2025-2026学年陕西省汉中市镇巴中学等校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年陕西省汉中市镇巴中学等校高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与直线l：y=12x平行的直线为( )
A. 2x+y+1=0B. 2x−y+1=0C. x+2y+1=0D. x−2y+1=0
2.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是4，则点P到y轴的距离为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.已知椭圆C：x216+x212=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(不含顶点)，则△PF1F2的周长为( )
A. 6B. 12C. 10D. 20
4.双曲线2x2−y2=1的渐近线方程是( )
A. y=±12xB. y=±2xC. y=± 22xD. y=± 2x
5.在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，A学校1200名学生的成绩近似服从正态分布N(90,σ2)，且成绩低于70分的占0.1，则成绩在(90,110]分的有多少人( )
A. 240B. 360C. 480D. 600
6.某校组织数学竞赛培训，需从5名男生和4名女生中选3人组成集训小组，要求至少有一名女生，则不同的选法共有多少种( )
A. 74B. 70C. 64D. 80
7.茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，已知变量x和y满足经验回归方程y =4.2x−7.9，且变量x和y一组相关数据统计结果如表：
则下列说法错误的是( )
A. m=14
B. 变量x和y呈正相关
C. 该经验回归方程必过点(4,8)
D. 若某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为25.7万
8.某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略，三种时段的时间占比为2：2：1.在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为0.5和0.5；在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为0.5和0.5；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为0.5和0.5.三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头0.02，红外传感器0.02，声音传感器0.02.假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为( )
A. 0.01B. 0.02C. 0.03D. 0.04
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设{a,b,c}是空间的一组基底，则下列结论正确的是( )
A. 基底{a,b,c}中的向量可以为任意向量
B. 空间中任一向量m，存在唯一有序实数组(x,y,z)，使m=xa+yb+zc
C. 向量a，b，c可以共面
D. {a+2b,b+2c,c+2a}也可以构成空间的一组基底
10.下列各式正确的是( )
A. A83=8A72
B. A76+A74=A72
C. C32+C42+C52+⋯+C20252=C20263−1
D. C60+C61+C62+⋯+C65+C66=26
11.甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军，已知甲在三个项目中获胜的概率分别为12,25，p，各项目的比赛结果相互独立.则下列说法正确的是( )
A. 若p=45，甲得4分的概率为1140
B. 乙至少赢一场的概率为4p5
C. 若p=35，乙赢得比赛的概率为12
D. 要使甲获胜的概率大，p的取值范围(35,1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式(x−1x)5的展开式中，含x3的项系数等于 ．
13.一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中依次取出两个，若第一次取出白球，则第二次取出红球的概率为 ．
14.设空间两个单位向量OA=(m,n,0)，OB=(0,n,p)与向量OC=(1,1,1)的夹角都等于π4，则cs∠AOB=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有A合金部件样本900件，B合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表：单位：件
(1)请完成上述列联表；
(2)依据α=0.05的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
附表：
16.(本小题15分)
如图，直线l：x−2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求△AOB的面积S．
17.(本小题15分)
新春将至，社团联合会推出技能盲盒新春挑战赛，盲盒池内藏3类新春限定技能体验券共100张.其中A类(科创年味券)：20张，含无人机新春灯光秀操控、3D打印生肖挂件建模；B类(文艺年味券)：35张，含非遗剪纸窗花、即兴新春小品表演；C类(运动年味券)；45张，含新春飞盘趣味赛、岩壁新年登高挑战.抽奖分两轮进行，规则如下：
第一轮：不放回抽取2张券；
第二轮：有放回抽取3张券．
(1)第一轮抽奖中，求某人抽到B类和C类卷的概率．
(2)第二轮抽奖中，记抽到的A类券张数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)．
18.(本小题17分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(1)求证：BF//平面ADE；
(2)求二面角C−BD−E的正弦值．
19.(本小题17分)
已知平面上两定点A(4,0)和B(1,0)，动点M满足|MA||MB|=2，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线l：x=32交于点N，证明：|BM|⋅|BN|恒为定值；
