【数学】河北省五个一联盟2026届高三上学期1月模拟考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 已知全集，集合，则中的元素个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】因，
又全集，所以，其中共有5个元素.
故选：D.
3. 已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则（ ）
A. 86B. 87C. 88D. 89
【答案】C
【解析】由题意可知共有10个数，因为，则第70百分位数是第七个和第八个数的平均数，
即，解得.
故选：C.
4. 已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（ ）
A. 0或4B. 1或3
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切，
，即，解得或.
故选：D.
5. 已知等比数列的首项为，且构成递增的等差数列，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为.
由题可得，代入得，
化简得，解得或；
因为等差数列递增，
所以当时，，不满足递增，舍去；
当时，，符合题意，故.
因此.
故选：.
6. 已知定义域为的函数满足，，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】B
【解析】由，
由，
所以，
所以，所以该函数的周期为，
，
，
在中，令，得，
令，
得，
因为该函数的周期为，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
7. 在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设的中点为，连接，
因为，所以是的中点，所以，且，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，且，
所以
又因为，
所以，因为，
所以，所以，
因为，
所以，
所以
.
故选：B.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于A，B两点，若的面积为，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，由椭圆的对称性可知，，且四边形是平行四边形，
令，则，可得，故，
所以，.
由题意知，解得，
因为，
所以，故.
在中，由余弦定理得，
即，整理得，
所以离心率，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 是函数图象的对称中心
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
【答案】BC
【解析】观察函数图象，得的最小正周期，
对于A，由，得，A错误；
对于B，，而当时，，
则，
又，则，，，B正确；
对于C，当时，无意义，是函数图象的对称中心，C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度，
得，
函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 为偶函数
B. 为的导函数的极大值点
C. 是函数的极值点
D. 函数的零点个数为1
【答案】BD
【解析】由函数的定义域为关于原点对称，
且，
所以函数不是偶函数，故A选项不正确；
由，
令，
则，
令，
因为，所以，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以为的极大值点，
即为的导函数的极大值点，故B选项正确；
由B选项可知当时，
，
即当时，，
所以函数在上单调递减，
所以不是函数的极值点，故C选项不正确；
由函数在上单调递减，
且，
，
所以函数在上只有1个零点，
故D选项正确；
故选：BD.
11. 如图，已知正四棱台中，，梯形的面积为，则（ ）
A. 正四棱台的侧面积为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 若为的中点，则过点的平面截正四棱台所得截面的周长为
D. 若正四棱台的四条侧棱的延长线交于点，则四棱锥的外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】由题知，，
设梯形的高为，则，可得，
设侧面梯形的高为，则，
所以一个侧面面积为，
所以正四棱台的侧面积为，A错误；
如图，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设直线与夹角为，
所以，B正确；
取中点，因为为中点，
所以，所以过点的平面即为四边形，
且，
又，
所以截面的周长为，C正确；
对于D，设棱台高为，延长棱台的四条侧棱交于点O，设棱锥的高为，
由相似得，，可得，
如图，建立空间直角坐标系，
则，
设球心，外接球半径为，
则，
所以，解得，
所以，
则球的表面积为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线经过抛物线的焦点，则____________．
【答案】
【解析】因为抛物线，
所以抛物线焦点为，
所以，
解得.故答案为：.
13. 已知，则____________．
【答案】或
【解析】因为，即，
可得，
且，
若，则，
可得
；
若，则，
可得
；
综上所述：或.
故答案为：或.
14. 如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答）
【答案】24
【解析】由题意可知，从出发到处，需要向上4次，向右4次，所以不同的情况有种，
从出发到处，需要向上3次，向右1次，从出发到处，需要向上1次，向右3次，
则从出发经过到处，共有不同情况种，
从出发到处，需要向上1次，向右2次，从出发到处，需要向上3次，向右2次，
则从出发经过到处，共有不同情况种，
则从出发不经过到达处，共有不同情况种.
故答案为：24.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求BC边上的高．
解：（1）由余弦定理得,
所以，
从而可得；
（2）由（1）可得，，，
则的面积，
设BC边上的高为，
则，所以，
故BC边上的高为.
