安徽蚌埠市2025-2026学年第一学期期末学业水平监测高二数学试题（试卷+解析）

这是一份安徽蚌埠市2025-2026学年第一学期期末学业水平监测高二数学试题（试卷+解析），共23页。试卷主要包含了 已知椭圆与双曲线有相同的焦点， 已知，则下列说法正确的是， 在平面直角坐标系中，已知直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下列导数运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
2. 顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 如下图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 若直线方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. 或D. 以上说法都不对
5 若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. [1，2]C. [2，3]D. [1，3]
7. 在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（ ）
A. B. C. D. 5
8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线MN的倾斜角为B. 点到直线的距离为1
C. 点在直线上D. 直线与直线MN平行
10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 异面直线与所成的角为D.
11. 英国著名物理学家牛顿用“切线法”求函数零点.如图，在横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为，用代替重复上面的过程得到，一直下去，得到数列，叫做牛顿数列.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有三个零点B. 若，则
C. D. 若，则数列递增数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线，则其渐近线方程为__________．
13. 已知函数，其中且，则__________．
14. 蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明步骤和演算过程.
15. 在平面直角坐标系中，已知直线.
（1）求过点且和垂直的直线的方程；
（2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.
16. 已知数列的前项和为，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求证：．
17. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，为PC中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若的最小值为2，求实数的值；
（3）当时，若，求证：.
19. 有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为2，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点F，E所在的直线为轴，线段EF中点为原点，建立平面直角坐标系.
（1）记折痕与ME的交点的轨迹为曲线，求曲线的方程.
（2）若直线与曲线交于A，B两点
（i）当为何值时，为常数，并求出的值.
（ii）以A，B为切点，作曲线的两条切线，设其交点为，当时，证明：.
安徽蚌埠市2025-2026学年第一学期期末学业水平监测高二数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】采用逐一验证法，根据基本函数的导数的运算直接可得结果.
【详解】，故A错
，故B错
，故C错
，故D正确
故选：D
本题考查基础函数的导函数，熟记基础函数的导函数，属基础题.
2. 顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程与焦点的关系求解即可.
【详解】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为，
又，则，故抛物线的标准方程为.
故选：C
3. 如下图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知先求坐标，然后结合图形可得坐标，然后可得答案.
【详解】因为，为坐标原点，所以，
又因为为长方体，所以，
所以.
故选：A.
4. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. 或D. 以上说法都不对
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据直线在平面内和在平面外两种情况判断可得.
【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，若平面，则符合题意；
若平面，则存在直线，且直线，所以.
故选：C
5. 若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列定义及等比中项性质即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，则，所以，
又由等比中项性质，，所以，
又设公比为，，所以
所以 .
故选：A.
6. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A. B. [1，2]C. [2，3]D. [1，3]
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的长，再求点到直线的最小距离和最大距离，进而得面积的最小值和最大值，即得解.
【详解】由题得,圆心坐标为，半径.
∴，圆心到直线距离为.
所以点到直线的最小距离为，最大距离为，
所以的面积的最小值为，最大值为.
所以的面积的取值范围为.
故选：D.
7. 在一项手工活动中，同学们首先裁出一个边长为10的正六边形，然后将六个角各切去一个四边形，这些四边形彼此全等（如图所示），再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱纸盒．当这个正六棱柱纸盒的容积最大时，底面边长为（ ）
A B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为，则可得正六棱柱容器的容积为，再利用导函数求得最值即可求解.
【详解】设正六棱柱容器的底面边长为，则正六棱柱容器的高为,
所以正六棱柱容器的容积为,
所以，则在上，；在上，,
所以在上单调递增，在上单调递减,
所以当时，取得最大值,
故选：C
8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解.
【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以，
在中，由余弦定理可得，
化简得，所以，
则，等号成立时，
则，则的最小值为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线MN的倾斜角为B. 点到直线的距离为1
C. 点在直线上D. 直线与直线MN平行
【答案】AB
【解析】
【分析】A求出直线斜率，根据斜率和倾斜角的关系求出；B利用点到直线的距离公式；CD将点坐标代入直线中即可判断.
【详解】由题意得，直线的斜率为，
设直线MN的倾斜角为，则，得，故A正确；
点到直线的距离为，故B正确；
因为，所以点不在直线上，故C错误；
直线的斜率为1，与直线的斜率相等，
将点代入直线，有，说明点在该直线上，
因此，直线与直线同一条直线（重合），而非平行，故D错误.
故选：AB
10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 异面直线与所成的角为D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算判断A，结合A可得，再根据数量积的运算律判断B，根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C，计算，即可判断D.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：因为，
所以
，
所以，即，故B错误；
对于C：因为，，所以，
所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误；
对于D：因为，，
所以，
所以，即，故D正确.
故选：AD
11. 英国著名物理学家牛顿用“切线法”求函数零点.如图，在横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为，用代替重复上面的过程得到，一直下去，得到数列，叫做牛顿数列.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有三个零点B. 若，则
C. D. 若，则数列是递增数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由导数可得函数的两个极值点，再根据零点存在性定理判断零点个数；再由牛顿数列的定义及导数的几何意义可得，进而可判断BC，对D需要根据函数的单调性可得及，从而可判断D选项.