(3)若点P、Q在曲线C上，点S( 2, 2)满足直线PS、QS的斜率之积为−2，试问直线PQ是否过定点，若直线PQ过定点，求出该定点坐标；若直线PQ不过定点，请说明理由．
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】CD
12.【答案】−5
13.【答案】12
14.【答案】2+ 34或2− 34
15.解：(1)由分层随机抽样的定义可知，抽取的140件中A合金部件有900900+500×140=90，B合金部件有500900+500×140=50，
补全表格如下：
(2)零假设H0：不同的材料配方与耐热疲劳性能无关联，
则χ2=140×(75×20−30×15)2105×35×90×50≈9.333>3.841，
所以依据α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联．
16.解：(1)因为直线l：x−2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，
令x=0，解得y=1，则上顶点B(0,1)，即b=1，
令y=0，解得x=−2，则左焦点F1(−2,0)，即c=2，
所以a= b2+c2= 5，则离心率e=ca=2 5=2 55；
(2)将椭圆与直线l：x−2y+2=0联立，
x25+y2=1x−2y+2=0，消去y得94x2+5x=0，
解得x=0或−209，则A点的横坐标xA=−209，
所以△AOB的面积S=12×|OB|×|xA|=12×1×209=109．
17.解：(1)根据题意，设A=“某人抽到B类和C类卷”，
在100张体验券中不放回抽取2张券，有C1002种抽取方法，
其中n(A)=35×45，
故P(A)=35×45C1002=722；
(2)根据题意，由于是有放回的抽取，则每次抽到A类券的概率P=20100=15，
则X～B(3,15)，
故P(X=0)=C50×(1−15)3=64125，
P(X=1)=C51×(15)1×(1−15)2=48125，
P(X=2)=C52×(15)2×(1−15)1=12125，
P(X=3)=C53×(15)3=1125，
故X的分布列为：
其期望E(X)=3×15=35．
18.解：(1)证明：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)．
设CF=h(h>0)，则F(1,2,h)，
依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，
又BF=(0,2,h)，可得BF⋅AB=0，
又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF//平面ADE；
(2)依题意，BD=(−1,1,0)，BE=(−1,0,2)，CE=(−1,−2,2)，
设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，
则n⋅BD=0n⋅BE=0，即−x+y=0−x+2z=0，
不妨令z=1，可得n=(2,2,1)，
由图易知平面CBD的法向量为n1(0,0,1)，
因此有cs〈n,n1〉=|n⋅n1||n||n1|=|0×2+0×2+1×1| 02+02+12⋅ 22+22+12=13，
所以二面角C−BD−E的正弦值为sin〈n,n1〉= 1−(13)2= 89=2 23．
19.解：(1)设M(x,y)，因为A(4,0)B(1,0)，|MA|=2|MB|，
所以 (x−4)2+y2=2 (x−1)2+y2，
所以(x−4)2+y2=4((x−1)2+y2)，
化简可得x2+y2=4，
所以曲线C的方程为x2+y2=4．
(2)证明：设直线DB为x=my+1，直线DB与曲线C交点为(x1,y1)，(x2,y2)，
联立x=my+1x2+y2=4，
所以(m2+1)y2+2my−3=0，
所以y1+y2=−2mm2+1，
D、B两点的弦的中点M的纵坐标为−mm2+1，
联立l：x=32与x=my+1，所以N的纵坐标为12m，
|BM|⋅|BN|= m2+1|−mm2+1−0|× m2+1|12m−0|=12，
所以|BM|⋅|BN恒为定值12；
(3)设直线PQ为x=ty+n，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
联立x=ty+nx2+y2=4，
所以(t2+1)y2+2nty+n2−4=0，
所以y3+y4=−2ntt2+1y3y4=n2−4t2+1，
又因为点S( 2, 2)满足直线PS、QS的斜率之积为−2，
所以y3− 2x3− 2×y4− 2x4− 2=−2，
所以y3− 2ty3+n− 2×y4− 2ty4+n− 2=−2，
所以(y3− 2)(y4− 2)=−2(ty3+n− 2)(ty4+n− 2)，
即得(1+2t2)y3y4+(2nt−2 2t− 2)(y3+y4)+2(n2−2 2n+3)=0，
化简得3n2+2 2nt−2t2−4 2n+2=0，
所以(2n− 2)2−( 2t−n)2=0，
所以(2n− 2)−( 2t−n)=0或(2n− 2)+( 2t−n)=0，
当(2n− 2)−( 2t−n)=0时，即n= 23+ 23t，
直线PQ为x=ty+ 23+ 23t，x=t(y+ 23)+ 23，定点为( 23,− 23)；
当(2n− 2)+( 2t−n)=0时，即n= 2+ 2t，
直线PQ为x=ty+ 2+ 2t，x=t(y+ 2)+ 2，定点为( 2,− 2)不满足直线PS、QS的斜率存在，不合题意舍；
当直线PQ为y=y0，P(x3,y0)，Q(−x3,y0)，直线PS、QS的斜率之积为−2，
所以y0− 2x3− 2×y0− 2−x3− 2=−2，
所以(y0− 2)2=−2(2−x32)=−2(−2+y02)，
即得y02−2 2y0−2=0，
所以y0=− 23或y0= 2(舍)，
综上，直线PQ过定点( 23,− 23)；每户家庭人口数x(人)
3
4
5
6
每户茶产业年收入y(万元)
5
8
m
17
材料配方类型
耐热疲劳性能
合计
测试合格
测试不合格
A配方材料试样
75
B配方材料试样
20
合计
140
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
χα2
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
材料配方类型
耐热疲劳性能
合计
测试合格
测试不合格
A配方材料试样
75
15
90
B配方材料试样
30
20
50
合计
105
35
140
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125