浙江绍兴市上虞区2025-2026学年高二第一学期期末教学质量调测数学试题（试卷+解析）

这是一份浙江绍兴市上虞区2025-2026学年高二第一学期期末教学质量调测数学试题（试卷+解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 1和4的等比中项是（ ）
A. 4B. C. D.
2. 点关于平面的对称点为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是直线与直线平行（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 直线截圆所得劣弧所对圆心角为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（ ）
A. 1B. C. D. 3
8. 已知为双曲线上一点，过作直线，分别交双曲线的渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9. 已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线不可能为圆B. 曲线不可能为抛物线
C. 当时，曲线为双曲线D. 时，曲线为椭圆
10. 已知数列的前项的和是，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等差数列
B. 是递减数列
C. 当且仅当时，有最大值
D. 当时，的前项和
11. 点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（ ）
A. 当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是
D. 设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____.
13. 等比数列首项，前项和为，若，则公比____________．
14. 设r，满足，则r的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差不为等差数列，且， 成等比数列.
（1）数列的通项公式；
（2）若等比数列的前两项为，求数列的通项公式，并求出数列的前项和.
16. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．
（1）求证：面面；
（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．
17. 已知等腰直角的三个顶点为，，，且.
（1）求点C的坐标；
（2）若点D是中点，求的外接圆方程.
18. 如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点.
（1）证明：
（i）面；
（ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变.
（2）求二面角的余弦值的取值范围.
19. 如图，已知三棱锥中，D为上一点且，、、的周长均为，为中点.
（1）当时，求三棱锥体积的最大值；
（2）若点M，N满足，且的周长也为.
（i）求的面积；
（ii）求证：B，C，M，N四点共圆.
2025学年第一学期高二期末教学质量调测
数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 1和4的等比中项是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比中项定义可得答案.
【详解】设1和4的等比中项是，
则，所以.
故选：C.
2. 点关于平面的对称点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称关系可得结果.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点，其坐标和坐标保持不变，坐标变为原来的相反数，
则点关于平面的对称点为，
故选：B.
3. “”是直线与直线平行的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】若直线与直线平行，
当时，两直线为和直线，平行，符合；
当时，两直线为和直线，
则，
综上，直线与直线平行的充要条件是.
所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【详解】 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行； 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交； 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.
5. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆的圆心到直线距离即可求得劣弧所对圆心角.
【详解】圆的圆心O(0，0)，半径，则点O到直线的距离，
设劣弧所对的圆心角为，则，解得，即，
所以劣弧所对的圆心角为.
故选：C
6. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面的中心，则与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三棱柱的体积公式，求得，结合线面角的定义，即可求解.
【详解】如图所示，底面是边长为的正三角形，可得，
三棱柱的侧棱与底面垂直，底面是边长为的正三角形，所以该三棱柱为正三棱柱.
设点是的中心，所以面
所以为与平面所成角.
所以，解得，
又由，
在直角中，可得，
又，所以.
故选：B
7. 已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（ ）
A 1B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线倾斜角设出直线方程并与抛物线联立，由韦达定理以及中点横坐标可得.
【详解】由题意知直线的斜率，
设直线的方程为,，
联立直线和抛物线方程可得，整理得，
由韦达定理，又的中点横坐标为,即，
所以，解得.
故选：D.
8. 已知为双曲线上一点，过作直线，分别交双曲线的渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】由题得，联立直线与渐近线方程求出M、N两点坐标，直接由两点间距离公式计算即可求解判断A；由两点间斜率公式即可直接计算即可求解判断B；直接计算结合基本不等式即可求解判断C；直接计算即可求解判断D.
【详解】由题可得即，双曲线的渐近线方程为，
则联立，
联立，
所以，
，
所以，故A正确；
，故B正确；
，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为，故C正确；
，故D错误.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9. 已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线不可能为圆B. 曲线不可能为抛物线
C. 当时，曲线为双曲线D. 时，曲线为椭圆
【答案】BC
【解析】
【分析】根据曲线方程对圆、抛物线、双曲线、椭圆等曲线类型逐一验证即可得出结论.
【详解】对于A，若曲线是圆，则,
解得，此时，故曲线可以是圆，A错误，
对于B，因抛物线的标准方程中的系数是次和次组合，
与曲线中的系数不符，故曲线不可能为抛物线，B正确，
对于C，当时，,
此时方程可以变形为，符合双曲线的标准形式，C正确，
对于D，当时，若，曲线为圆，不是椭圆，D错误.
故选：BC
10. 已知数列的前项的和是，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等差数列
B. 是递减数列
C. 当且仅当时，有最大值
D. 当时，的前项和
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用的关系式求出数列的通项公式可得A错误，根据通项公式可判断B正确，利用二次函数性质可得C正确，采用分组求和分类讨论中各项的正负，再由等差数列前项和公式计算即可知D正确.
【详解】对于A，当时，，
当时，，则，解得,
所以，A错误，
对于B，当时，数列的公差为，数列单调递减，
又，所以数列是递减数列，B正确，
对于C，由，可知当时，有最大值，C正确，
对于D，当时，,当时，,
可知,又数列的前项的和是，
当时，的前项和,
又，
可得，D正确，
故选：BCD.
11. 点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（ ）
A. 当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是
D. 设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据点到平面的距离为定值可知A正确，由异面直线夹角的求法找出夹角的平面角，可得B正确，利用线面角定义可知点的运动轨迹是两段线段和一段圆弧，可知C错误，建立空间直角坐标系利用长度的坐标运算可知D正确.
