湖北省武汉市江岸区2026届高三上学期元月调研考试数学试卷及答案

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1. 已知集合 A={x∣−1≤x≤3},B=x lg112x>−1 ，则 A∩B= ( )
A. 2,3 B. [−1,2) C. 0,2D. 0,12
2. 已知 z 是复数 z 的共轭复数， z⋅i=1 ( i 为虚数单位),则 z 的虚部是( )
A. 1 B. i C. -1 D. -i
3. 已知等差数列 an 的公差 d>0,a4=2a2 ，则 a2+1d 的最小值为( )
A. 2 B. 22 C. 4 D. 42
4. 已知一组样本数据 x1,x2,⋯,xn 的方差为 1,则由 yi=3xi−2i=1,2,⋯,n 生成一组新的数据 y1,y2,⋯,yn 的标准差为( )
A. 9 B. 3 C. 3 D. 1
5. 当 x=1 时，函数 fx=alnx−bx 取得最大值 -1 ，则 f′2= ( )
A. 14 B. 12 C. −12 D. −14
6. 四边形 ABCD 中, DC=kABk>0 , AB=1,3,AD=2,0 ,若四边形 ABCD 的面积为 43 , 则实数 k 的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 已知 ⊙O:x2+y2=9 ，点 P1,0 ，以 PQ 为直径的圆与 ⊙O 相切，则动点 Q 的轨迹是( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
8. 不透明口袋中装有编号为 1,2,3 的三个小球,小球除编号外完全相同. 现从中有放回的抽取 m 次小球 (每次取一个),记取出的 m 个球的最小编号为 2 的概率为( )
A. 1−23m B. 1−23m−13m C. 23m−13m D. 23m
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符
合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=3sin2x+2cs2x ，其导函数为 y=f′x ，则()
A. fx 在区间 −π3,π6 单调递减
B. f′x 的最小正周期为 π
C. ∃x0∈R ,使 f′x0+5=0 成立
D. ∀x0∈R ,都满足 fx0+f5π6−x0=2
10. 已知点 M 在抛物线 Γ:y2=8x 上， F 为抛物线 Γ 的焦点，点 N 在圆 C:x−62+y2=9 上，则( )
A. 若点 M 的坐标为 6,43 ，则 △MCN 面积的最大值为 63
B. MF+NF 最小值为 5
C. 当 MN 与圆 C 相切时,则 △MCN 面积的最小值为 3223
D. 若过 F、N 的直线 l 与圆 C 相切, l 交抛物线 Γ 于 A、B 两点,则 AB=1289
11. (多选) 给定数列 a1,a2,⋯,an . 对 i=1,2,⋯,n−1 ,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,后 n−i 项 ai+1,ai+2,⋯,an 的最小值记为 Bi,Ci=Ai−Bi ,则 ( )
A. 若数列 an 为 2,0,2,6,则 C3=−6
B. 若数列 an 为公差为 d 的等差数列 d∈N ,则 Ci=−di=1,2,⋯,n−1
C. 设 a1,a2,⋯,ann≥4 是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0 ,则 C1,C2,⋯,Cn−1 是等比数列
D. 若 Ci=−1i=1,2,⋯,n−1 ,则 an 为等差数列
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若函数 fx=ex−a,x≤1e−ax,x>1 在 −∞,+∞ 上有零点,则实数 a 的取值范围是_____.
13. 已知 1+2026x100+2026−x100=a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100 ,若存在 k∈{0,1,2,⋯,100} 使得 ake,x0 是 fx 的极小值点，证明: x0>1+lna2 .
19. 在矩形 ABCD 中, AB=4,BC=2 ,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立如图所示平面直角坐标系 xOy ,点 M、N 满足 BM=λBC,CN=λDC,λ≥0 ,直线 AM 与直线 BN 交于点 P , 记点 P 及其关于 x 轴、 y 轴和原点 O 的对称点的轨迹为 Γ .

(1)求 Γ 的方程；
(2)点 P152,34 在 Γ 上，按照如下方式依次构造点 Pnxn,ynn=2,3,⋯ ，过
Pn−1xn−1,yn−1n=2,3,⋯ 作斜率为 14 的直线与 Γ 交于另一点 Qn−1,Pn 为 Qn−1 关于 y 轴对称点.
(I) 证明 xn+2yn 为等比数列;
(II) 记 Sn 为 △PnPn+1Pn+2 的面积,求数列 Sn 的通项公式.