【详解】对A：由，，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以在，上递增，在上递减，
，.
且当时，；当时，；
所以由零点存在性定理及函数的单调性可得：函数在各有一个零点，共3个零点，故A正确；
因为横坐标为的点处作曲线的切线为，
令，得，即，故C正确；
若，则，所以，故B错误；
若，则，
所以，显然.
又因为当时，，且，所以.
所以，即，所以数列是递增数列，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线，则其渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据渐近线方程公式直接求解即可.
【详解】由双曲线得
渐近线方程为.
故答案：.
13. 已知函数，其中且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列求和公式即可求解.
【详解】，
故答案为：.
14. 蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量运算规则将化为的组合表达式，并进一步可得，再将求的取值范围转为求的取值范围即可，而的最大值为正四面体的外接球半径，最小值为正四面体的内切球半径，求出这两个半径即可．
【详解】设内切球球心为O，可知O为MN的中点，则，，，
所以，
设正四面体ABCD的棱长为a，外接球半径为R，如图所示，
可知H为正三角形ABC的外心，则，
在和中，，
解得，，
设正四面体ABCD的内切球半径为r，内切球半径为图中OH，所以，
解得，又的最大值为外接球半径R，最小值为内切球半径r，
所以，进一步可得，即的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明步骤和演算过程.
15. 在平面直角坐标系中，已知直线.
（1）求过点且和垂直的直线的方程；
（2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由垂直关系求出和垂直直线的斜率，再由点斜式求出其直线的方程；
（2）由圆经过两点，根据圆心到两点的距离均等于圆的半径建立方程求出圆心和半径即可得答案；
【小问1详解】
由题意，直线的斜率，
则所求直线的斜率，
代入点斜式方程得，
∴过点且和垂直的直线的方程为.
【小问2详解】
设圆心为，半径为
∵圆心在直线上，，则点为，
由题意可得，
则，解得，
∴圆心的坐标为，半径，
圆的标准方程为.
16. 已知数列的前项和为，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用求出，进而推出数列的通项公式；
（2）先求出的通项公式，根据的性质采用裂项相消法求，结合的单调性及解析式求出的取值范围．
【小问1详解】
当时，，
当时，，
又满足，
，
数列的通项公式为．
【小问2详解】
，
，
单调递增，，即，
又，
．
17. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，为PC中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求证平面，再利用线面垂直的性质定理和判定定理求证；
（2）过点作于点，利用面面垂直的性质定理求证平面DEB即可计算；
（3）以点为坐标原点建系，计算两个平面的法向量，计算法向量的夹角即可.
【小问1详解】
平面平面，，
又∵正方形中，平面，
平面，
又平面，
是PC的中点，，
又平面，
平面；
【小问2详解】
由（1）知平面，平面，所以平面平面，
过点作于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，则线段CM的长度就是点到平面的距离，
，
，
由（1）可知，
，
即点到平面的距离为.
【小问3详解】
以点为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：，，，
则，，
设平面的法向量，
则，
从而，令，得到，
由（1）与已知，
又平面，
则平面，则平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则.
∴平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若的最小值为2，求实数的值；
（3）当时，若，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出切点以及，利用点斜式方程求解；
（2）利用导数求最值；
（3）根据题意，，要证，只需证，令，利用导数证明其恒大于0即可.
【小问1详解】
时，．因为，所以切点为，
因为，所以，
所以在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，
①若，则恒成立，所以在单调递减，无最小值，不符合题意；
②若，令得，则的变化如下表所示，
，即解得.
即的最小值为2时，．
【小问3详解】
由题意知，所以，因为，所以.
要证，只需证，
即．
令，则，
所以在单调增，
因为，所以，即，
所以成立．
19. 有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为2，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点F，E所在的直线为轴，线段EF中点为原点，建立平面直角坐标系.
（1）记折痕与ME的交点的轨迹为曲线，求曲线的方程.
（2）若直线与曲线交于A，B两点.
（i）当为何值时，为常数，并求出的值.
（ii）以A，B为切点，作曲线的两条切线，设其交点为，当时，证明：.
【答案】（1）
（2）（i），;（ii）证明见解析
【解析】
【分析】第一问由椭圆定义可得椭圆标准方程；
第二问(i)：通过联立，由韦达定理得根与系数关系，再由坐标表示，最终通过化简，得 ，通过分析可得的取值.
第二问(ii)：当两条切线中的一条斜率不存在时，可以求得；当两条切线都存在时，设切线方程，联立由韦达定理得，即证.
【小问1详解】
（1）由题意可知，
，
所以点轨迹是以E，F为焦点，为长轴长的椭圆，
即，所以，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
（2）（i）由消元得，
由，得，
设，则，
所以
当为常数时，即与无关，
令，得，此时恒成立，
即当时， .
（ii）证明：设，由得，
当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与轴垂直时，切线方程为，
即，得，
所以另一条切线方程为，即与轴平行，显然，两切线垂直，即.
当切线斜率都存在时，设过的切线方程为，
由
消去，得，
由，
化简得.
设两条切线的斜率分别为，
因为，所以，
所以两条切线相互垂直，即.
综上，．
-
0
+
极小值