湖南师范大学附属中学2025届高三下学期4月模拟（一）数学试题（含答案）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
4. 若 是夹角为 的单位向量，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为 1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥
的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
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7. 已 知 的 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， ， 则
的面积为（ ）
A. B. C. 36 D. 27
8. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则当 取到最小值时，
（ ）
A. 7 B. C. 9 D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆 ，直线 （其中 为参数），则下列选项正确的
是（ ）
A. 圆 的半径 B. 直线 与圆 相交
C. 直线 不可能将圆 的周长平分 D. 直线 被圆 截得的最短弦长为
10. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数 和双曲余
弦函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B.
C. 函数 值域为
D.
11. 古希腊数学家托勒密（Ptlemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应
关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的 作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角
所对的弦长记为 ．例如 180°圆心角所对弦长等于直径，即 120 个度量单位，所以
．则（ ）
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A. crd B. 若 ，则
C. D. crd
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若指数函数 满足 ，则 _____．
13. 从编号 的 15 张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件 ：“第一次抽到数字为 5 的倍数”，事件
：“第二次抽到的数字小于第一次”，则 _____．
14. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上不同的两点， 为坐标原点，若
，垂足为 ，则 面积的最大值为_____．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了 100 名观看该档节目的观众
对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为 ，评价结果分为
“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．
评价
性 合
喜 不喜
别 计
欢 欢
男
15 性
女
性
合
50 100 计
（1）根据所给数据，完成上面的 列联表；
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？
（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取 3
人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ，评
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价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ，“建言”被采用奖励 100 元，“建言”不被采用奖励
50 元，记 3 人获得的总奖金为 ，求 的分布列及数学期望．
附： ．
0.010 0.005 0.001
6 635 7.879 10.828
16. 已知函数 ，设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为
，且 ．
（1）用 表示 ；
（2）若 ，记 ，证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式．
17. 如图，在直三棱柱 中， 是四边形 （不
含边界）内 动点且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角 余弦值的取值范围．
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆 的上、下顶点， 为坐标原点，
直线 与椭圆 交于不同的两点 .
（1）设点 为线段 的中点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
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（2）若 ，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上.
19. 已知函数 ．
（1）若 在 处的切线为 ，求 的值；
（2）当 时，求 在 上的零点个数；
（3）当 时，设 ，是否存在 ，使得曲线 在点
处 切线与 有 3 个交点？若存在，探究满足条件的 的个数；若不存在，说明理由
．
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