黑龙江省哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题（PDF版，含解析）含答案解析

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因为集合 ，集合 ，所以 ， .
2.【答案】B
当 ， 时， ，故 A 错误；若 ， ，则 ，故 B 正确
当 时，可得 ，故 C 错误；.当 ， ， ， 时， ，故 D 错误；
3.【答案】B
若 ，则有 ，显然成立，
若 ，要想关于 的不等式 对一切 恒成立，只需 ，
综上所述， 的取值范围为 ；
因为指数函数 （ 且 ）在 上单调递减，所以有 ，则 的取值范围为
，
显然 ，所以 是 的必要不充分条件，
4.【答案】C
由题意可得 .
5.【答案】B
由题意可得 ，解得 ，故 .
6.【答案】A
令 ，解得 ，
定义域为 ，
，即 恒成立，
，化简得 ，解得 .
7.【答案】A
由 ，由 图象关于 对称，则 ，
所以 ，可得 ，而 ，故 .
8.【答案】D
因为 ，所以 ，
令 ，则 在 上单调递增．
函数 的图象关于点 中心对称，则 的图象关于原点对称，
即 为奇函数，则 为偶函数，故 在 上单调递减．
，则 ．
当 时， ，即 ，即 ，则 ；
当 时， ，即 ，即 ，则 ．
综上所述， ．
二、多选题
9.【答案】ABC
对于 A 选项， ，A 对；
对于 B 选项， ，B 对；
对于 C 选项，如果 是第一象限的角，则 ，那么 ，这表明 是
第四象限的角，故 C 选项正确.
对于 D 选项，若 是第二象限角, 则 ,则 ，当 为奇数时， 为
第三象限角；当 为偶数时， 为第一象限角，所以 是第一或第三象限角，故 D 选项错误.
10.【答案】BD
由题意可知， ，所以 ．
所以 ．即 a 的取值范围是 ．
11.【答案】ABD
对于选项 A，由全称命题的否定的定义可知，“ ”的否定是“ ”，
故 A 正确.
对于选项 B，一元二次不等式 的解集为 ，可知 ，
由韦达定理得 ，解得 ，则 ，故 B 正确.
对于选项 C，由 得 ，
，
当且仅当 且 ，即 时取等号.
故 C 错误.
对于选项 D，
当且仅当 时等号成立. ，故 D 对
三、填空题
12.【答案】
令 ，解得 .当 时， .即函数恒过定点 .
13.【答案】 /
因为 ，则 .
14.【答案】 ，
如图，作出函数 的图象，函数 恰有 2 个不同的零点当且仅当函数 的图象与直线
有 2 个不同的交点，由图知，实数 的取值范围是 ．
令 ，原方程化为 ，即 ，解得 或 ，
于是
四、解答题
15.【答案】（1）原式 .
（2）因为 ，所以 .又 ，所以 .
因为 为第一象限角，所以 ， ，故 .
16.【答案】（1）函数 是定义在 上的偶函数，
令 ，则 ，所以 即当 时
（2）当 时，即 ，所以 ；又函数 是定义在 上的偶函数
综上不等式 的解集 .
17.【答案】（1）由函数 ,
， 函数 的最小正周期为 ;
（2）由（1）可知 , ,
由 的图象可知
当 时有 ,
当 时
18.【答案】（1）选择条件①： （其中 ， ， ）在 处取得最大值
由题设条件知 的周期 ，即 ，解得 ．
因 在 处取得最大值 2，所以 ．
从而 ，所以 ， ．
又由 得 ，故 的解析式为 ．
选择条件②：
依题意，由题设条件知 的周期 ，从而 ，
， ，
又 的图像关于原点对称，则 ，由 知 ，从而 ，
令 ，解得 ，
（2）当 时，可得 ，不等式 可化为
，有 .
令 ， ，则 ，
则 等价于 ，解得： .
故实数 的取值范围为 .
19.【答案】（1）因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，所以 是“1 距”减函数.
（2）由题意 对 恒成立，即 对 恒成立.
由 ，因为 ，所以 对 恒成立.
所以 ，结合 ，得 .即 的取值范围为 .
（3）由 对
恒成立.
因为当 ， ，所以 .故实数 的取值范围为 .
设 ， ， .
当 即 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .
综上，当 时，函数 的最大值为 ，
当 时，函数 的最大值为 .