【详解】对于A，当点在面上运动时，点到平面的距离为正方体的棱长，
所以，所以三棱锥的体积为定值，A正确，
对于B，因为,故与所成角等于与所成角，连接，易知为等边三角形，如下图：
与夹角为，当为中点时，,夹角为，故夹角的取值范围为,B正确，
对于C，易知与平面所成的角均为，如下图所示：
只需保证点线段上运动即可，
当点在平面内运动时，需满足到点的距离为2即可，
此时点的运动轨迹是以点为圆心的圆弧，
因此可知点的运动轨迹长度为，即C错误；
对于D，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图：
易知,设,
则
由，得，故,
的长度，
代入，得，当时，最小，最小值为，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】根据顶点坐标以及可直接计算出离心率.
【详解】由题意知，因为，则，
则双曲线离心率为,
故答案为：
13. 等比数列的首项，前项和为，若，则公比____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用数列前项和的定义及等比数列通项公式 得出，解出即可．
【详解】是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得
，，，
故答案为：．
本题考查等比数列前项和的计算、通项公式．利用数列前项和的定义，避免了在转化时对公比是否为1的讨论．
14. 设r，满足，则r的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】原方程可变形为，再设，，进而可得，然后根据三角函数的有界性求出r的范围即可.
【详解】将配方得，
设，，得：
，
又因为，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差不为的等差数列，且， 成等比数列.
（1）数列的通项公式；
（2）若等比数列的前两项为，求数列的通项公式，并求出数列的前项和.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）由等比数列的前两项为，可求出等比数列的首项和公比，从而求出等比数列的通项公式，进一步得出数列的通项公式，最后利用分组求和与等比数列前项和公式求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由得：，即，
又成等比数列，所以，即，
也即，
解得：（舍去）或，
所以，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由，，则，
所以等比数列的首项为，
所以等比数列的公比为，
所以等比数列的通项公式为：，
由，则，
所以
.
16. 已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．
（1）求证：面面；
（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）AE的长为.
【解析】
【分析】（1）先证得，，由线面垂直的判定定理可得面，再由面面垂直的判定定理可得平面面.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设设，分别求出直线CE的方向向量与面的法向量，再由线面角的向量公式即可得出答案.
【小问1详解】
因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.
【小问2详解】
过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），
所以，AE的长为.
17. 已知等腰直角的三个顶点为，，，且.
（1）求点C的坐标；
（2）若点D是中点，求的外接圆方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为；
（2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程.
【小问1详解】
由题意知
易知
因为，所以，即①，
又所以，即②,
将①式代入②式得，
又，所以,得,
点的坐标为.
【小问2详解】
由题意知,
设的外接圆方程为，
代入点得,解得,
即，
即的外接圆方程为.
18. 如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点.
（1）证明：
（i）面；
（ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变.
（2）求二面角的余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）由是等边三角形，且的外接圆为圆得到为的中心，由为圆的直径得到，由圆柱的性质得到圆所在的平面，从而得到，利用线面垂直的判定定理得到平面.（ii）由题意得到平面，从而得到三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，可以得到，即为的中点，从而可以求出的值，得证.
（2）利用空间向量法求解，求出平面和平面的一个法向量，设二面角的平面角为，利用向量的数量积求出，通过换元法求出的范围，即为二面角的余弦值的取值范围.
【小问1详解】
（i）是等边三角形，且的外接圆为圆，为的中心，
为圆的直径，，
四边形为正方形，，
平面与圆所在的平面交于，平面与圆所在的平面垂直，
圆所在的平面，
圆所在的平面，，，平面，
平面.
（ii）的外接圆为圆，平面，
三棱锥的外接球的球心在上，
设球心为，球的半径为，则，，
，，，，
，，
为的中点，，，，
不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变.
【小问2详解】
以为原点，过作的平行线作为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，，设，
，，
设平面的法向量为，
则，即，解得，
，，
平面的一个法向量为，，
二面角的平面角为，
则，
设，
，，，
转化为，
当时，，
当时，，
，，，，，，
，；
当，，
，，，，，，
，；
综上可知，，
则二面角的余弦值的取值范围为.
19. 如图，已知三棱锥中，D为上一点且，、、的周长均为，为中点.
（1）当时，求三棱锥体积的最大值；
（2）若点M，N满足，且的周长也为.
（i）求的面积；
（ii）求证：B，C，M，N四点共圆.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见详解
【解析】
【分析】（1）分析可知点均满足椭圆定义，且以为焦点，点为对称中心，结合椭圆性质运算求解；
（2）（i）建立坐标系，可得椭圆方程，设直线，联立方程结合韦达定理可得点M的坐标，进而可得，即可求面积；（ii）根据对称性不妨令，根据几何性质分别求线段的中垂线方程，即可得两直线的交点，进而验证四点共圆.
【小问1详解】
因为，、、的周长均为，
则，
可知点均满足椭圆定义，且以为焦点，点为对称中心，
则，可得，
则，即点到平面的距离最大值为1，
若，则，
所以三棱锥体积的最大值为.
【小问2详解】
（i）因为点M，N满足，可知点M，N在平面内，
在平面内，以为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则以为焦点的椭圆方程为，
由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，，
可得，
因为，
则，即点，
又因为的周长也为，则，
可知点在椭圆上，
则，可得，即，
则，，点，
可得，
点到直线的距离，
所以的面积；
（ⅱ）根据对称性不妨令，则，
因为，可知点关于点对称，即点，
可知线段的中垂线所在直线方程为，
又因为线段的中点为，，
则线段的中垂线所在直线方程为，
联立方程，解得，记，
则，
且，，
可知，所以B，C，M，N四点共圆.