2026 年江岸区高三元月调研考试 高三年级数学参考答案
1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 6. B 7. B 8. C 9. BD 10. ACD 11. BCD
12. (0,e] 13.49 14. ①. 3 ②. 22+53
14. 解: 以 A 为原点,以 AB 为 x 轴,以 AD 为 y 轴,以 AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, ∵ 正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,
∴A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,D0,2,0,A10,0,2,B12,0,2,C12,2,2,D10,2,2 , 外接球 O 的球心 O1,1,1 ,半径为 R=3,AC 的中点 O11,1,0 ,
设 Mx1,y1,z1,Nx2,y2,z2 在球 O 上,则有 MO=NO=R ,
即 x1−12+y1−12+z1−12=3,x2−12+y2−12+z2−12=3 ,
∵∠MO1N=90∘,∴O1M⋅O1N=0 ,
∵O1M=x1−1,y1−1,z1,O1N=x2−1,y2−1,z2 ,
∴x1−1x2−1+y1−1y2−1+z1z2=0 ,
∵P 为 MN 的中点, ∴Px1+x22,y1+y22,z1+z22 ,
∴PO2+PO12=x1+x22−12+y1+y22−12+z1+z22−12+x1+x22−12+y1+y22−12+z1+z222 =2x1+x22−12+2y1+y22−12+z1+z22−12+z1+z222 ,
设 ai=xi−1,bi=yi−1,ci=zi ,
则 x1−12+y1−12+z1−12=3 和 x2−12+y2−12+z2−12=3 转化为
ai2+bi2+ci−12=3 ,即 ai2+bi2=3−ci−12 ,
x1−1x2−1+y1−1y2−1+z1z2=0 转化为 a1a2+b1b2+c1c2=0 ,
即 a1a2+b1b2=−c1c2 ,
则 PO2+PO12=2x1+x22−12+2y1+y22−12+z1+z22−12+z1+z222 转化为 PO2+PO12=2a1+a222+2b1+b222+c1+c22−12+c1+c222,
即 PO2+PO12=a12+a222+a1a2+b12+b222+b1b2+c12+c222+c1c2−c1+c2+1 ,
即 PO2+PO12=a12+b12+a22+b222+a1a2+b1b2+c12+c222+c1c2−c1+c2+1 ,
即 PO2+PO12=a12+b12+a22+b222+a1a2+b1b2+c12+c222+c1c2−c1+c2+1 ,
∵ai2+bi2=3−ci−12,a1a2+b1b2=−c1c2 ,
∴PO2+PO12=3−c1−12+3−c2−122−c1c2+c12+c222+c1c2−c1+c2+1 ,
∴PO2+PO12=3−1+1=3 ;
设 PB 与平面 ABCD 所成的角为 θ ,设 Px,y,z ,又 Px1+x22,y1+y22,z1+z22 ,
∴x1+x22=x,y1+y22=y,z1+z22=z,∴x1+x2=2x,y1+y2=2y,z1+z2=2z ,
tanθ=zx−22+y2 ,其中 z 为 P 到平面 ABCD 的距离,
x−22+y2 为 P 在平面 ABCD 的射影到点 B 的距离,
∵x1−12+y1−12+z1−12=3 ,
∴x12−2x1+1+y12−2y1+1+z12−2z1+1=3 ①,
∵x2−12+y2−12+z2−12=3 ,
∴x22−2x2+1+y22−2y2+1+z22−2z2+1=3 ②,
∴ ①②相加得到 x12+x22−2x1+x2+2+y12+y22−2y1+y2+2+z12+z22−2z1+z2+2=6 ,
x1+x22−2x1x2−2x1+x2+2+y1+y22−2y1y2−2y1+y2+2+z1+z22
−2z1z2−2z1+z2+2=6 ③,
∵x1+x2=2x,y1+y2=2y,z1+z2=2z ,
∴ ③ 转化为 2x2−2x1x2−2⋅2x+2+2y2−2y1y2−2⋅2y+2+2z2−2z1z2−2⋅2z+2=6 ,
∴4x2−2x1x2−4x+2+4y2−2y1y2−4y+2+4z2−2z1z2−4z+2=6 ,
∴4x2+y2+z2−2x1x2+y1y2+z1z2−4x+y+z=0 ④,
∵x1−1x2−1+y1−1y2−1+z1z2=0 ,
∴x1x2−x1+x2+1+y1y2−y1+y2+1+z1z2=0 ,
∴x1x2−2x+1+y1y2−2y+1+z1z2=0 ,
∴x1x2+y1y2+z1z2=2x+y−2 ⑤,
∴ ⑤代入④得到 4x2+y2+z2−22x+y−2−4x+y+z=0 ,
∴4x2+y2+z2−8x−8y+4−4z=0 ,
∴x2+y2+z2−2x−2y+1−z=0 ,
∴x−12+y−12+z−122=54 ,
∴ 点 P 的轨迹方程为 x−12+y−12+z−122=54 ,
即点 P 的轨迹是在以 1,1,12 为球心,以 r=52 的球面上的点,
设 k=tanθ=zx−22+y2 ,则 z=kx−22+y2 ,
将 z=kx−22+y2 代入 x−12+y−12+z−122=54 ,
得到 x−12+y−12+kx−22+y2−122=54 ,
设 x=2+scsα,y=ssinα,z=ks ,
则 x−12+y−12+kx−22+y2−122=54 转化为
2+scsα−12+ssinα−12+k2+scsα−22+ssinα2−122=54,
即 1+k2s2+2csα−2sinα−ks+1=0 ,此方程有解,
则 Δ≥0 ,即 2csα−2sinα−k2−41+k2≥0 ,
设 u=csα−sinα=2csα+π4,u∈−2,2 ,
则 2csα−2sinα−k2−41+k2≥0 转化为 2u−k2−41+k2≥0 ,
即 4u2−4ku−3k2−4≥0 ,

设 t=4u2−4ku−3k2−4 ,开口向上,对称轴为 u=12k ,
∵k>0,∴u=−2 时, t 取最大值,
当 u=−2 时, t=4−22−4−2k−3k2−4≥0 ,
即 3k2−42k−4≤0 ,解得 22−53≤k≤22+53 ,
又 k>0 ,则 00,
所以 gx 在 [0,+∞) 上单调递增,
若 a=e 时,则 g1=2e−2e=0 ,所以 f′x=x−1gx≥0 恒成立, fx 单调递增,不符合题意;
若 a≠e 时,当 a0 ,若 a≤12,g0=1−2a≥0 ,
所以 0≤x0 ,函数 fx 在 [0,1) 单调递减,在 [1,+∞) 单调递增. 若 12x0+12
令 kx=ex−1−x+12x>1,k′x=ex−1−12>e0−12>0 ,
所以 kx 在 1,+∞ 上单调递增,所以 kx>k1=e0−1+12=0 ,即 ex−1−x+12>0
故 ex−1>x+12 在 1,+∞ 上成立,所以 x0>1+lna2 成立.
