河南开封市五县2025-2026学年高二上学期期末学情自测数学试卷（试卷+解析）

这是一份河南开封市五县2025-2026学年高二上学期期末学情自测数学试卷（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 若双曲线方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 6B. 7C. 12D. 16
4. 已知点是抛物线：（）上一点，点到抛物线的准线的距离为，是轴上一点，则“点的坐标为”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 经过原点，半径为2的圆的圆心为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 在空间直角坐标系中，经过点，且以（）为法向量的平面的方程为．若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线：（，），斜率为1的直线与双曲线交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与夹角为钝角，则
10. 记公比为等比数列的前项和为，前项积为，若数列满足，，，则（ ）
A. B.
C. D. 是数列中的最大项
11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆与圆相外切B. 直线斜率存在时，
C. 若，则直线的斜率为D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点为圆外一点，则的取值范围为______．
13. 已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为______
14. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点到点的距离比它到直线：的距离大1．
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程．
16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点是的中点．
（1）线段上是否存在一点，使得点，，，共面？存在请证明，不存在请说明理由；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
17 已知数列满足，，数列满足．
（1）求，的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求的取值范围．
18. 已知椭圆：（）过点和点，点为右顶点，过右焦点的直线（不与坐标轴平行）交椭圆于点，直线分别与轴交于点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线斜率的取值范围；
（3）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
19. 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，，其中常数．
（1）当时，写出、值；
（2）证明：是等比数列；
（3）设前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式．
高二年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设倾斜角为，
因为直线的方向向量是，则直线的斜率，
故倾斜角正切值为，
且，所以的倾斜角为.
故选：A.
2. 若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线方程求，再求离心率和渐近线方程.
【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴上，其中，，，
所以离心率，渐近线方程.
故选：D
3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 6B. 7C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可.
【详解】由题意得，，所以.
.
故选：B.
4. 已知点是抛物线：（）上一点，点到抛物线的准线的距离为，是轴上一点，则“点的坐标为”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线所过的点求出抛物线方程，进而求出d，再求出“”时点的坐标即可由充分不必要条件的定义得解.
【详解】由题可知，
所以点到抛物线的准线的距离，
设，则由“”得或.
所以“点的坐标为”是“”的充分不必要条件.
故选：B
5. 经过原点，半径为2的圆的圆心为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先明确点的轨迹为圆，圆心为，半径，再求点到直线的距离，则为所求.
【详解】由题意，圆心的轨迹为圆，其圆心为，半径，
则到直线的距离为.
所以点到直线的距离的最小值为.
故选：A
6. 在空间直角坐标系中，经过点，且以（）为法向量的平面的方程为．若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值.
【详解】根据题意，平面的方程化简为可转化为，
则平面的法向量，
设直线的方向向量为，设直线与平面所成角为，
所以，
故选：B.
7. 已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解.
【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列，
即，，
整理得，
令，则，，
所以数列单调递减，故是数列的最大项，
所以，所以.
则的取值范围为.
故选：D．
8. 已知双曲线：（，），斜率为1直线与双曲线交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意作出图像，设直线的方程为：，根据向量的关系推出的坐标，利用这两点在双曲线上列方程组求解.
【详解】
作图如上，设直线的方程为：，则，
由于，即为中点，则，此时，
设，由可知，
解得，即，
由两点在双曲线上可知，
则，解得，
于是.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与夹角为钝角，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D.
【详解】对于A，由，
则，即，解得，故正确；
对于B，若，显然与不共线，
若，与共线，则，
解得，故正确；
对于C，因为在上的投影向量为，
所以，即，解得或，故错误；
对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线，
则，解得，且，即，
所以，故错误，
故选：AB.
10. 记公比为的等比数列的前项和为，前项积为，若数列满足，，，则（ ）
A. B.
C. D. 是数列中的最大项
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意分析得到，即可逐项分析判断.
【详解】因为，所以一个大于1，一个小于1，
又，，则，
所以，且，，
所以，且当，，
所以，故AB正确；
，故C错误；
因为当，，
所以，
即是数列中的最大项，故D正确.
故选：ABD
11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆与圆相外切B. 直线斜率存在时，
C. 若，则直线的斜率为D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由双曲线的焦点三角形的内切圆切于顶点（右焦点对应右顶点），通过列式即可判断A；由斜率公式及点差法可判断B；设直线的倾斜角为，得到，进而求解可以判断C；构造对勾函数利用对勾函数性质即可判断D.
【详解】由题意知，，则，
所以,设.
