无锡市2026届高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份无锡市2026届高三上学期期末数学试卷及答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，且，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为（ ）
A. B. C. D.
3. 等差数列的前项和为，若，（ ）
A. B. C. 2D.
4. 下列椭圆方程中，形状最接近于圆的是（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中，的系数是（ ）
A. －2B. 2C. 12D. 16
6. 若奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线右支上且在轴的上方．若直线的斜率为，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（ ）
A. B. 130C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有（ ）
A. B. C. D.
10. 设，，是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A. B.
C. 奇函数D. 零点个数大于1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量服从正态分布，若，则________.
13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________.
14. 已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，且.其内切球的体积为，则该圆台体积的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
16. 年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈．惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品．某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒装有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一．随机抽取了名购买者，调查其性别与抽中“阿福”的情况，得到如下列联表：
（1）依据小概率值独立性检验，判断“抽中‘阿福’”与“游客性别”是否有关；
（2）若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为，某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”，则立即停止购买；若第一次抽中“普通泥人”，则继续购买第二个盲盒；此时：若第二次抽中“阿喜”，则停止购买，若第二次仍未抽中“阿喜”，则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止．记最终抽中“阿福”的个数为随机变量，求的分布列及数学期望．
附：，
17. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是.
（1）求证：平面；
（2）已知，直线与平面所成角的正弦值为.
（i）求平面与平面的距离；
（ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
18. 直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）点为轴上除坐标原点外任意一点，过点分别作的两条切线，切点分别为，.
（i）求证：直线过定点；
（ii）若直线与分别交于，两点，设四边形的面积为，求的最小值.
19. 已知函数，，.
（1）当时，若的图像与轴相切，求的值；
（2）当时，若在有一个零点，求取值范围；
（3）设数列满足，.证明：.
无锡市2026届高三上学期期末试题
数学答案
一、选择题
1. C
2. B
3. A
4. D
5. B
6. C
7. D
8. B
二、选择题
9. BD
10. ABC
11. ACD
三、填空题
12.
13. ；
14.
四、解答题
15.（1）
因为，由正弦定理得，,故，即，解得，
又，所以；
（2）
由（1）知，所以，，
即，，
所以，所以或，
又，
所以，，或，
所以的面积.
16. （1）
由代入已知数据得：
，
临界值，故没有充分证据认为抽中‘阿福’”与“游客性别”有关．
（2）
盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为，
则“阿福”的概率，“阿喜”的概率，“普通泥人”的概率，
由购买规则可知，抽中“阿福”的可能取值为，
当时情况为：
第一次抽中“阿喜”、 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿喜”、
第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次非“阿福”，
则；
当时情况为：第一次抽中“阿福”、
第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次未抽中“阿福”、
第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“普通泥人”且第三次“阿福”，
则；
当时情况为： 第一次抽中“普通泥人”且第二次抽中“阿福”且第三次抽中“阿福”，
则；
分布列为：
数学期望为：
．
17. （1）
连接，
则为的交点，为的交点，连接，
因为平行六面体的底面为正方形，
分别为面和面的中心，且在底面的射影是，
得且，
所以四边形为平行四边形，则．
又因为面面，所以面．
（2）
（i）因为平面，得，又因为，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
所以，
设平面法向量，则，取，
设与平面所成的角为，
则，
解得或．
又因为，所以，所以，
所以平面与平面的距离为．
（ii）由（i）得，，所以，平面的法向量
设，则，
,
设平面的法向量为，，
解得，设平面与平面夹角为，
则，解得，
所以当为线段的中点，平面与平面夹角的余弦值为．
18. （1）
设点的坐标为，因为点到轴的距离等于点到点的距离，
所以，整理得.故的方程为.
（2）
（i）由题意设 ，
由 ，所以 ，
直线的方程为①，
直线的方程为②，
由①②得 ，代入①或②得， ，所以 ，
设 所在的直线方程为 ，联立 ，
消去 得， ，
可得 ，所以 ，
所以直线 过定点 ．
（ii）因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ,
联立 ，消去 得， ，可得 ，

用 代替 得， ，
所以四边形的面积 ，
，则，，
设 ，则 ，
令 ，令 ，
当 时， ，当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增，
当 时， 取得最小值 ，
即 时， 取得最小值 ．
19. （1）
当时，函数，
则
设的图像与轴相切于点，
则，
即，可得，从而，
设，则，令，得，
则时，，则函数单调递减，
时，，则函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值为，
所以方程只有一解，即，
所以；
（2）
当时，，
则，
当时，，所以函数在单调递增，此时；
所以在上无零点；
当时，令，则，
当时，，则函数在单调递减，
时，，则函数在单调递增，
由于，所以，
且当趋于时，趋于，
所以在有一个零点，符合题意，
综上所述，；
（3）
由于，则，
由（1），即，则，
所以，
所以，
则，所以，
则，
设，则，令，得，
则时，，则函数单调递增，
时，，则函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值为，
则，所以，
则，
所以
，
所以.抽中“阿福”
未抽中“阿福”
合计
男游客
女游客
合计
0
1
2