【数学】山东省济南市2025-2026学年高二上学期期末试题（学生版+解析版）

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1. 已知等比数列，满足，则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】由题意得，
所以.
故选：B.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. -10B. -4C. 4D. 10
【答案】B
【解析】因为向量，，
则，解得：.
故选：B.
3. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆，可得椭圆焦点在轴，且,，
由，则，
所以椭圆的焦点坐标为，
故选：A.
4. 已知直线与垂直，则（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】将直线化为，
直线与垂直，
，.
故选：C.
5. 2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地举办，志愿者招募工作中，某高校每天报名的人数成等差数列，已知该高校前三天共报名90人，前五天共报名225人，则第一天报名的人数为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】B
【解析】设从第一天起每天的报名人数构成数列，记数列的前项和为，
由题意得数列为等差数列，，，
则，解得，
所以第一天报名的人数为.
故选：B.
6. 已知圆，直线，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】圆的方程：，圆心 ，半径 ，
直线方程为 。
圆心到直线的距离公式为：
，
圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上圆的半径，即：
当时，最小，取得最大值，
此时：，
因此，圆上的点到直线 的距离的最大值为5.
故选：C.
7. 双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．已知为双曲线的左、右焦点，从发出的光线经过双曲线右支上的点反射后，反射光线与入射光线垂直，且，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可得：，解得：
则，
所以，则的渐近线方程为，
故选：D.
8. 在四棱锥中，，且底面，过点的平面与侧棱分别交于点，若四边形为矩形，则此矩形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过作AP的平行线为轴，分别为轴，如图建系，
令，则，，，，，
分别在上，令，，，
，，，
，，，
，则，
，，，
所以，则，
所以，，
所以，，则矩形面积为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线，过焦点的直线与交于A，B两点，则（ ）
A. 的坐标为
B. 关于轴对称
C. （为坐标原点）
D. 当的坐标为时，
【答案】ABD
【解析】，，，，，故选项A正确；
焦点在上，则关于轴对称，故选项B正确；
与交于A，B两点，
设，则，
，，
，，
变形为，
设过焦点的直线方程为，
将代入得到，即，
，，
，
不垂直，，故选项C错误；
的坐标为，，故选项D正确.
故选：ABD.
10. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量的模为D. 的面积为
【答案】BD
【解析】，故A错误；
，，，故B正确；
设，的夹角为，
在方向上的投影向量的模为，
故C错误；
，
又，所以，
所以的面积为，
故D正确.
故选：BD.
11. 已知数列满足，则（ ）
A. 当时，数列为常数列
B. 当时，数列为等比数列
C. 当时，数列的前项和
D. 当时，数列为递减数列，且存在实数，使得恒成立
【答案】ABC
【解析】数列满足.
当时，，所以当时，数列的各项均小于1，即.
当时，，所以当时，数列的各项均等于1，所以数列为常数列.所以A正确
当时，.
所以，又，
数列是首项为，公比为的等比数列.所以B正确.
当时，，所以，.
.
所以
所以C正确.
.
当时，恒成立.
当时，，所以，且，
所以，所以，
以此类推，可得，，所以，即
数列为递减数列.
因为数列满足，随着的递减，递减，结合二次函数的性质可知，数列为没有下界，所以不存在实数，使得恒成立.所以D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆，则圆的半径_________．
【答案】
【解析】将圆的方程转化为标准方程为，
所以圆的半径.
故答案为：.
13. 在正方体中，为中点，则直线与所成角的余弦值为_________．
【答案】
【解析】因为，
则直线与所成角的余弦值即为直线与所成角的余弦值，
设正方体的棱长为，则，
因为平面，平面，
所以，
在中，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 已知分别为双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上异于的一点，延长交轴于点，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】因为分别为双曲线的左、右顶点，
所以.
设，则，所以.
直线的方程为，
令，解得，即，
所以，
由知，
即，
所以，所以双曲线的离心率为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆过三点．
（1）求的方程；
（2）求直线被所截得弦长．
解：（1）设圆为，
将，，分别代入得：，所以，
所以圆的方程为.
（2）由（1）得圆心，半径，
圆心到直线距离，
所以弦长.
16. 已知等比数列的公比，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）数列是等比数列，设首项为，公比为，则，
又，
，即，
．
（2），
，
．
17. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，平面为PA的中点．
（1）证明：；
（2）求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值；
（3）求点到平面BDE的距离．
（1）证明：因为平面，平面，所以，，
又因为是正方形，所以，
以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
，，，
所以
（2）解：设平面的法向量为，，
则，令，得：，即，
易知平面的法向量为，
所以，
所以取绝对值得平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的法向量为，
点到平面的距离，
即点到平面的距离为.
18. 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求的标准方程；
（2）设的左、右焦点为的一条切线与直线分别交于两点．
（i）若过点，直线与交于两点，求的面积；
（ii）若直线与交于点，是否存在两个定点，使得是定值？如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）解：把代入得：，
因为离心率为，所以，所以，
联立，解得，
所以的标准方程为.
（2）（i）解：易知直线斜率存在，因为直线过点，
设直线方程为，
联立，消去得，
因为直线与椭圆相切，
故，
化简得，解得，
所以直线方程为，即，
将代入得，则，
又，所以直线的方程为，
设，
联立，消去得，
则，，，
则，
点到直线的距离，
所以的面积为．
（ii）设切点坐标，设直线方程为，
联立，
消去得，
因为直线与椭圆相切，
故，
化简得，
故，
因为点在椭圆上，故，，
所以，所以直线方程为，即，
所以，，
又，
直线，即，
直线，即，
上面两个式子相乘得：，
因为，所以，
所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，
所以存在，或，，使得．
19. 已知正项数列，满足，且．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设的前项和为，且数列满足：．
（i）当时，证明：；
（ii）若恒成立，求正整数的最小值．
（1）证明：由正项数列可知，各项均不为，
将等式两边同时除以，
得，
则，即，，
又，所以，，
故数列是首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可知，是以为首项，以为公比的等比数列，
即，
则，，，，
即，
所以，
又，故，即，
（i）证明：由，可得，
②①可知，，，
则，，且，
故，，
所以，.
（ii）解：设，
则，
又由（i）可知，时，，
则，
又时，，且由②可知，，
故，
即，
又时，，由糖水不等式可知，，
故
，
另一方面，当时，，
又恒成立，且，故正整数的最小值为.