如图所示，
对于A，设内切圆的切点分别为,则
结合双曲线定义可得，故，
所以，,即，
又因为，
所以切点重合，则，即圆与圆相外切，故正确；
对于B，联立，整理得，
即，，所以，故错误；
对于C，设直线倾斜角为，连接,
则，
若，则解得，
由，得，故
所以，故正确；
对于D，由题意知双曲线的渐近线方程为，倾斜角分别为，
因为直线与双曲线的右支交于，两点，
所以，则，
因为设， ，则，
所以根据对勾函数性质可知在单调递减，
在单调递增，
所以，，
所以，故正确，
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点为圆外一点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解.
【详解】由题可得，
所以的取值范围为.
故答案为：
13. 已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为______
【答案】
【解析】
【分析】通过表达式求出，再结合等差数列通项公式求解即可.
【详解】由可得
， ，
，
整理可得，解得，
所以，
故答案为：.
14. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用空间向量的线性运算求出和，再结合空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】如图，连接，设，，，
依题意，，
则
，
而
，得到.
而
，可得.
则，
所以，
故直线和所成角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点到点的距离比它到直线：的距离大1．
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线过点，且与点的轨迹相交于，两点（在第一象限），若，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到点的距离等于它到直线：的距离，再结合抛物线的定义求解；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程可得，结合，利用坐标运算即可.
【小问1详解】
由点到点的距离比它到直线：的距离大1，
则点到点的距离等于它到直线：的距离，
由抛物线定义知，
点的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线，
可得，所以点的轨迹方程为．
【小问2详解】
直线过点，由已知直线的斜率不为0，
故设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则，设，，所以，．
因为，可得，所以，
因为点在第一象限，所以，，
则，解得，
所以直线的方程为.
16. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点是的中点．
（1）线段上是否存在一点，使得点，，，共面？存在请证明，不存在请说明理由；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）存在，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）判断共面，取的中点，利用平行公理推理即可.
（2）作，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求出，再利用锥体的体积公式计算即得.
【小问1详解】
存在，当为的中点，点，，，共面．
证明如下：
取的中点，连接，又点是的中点，则，
由，得，则直线确定一个平面，
所以线段上存在一点，使得点，，，共面.
【小问2详解】
过点作，由底面，得底面，
而，，则，即直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
则，由底面，得是平面一个法向量，
于是，解得，
在底面直角梯形中，，，，则，
由为的中点，得，
所以三棱锥的体积为.
17. 已知数列满足，，数列满足．
（1）求，的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义可求出的通项公式，对于取倒数处理，构造等差数列，得到的通项公式；
（2）利用裂项求和，先得出表达式，对于不等式，可分离参数处理.
【小问1详解】
因为且，所以，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以的通项公式为：，
因为，，所以，
所以，所以．
又因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以
所以的通项公式为：
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
所以，
又因为不等式对任意正整数恒成立，
所以，，又因为，
所以，恒成立，
因为，所以，
所以的取值范围为
18. 已知椭圆：（）过点和点，点为右顶点，过右焦点的直线（不与坐标轴平行）交椭圆于点，直线分别与轴交于点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线斜率的取值范围；
（3）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）在以为直径的圆的内部，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆经过的点列方程求解；
（2）设直线方程为：，，，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，将用含有的式子表达，解不等式即可；
（3）写出以为直径的圆的方程，利用点和圆的位置关系判断.
【小问1详解】
椭圆方程过点和点，
所以，解得，，
因此椭圆：
【小问2详解】
根据第一问可得，，
直线的斜率存在且不为零，可设：，（）．
联立，得．（*）
显然方程*式的判别式，设，，
则，．
直线的方程为，
令，得，即，同理可得．
所以，
将代入整理得，
，
因为，所以，得，
设直线斜率为，则
解得；
【小问3详解】
点在以为直径的圆的内部．
证明如下：
因为直线的斜率存在且不为零，可设：．
由（2）可知，，，，
且，，
所以，，
因为
，
所以，点在以为直径的圆的内部．
19. 若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，，其中常数．
（1）当时，写出、的值；
（2）证明：是等比数列；
（3）设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3），，
【解析】
【分析】（1）当时，，利用递推公式可求得、的值；
（2）利用等比数列定义可证得结论成立；
（3）由（2）可求出数列的通项公式，可求出，结合“等差等比混合数列”的定义可求得结果.
【小问1详解】
当时，，
所以由，得，．
【小问2详解】
由，得，则，
又因为，
所以．
又，，且，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
【小问3详解】
由（2）可知．
又因为，所以，
所以，
又因为，所以．
因为为“等差等比混合数列”，则存在一个等差数列一个等比数列使得
，且，，
所以对任意恒成立，
所以，故，此时，所以，
若数列为“等差等比混合数列”，即存在，，
使得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，所以，
所以可拆分成一个等差数列，一个等比数列．