16. 已知函数．
（1）若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）讨论的单调区间．
解：（1）由题意可得，
因为的图象在点处的切线方程为，
所以，即，
解得，所以
所以.
（2），
因为，
令可得或，
，当时，可得当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，当时，即时，即由不等式可解得时，
可得当，时，，单调递增；
当时，，单调递减；
，当时，恒成立，单调在单调递增；
，当时，当时，，单调递减；
时，，单调递增，
综上，当时，当时，单调递减；时，单调递增；
当时，单调在递增；
当时，当，时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，当时，单调递减；当时，单调递增.
17. 等边三角形绕边上的高旋转一周形成一个圆锥，如图，已知C，D均为弧的三等分点（点靠近点），为母线的中点，．
（1）已知为内一点，且平面，作出点的轨迹并证明；
（2）求平面和平面所成二面角的正弦值；
（3）设为圆锥底面圆周上一点，求三棱锥体积的最大值．
解：（1）设中点为，连接，，，，则点的轨迹为线段.
证明如下：分别为的中点，，且，
又C，D为弧的三等分点，，且，
且，四边形是平行四边形，，
C，D为弧的三等分点，，，
四边形是平行四边形，，
由，，平面，平面，
平面，平面，平面平面，
为内一点，且平面，
当点在线段上时，平面，满足平面，
点的轨迹为线段（不包括端点）.
（2）设点为弧中点，以为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，，，
，，，，
设是平面的法向量，
则，令，可得，，所以，
设是平面的法向量，
则，令，可得，，所以，
设平面和平面所成二面角为，
则，
，
所以平面和平面所成二面角的正弦值为.
（3），，，
则，
，
设，，
则点到平面的距离，
当时，，
三棱锥体积的最大值为.
18. 篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递．
（1）若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率．
（2）设分别表示第次传球后由A，B控球的概率．
（i）求的表达式及其最大值；
（ii）若数列的前项和为，求．
解：（1）第1次传球后必为学员控球，第2次传球后教练控球的概率为，学员控球的概率为，
若第2次传球后教练控球，则第3次传球后必为学员控球，学员控球的概率为1；
若第2次传球后学员控球，则第3次传球后教练控球的概率为，
四人进行了3次传球，教练控球2次的事件是初始控球及只在第2次控球的事件，
与初始控球及只在第3次控球的事件的和，概率为，
所以四人进行了3次传球，教练控球2次的概率为.
（2）（i）因规则对学员B, C, D完全对称，且第1次传球后他们控球的概率相等，故之后任意一次传球后他们控球的概率均相等，
可记为，则，又，
因此，即，由，得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，，
于是，当为正奇数时，，
当为正偶数时，，而数列单调递减，
则当时，取最大值，
所以的表达式为，其最大值为.
（ii）由（i）得，，
因此，，，
两式相减得，
所以.
19. 已知双曲线的左焦点为 ，一条渐近线过点．
（1）求的方程；
（2）已知第一象限的点在上，过点且斜率为的直线与相交于点，求为坐标原点）的面积；
（3）设的另一条渐近线为，直线与的右支交于点A，B（在的上方），过点与平行的直线和过点与平行的直线交于点，过点且斜率为的直线与的右支交于点在的上方），过点与平行的直线和过点与平行的直线交于点，求直线PQ的方程．
解：（1）因为左焦点为，所以，故；
因为一条渐近线过点，
所以，即，
代入，得到，.
所以双曲线方程为.
（2）由题可知渐近线的方程为 ，
设点,
所以；
则过点斜率为的直线为，
联立方程得到，
解得，
故，
所以；
点到渐近线的距离为；
所以的面积为.
（3）设，联立方程得到，
化简整理得到，
即，
因为该方程有两个正根,所以，
又因为，得到或（舍去）；
直线AP的方程为，
因为,
所以直线AP的方程为，①
同理直线BP的方程为，
因为，
所以直线BP的方程为，②
由①②得,
所以；
因为，
所以，
，
所以,故点P在直线上；
同理可知点Q的坐标也满足.
则P,Q都在直线上，
所以直线PQ的方程为.