苏州市2026届高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份苏州市2026届高三上学期期末数学试卷及答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知是定义在上的奇函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设平面向量满足，，，则（ ）
A. 3B. 2C. D. 1
4. 在平面直角坐标系中，已知两圆相交于两点，，且圆心都在直线上，则的值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
5. 记是等比数列的前项和，，，则正整数的值为（ ）
A. 18B. 9C. 6D. 2
6. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，边长为2的菱形的顶点均在双曲线上，点在边上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 设i虚数单位，已知复数，（其中），设，则（ ）
A. 当时，B. 对任意，都有
C. 存在，使得D. 存在，使得
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，动点在棱上（不含端点），则下列说法正确的有（ ）
A. 是钝角三角形
B. 平面截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形
C. 当为的中点时，平面与底面所成角的正切值为
D. 若在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，含项的系数为______．
13. 一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______．
14. 过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点，以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线交于两点，弦的衍生三角形是．记为弦的一阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的二阶衍生三角形；弦的衍生三角形为弦的三阶衍生三角形；⋯，由此进行下去，记所有的弦的阶衍生三角形的面积之和为，若对任意，，则正整数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16. 为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值．
（1）求的值；
（2）设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？
17. 已知定义在上的函数，．
（1）求的值及的值域；
（2）在中，角所对的边分别为，已知，，，求的面积．
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足．
（1）求的标准方程；
（2）记四边形的面积为．
①若点恰好在上，求值；
②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
19 已知函数，（且）．
（1）设的导函数为．
①若与有相同的零点，求的值；
②若对任意，都有，求取值范围；
（2）若存在唯一的实数，使得，求的取值范围．
苏州市2026届高三上学期期末数学试卷答案
一、选择题
1. C
2. B
3. C
4. A
5. B
6. D
7. C
8. D
二、选择题
9. BC
10. ABC
11. ACD
三、填空题
12. 19
13.
14. 8
四、解答题
15. （1）
因为分别为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理平面，，平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
（2）
因为平面，底面为正方形，
所以以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
，，，
设平面的法向量为，由所以
令，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16. （1）
投篮的次数的可能值为1，2，3，
所以，
由于，所以．
（2）
有理由认定李老师是投篮高手，理由如下：
投篮结束最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3，
，，
，，
所以，
所以，所以有理由认定李老师是投篮高手．
17. （1）
因为，所以，
所以．
因为，所以，，
所以的值域为．
（2）
由得，
因为函数定义域为，
因为，所以，
又因为是三角形的内角，所以，
所以．
法一：由正弦定理，得，，
则，所以，
即，由余弦定理得，所以，
所以的面积为．
法二：因为，所以，
则，
所以，
因为，所以，
则，，
由正弦定理得，所以，
所以的面积为．
18. （1）
由题意得，，
所以，，所以的方程为．
（2）
①设，，，
由得，即，
所以，所以，
且，，
所以，
又因为原点到直线的距离为，
由知四边形是平行四边形，
所以面积．
由，所以，
因为在椭圆上，所以，解得，
所以．
②因为，
所以，即，
所以，，
所以，即，且．
设存在两个定点，，（定值），
所以直线的方程为，令，得，
同理可得，
所以，
化简得，
所以得，，
所以在轴上存在两个定点，或，使得为定值．
19. （1）
因为，所以，
①由得，所以，所以．
②原问题转化为在时恒成立．
当时，原不等式可化为，即恒成立，
因为表示开口向下的抛物线，
所以不等式不恒成立；
当时，令，所以，得，
（ⅰ）当时，原不等式可化为，所以，
此时，所以的最大值为，所以，所以；
（ⅱ）当时，原不等式可化为，所以，
因为在上单调递增，所以，所以．
综上所述，．
（2）
由题意知，方程有唯一解．
当时，原方程化为，由于，所以，
（ⅰ）当，即时，有（*），设，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，，，
因为方程（*）有唯一解，所以，所以；
（ⅱ）当时，时，方程可化为（**），
设，则，所以在上单调递增，
所以当时，方程（**）有解，解得，
所以时，方程（**）有唯一解；
当时，有，
由（ⅰ）可知当时方程有解，
所以时，原方程至少有两个解（舍去）；
当时，原方程化为，
由于，所以，
所以方程可化为，即，
由（ⅰ）可知在上单调递减，
所以时方程有唯一解，解得（舍去）或；
综上所述，的取值范围为．1
2
3