1，
所以Tn≤12×(1+131+132+⋯+13n−1)=12×1−13n1−13=34(1−13n)0，所以0