【数学】安徽六安市2025-2026学年上学期高二年级期末教学检测试卷（学生版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，
因直线的方程为，故其斜率，则有，
又由，则，
故选：B.
2. 已知，直线，则直线与的位置关系（ ）
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 无法判断
【答案】A
【解析】将代入直线中有，解得，
所以直线恒过点，
代入方程得，
所以点在内部，所以直线与相交，
故选：A.
3. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】B
【解析】根据已知条件，椭圆的焦点在轴上，则，，由得，所以.
故选：B.
4. 已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，所以抛物线的准线方程为.
故选：A.
5. 若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设,
又，
所以，解得,
向量在基下的斜坐标为,
故选：A.
6. 临泉田家炳实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（ ）种
A. 60B. 90C. 150D. 240
【答案】C
【解析】将5人分成3组，每组至少1人，有两种分法，
从5人中选3人作为一组，剩下2人各为一组，有种，
从5人中选2人作为一组，再从剩下3人中选2人，最后1人一组，有种，
所以总的分组方法有种.
将分好的 3 组，全排列分配到 A、B、C 三个社区：种，
所以每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有种.
故选：C.
7. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由，解得，
由，解得.
故选：D.
8. 已知双曲线，点与点是双曲线上关于原点对称的两点，点在双曲线上且异于点与点，若直线和斜率均存在，则它们的斜率之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为点与点是双曲线上关于原点对称的两点，
所以设，则.
设，若直线和斜率均存在，则.
所以则它们的斜率之积为.
因为在双曲线上，
所以，所以有，
化简得，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. 的坐标为B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对于A：抛物线 的焦点为 ，
准线方程为 ，故A错误；
对于BC：由抛物线定义可得 ，
所以 ，则，解得 ，故B错误，C正确；
对于D：，故D正确.
故选：CD.
10. 设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】，，
两曲线分别关于直线、对称，由图可知，故A正确；
又，所以，故C错误；
又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故B错误；
又，所以，故D正确；
故选：AD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量，则
B. 若随机变量的概率分布为且是常数，则
C. 设随机变量等可能取，则
D. 设随机变量服从两点分布，若，则成功概率
【答案】ABC
【解析】对于选项A，因为，所以，
则，故A正确；
对于选项B，因为，所以，，
因为，所以代入得，解得，故B正确；
对于选项C，由条件可知每个取值的概率为，
则，故C正确；
对于选项D，因为随机变量服从两点分布，设，
代入得，解得，因此，故D错误
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知．若被直线平分，则__________．
【答案】2
【解析】
所以的圆心．
被直线平分，可知直线经过圆的圆心，
可得
解得.
故答案为：2．
13. 已知向量，且向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】因为，
若，则，所以，方程组无解，所以与不共线，
又向量与的夹角为锐角，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
14. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为方程表示椭圆，
则，解得且，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 若，其中.
（1）求m的值；
（2）求.
解：（1）因为展开式的通项为，，
解得.
（2）因为，
取得到，
所以.
16. 现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量.
（1）求和的值；
（2）求X的分布列和数学期望.
解：（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值，
连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能，
其中可能情况有6种，
故．
其中可能情况有10种，，
故．
（2）由题意可得X可能取值有0，1，2，3，4，5，
的情况有，8种，
的情况有，6种，
的情况有，4种，
的情况有，2种，
所以，
，
可得分布列如下：
故．
17. 在正方体中，如图、分别是中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
（1）证明：如图建立空间直角坐标系，假设正方体的棱长为2，由题意可知：
，
所以
因为
所以
又因为平面，所以平面；
（2）解：由（1）可得：平面的法向量可以取
又因为所以
即，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角的余弦值为.
18. 已知的三个顶点分别为，是的重心．
（1）试求点的坐标；
（2）试求的值；
（3）试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程．
解：（1）因为的三个顶点分别为，是的重心
所以重心坐标为，即.
（2）因为的三个顶点分别为，
所以.
所以.
（3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线：
①对角线（为第四个顶点）
因为，所以所在直线方程为，即.
的坐标为，所以，
所以直线的方程为，即.
②对角线（为第四个顶点）
因为，所以所在直线方程为，即.
的坐标为，所以，
所以直线的方程为，即.
③对角线（为第四个顶点）
因为，所以所在直线方程为，即.
的坐标为，所以，
所以直线的方程为，即.
19. 已知椭圆，直线被椭圆截得线段长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.
解：（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，
又长为，∴，∴
∴，故的标准方程为
（2）显然直线的斜率存在且不为0，
设，由得，
∴，同理可得
当时，，
所以直线的方程为
整理得，
当时，直线的方程为，直线也过点
所以直线过定点.
X
0
1
2
3
4
5
P