19. 解: (1) 由题意可知, A−2,0,B2,0,C2,2,D−2,2 ,
则 BC=0,2,DC=4,0 ,
因为 BM=λBC,CN=λDC,λ≥0 ,所以 M2,2λ,N4λ+2,2 ,
故 AM:y=2λ−02−−2x+2 ,即 AM:y=λ2x+2 ①,
BN:x−2=4λ+2−22−0y ,即 BN:x−2=2λy ②,
则①式乘以 y 得 y2=λy2x+2 ，将②式代入得 y2=x2−44 ，即 x24−y2=1 ，
由 λ≥0 结合图形可知，点 P 的轨迹在第一象限，
又双曲线 x24−y2=1 关于 x 轴、 y 轴和原点 O 对称,故 Γ 的方程为 x24−y2=1 ;
(2)(I)因为 Pnxn,yn,Pn+1xn+1,yn+1 且 Pn+1,Qn 关于 y 轴对称，所以 Qn−xn+1,yn+1 ， 则 kPnQn=yn−yn+1xn+xn+1=14 ,
因为 xn2−4yn2=4xn+12−4yn+12=4 ,所以 xn−2ynxn+2yn=4xn+1−2yn+1xn+1+2yn+1=4 ,
令 an=xn−2yn,bn=xn+2yn ,则 anbn=4an+1bn+1=4 ,
则 xn+1+2yn+1xn+2yn=bn+1bn=bn+11+4bnbn+1bn1+4bnbn+1=bn+11+anbnbnbn+1bn1+an+1bn+1bnbn+1=bn+1+anbn+an+1
=xn+1+2yn+1+xn−2ynxn+2yn+xn+1−2yn+1=1+2yn+1−ynxn+1+xn1−2yn+1−ynxn+1+xn=1−2×141+2×14=13,
又 x1+2y1=52+2×34=4 ,
所以数列 xn+2yn 是以 4 为首项, 13 为公比的等比数列;

(II) 由 (I) 可知, xn+2yn=4⋅31−n ,
又 xn−2ynxn+2yn=4 ,所以 xn−2yn=3n−1 ,
得 xn=4⋅31−n+3n−12,yn=4⋅31−n−3n−14 ,
则 xn+1−xn=4⋅3−n+3n2−4⋅31−n+3n−12=3n−1−4⋅3−n ,
yn+1−yn=4⋅3−n−3n4−4⋅31−n−3n−14=−4⋅3−n−3n−12,
则 xn−xn+1yn+2−yn+1=4⋅3−n−3n−1⋅−4⋅3−n−1−3n2=−83⋅9−n+169n−169 ,
yn−yn+1xn+2−xn+1=4⋅3−n+3n−12⋅3n−4⋅3−n−1=−83⋅9−n+169n+169,
先证明一个结论: 对平面上三个点 U,V,W ,若 UV=a,b,UW=c,d ,则 S△UVW=12ad−bc . (若 U,V,W 在同一条直线上,约定 S△UVW=0
证明: S△UVW=12UV⋅UWsin⟨UV,UW⟩=12UV⋅UW1−cs2UV,UW
=12UV⋅UW1−UV⋅UWUV⋅UW2=12UV2⋅UW2−UV⋅UW2
=12a2+b2c2+d2−ac+bd2
=12a2c2+a2d2+b2c2+b2d2−a2c2−b2d2−2abcd
=12a2d2+b2c2−2abcd=12ad−bc2=12ad−bc.
故 S△PnPn+1Pn+2=12xn−xn+1,yn−yn+1,Pn+1Pn+2=xn+2−xn+1,yn+2−yn+1
故 S△PnPn+1Pn+2=12xn−xn+1yn+2−yn+1−yn−yn+1xn+2−xn+1
=12−83⋅9−n+16⋅9n−169−−83⋅9−n+16⋅9n+169=169
故数列 Sn 的通项公式为 Sn=169 .