江苏省淮安市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试卷（含答案）

这是一份江苏省淮安市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3x−y+1=0的倾斜角为 ( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.圆x2+y2−2x+4y=0的圆心坐标为( )
A. (1,−2)B. (−1,2)C. (1,2)D. (−1,−2)
3.等比数列{an}前n项和为Sn，若a3=4，a7=8a4，则S6=( )
A. 127B. 64C. 63D. 31
4.已知双曲线C:x2m+2−y210−m=1，下列说法正确的是( )
A. m的取值范围为(−2,4)∪(4,10)B. 双曲线C的焦点可能在y轴上
C. 双曲线C的焦距为2 3D. 双曲线C的两条渐近线可能垂直
5.已知函数f(x)=lnx+2xf′(1)，则f(1)=( )
A. −6B. −2C. −1D. 2
6.若直线y=kx+1是曲线y=lnx的一条切线，则直线y=kx+1与坐标轴围成的三角形面积为( )
A. 12B. e2C. 2D. e22
7.已知数列an满足an+1=1−1an，若a2026=2，则数列an的前10项和S10=( )
A. 72B. 6C. 132D. 8
8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，记线段HF2与双曲线的交点为T，若点T恰好为线段HF2的中点，则双曲线C的离心率为( )
A. 5B. 6C. 5+1D. 6−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关数列的说法正确的有( )
A. 数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列
B. 数列1,−1,1,−1…的通项公式可以是an=−1n+1
C. 数列an的通项公式为an=nn+3，则数列an中只有一项为70
D. 数列an的通项公式为an=n+1n−5，则数列an的最大项是第6项
10.已知函数f(x)=−x3+x−1，则( )
A. f(x)有三个零点B. f(x)有两个极值点
C. f(x)在(−12,12)上单调递减D. 点(0,−1)是曲线y=f(x)的对称中心
11.如图，椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0和椭圆C2:y2a2+x2b2=1在各象限的交点分别为A,B,C,D，定义四段弧AB⌢,BC⌢,CD⌢,DA⌢围成的图形为“椭方”，若C1的离心率为 32,AC=2 2，下列说法正确的有( )
A. “椭方”的周长l2 5
C. “椭方”上的点到椭圆C2右顶点E距离最大值为 5
D. 直线y=3x+m截“椭方”所得线段长度最大值为10 7437
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆C1：x2+y2=25与圆C2：x2+y2−6x+5=0的公切线条数为 ．
13.已知椭圆C:x264+y215=1的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点，若3PF1=5PF2，则▵PF1F2的面积为 ．
14.已知函数f(x)=12x2+1，首项为1的正项数列{an}满足f(2an+1)≥4f(an)+1，记an与an+1的等差中项为bn，数列{1bn}的前n项和为Sn，若Sn+1≥ 2n+1恒成立，则数列{an}的通项公式为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=ax2−bx−3lnx，当x=3时，fx有极小值−32−3ln3．
(1)若直线y=−4x+m为fx的切线，求m的值；
(2)求fx的单调区间．
16.(本小题15分)
已知圆M过点A(2, 3)，B(0,− 3)，C(3,0)．
(1)求圆M的方程;
(2)过G(0,3)的直线l与圆M交于P，Q，∠PMQ=2π3，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
已知等差数列{an}前n项和为Sn，2a1+a2=a4，S5=4a3+3.数列{bn}前n项和为Tn，Tn=2bn−2．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和;
(3)若数列{(−1)nan2}的前2n项和为P2n，且P2n>2026，求n的最小值．
18.(本小题17分)
已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F，A，B，C是抛物线Γ上异于原点O的三个不同的点，点A也在直线y=x上，且|AF|=5．
(1)求抛物线Γ的标准方程;
(2)若点B在x轴下方，且△AOB的面积是△AFB的面积的2倍，求点B的坐标;
(3)若点F是△ABC的垂心，求直线BC的方程．
19.(本小题17分)
已知函数fx=ex−a,gx=lnx+a,a∈R．
(1)若函数y=fx−x有零点，求a的取值范围；
(2)当a≥2时，记函数y=fx和y=gx图象的交点为Ax1,y1,Bx2,y2．
(i)求证：gxi=xi，且xi>1,i=1,2；
(ii)求证：AB< 2⋅e+1a−2e−1．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.B
6.D
7.C
8.B
9.BCD
10.BD
11.ABD
12.1
13.15 3
14.an= 2n−1
15.解：(1)由题意得：fx的定义域为0,+∞，
所以f′x=2ax−b−3x，所以f′3=6a−b−1=0①，
又f3=9a−3b−3ln3=−32−3ln3，
所以9a−3b=−32，即3a−b=−12②，由①②解得a=12,b=2，
所以fx=12x2−2x−3lnx，
设切点为x0,y0，
所以f′x0=x0−2−3x0=−4，即x02+2x0−3=0，
解得x0=1或−3(舍去)，
所以f1=12×12−2×1−3ln1=12−2=−32，
所以y=−4×1+m=−32，解得m=52，
所以m=52；
(2)由(1)有fx=12x2−2x−3lnx，x>0，
所以f′x=x−2−3x=x2−2x−3x=x−3x+1x，
令f′x=0，解得x=3，
当02026，
又n∈N∗，
所以解得n≥32，
∴n的最小值为32．
18.(1)设A(a,a)，∴a+p2=5a2=2pap=2a=4，
∴抛物线Γ 的标准方程为y2=4x．
(2)由(1)得A(4,4)，设直线AB与x轴交于D点，由平面几何知识得|OD|=2|FD|，
解得D(2,0)或D(23,0)，∴kAD=2或kAD=65．
∴直线AB的方程为y=2x−4或y=65x−45．
联立方程组：y2=4xy=2x−4⇒B(1,−2)或y2=4xy=65x−45⇒B(19,−23)，
∴点B的坐标为(1,−2)或(19,−23).
(3)由题意，AF⊥BC，BF⊥AC，又kAF=43，所以kBC=−34．
设直线BC:x=−43y+m．
联立直线BC与抛物线方程有y2+163y−4m=0，
设B(y124,y1)，C(y224,y2)，
由韦达定理知y1+y2=−163.y1⋅y2=−4m
∵BF⊥AC，∴y2−4y224−4⋅y1y124−1=−1．
化简得−y1y2+4y1=y12y2216−y224−y12+4．
齐次化处理：−y1y2+4y1⋅(−316)⋅(y1+y2)=y12y2216−y224−y12+4．
化简得：(y1y2)216+y1y2+4=14(y12+y22)−34y1y2，代入化简得9m2−81m−28=0，
解得m=−13或283．
当m=283时，直线BC过A，舍去．
∴直线BC方程为3x+4y+1=0．
19.解：(1)原命题等价于a=ex−x有解，令h(x)=ex−x,h′(x)=ex−1．
h′(x)>0⇒x>0,h′(x)0,G′(x)0；当x1e−1x1+1+1e+1−a．
又Gx1=Gx2=0，可解得x1>2−eae−1,x2