广东省江门市新会区正雅学校九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省江门市新会区正雅学校九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：120分
试卷类型：A卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，这是一个需要识记的内容．根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.，整理后得，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. ，C. ，D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据因式分解法进行求解方程
【详解】解：，
，
解得，，，
故选：C．
3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标D. 与x轴有交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标进行判断即可．
【详解】解：．∵，，抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
．∵，∴对称轴是直线，故该选项不符合题意；
．∵，∴顶点坐标，故该选项不符合题意；
．，，抛物线与x轴有交点，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 下列事件属于随机事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是B. 掷一次骰子，向上的一面的点数是7
C. 从只有红球的袋子中，摸出1个白球D. 打开电视，电视正在播放新闻节目
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，故不合题意；
B、掷一次骰子，向上的一面的点数是7是不可能事件，故不合题意；
C、从只有红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故不合题意；
D、打开电视，电视正在播放新闻节目是随机事件，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 已知抛物线经过点和，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为，再判断、在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系．
【详解】解：函数的对称轴为，
抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大，
∵，、对称轴右侧，
．
故选：C．
6. 怡福中学体育组计划组织一场篮球邀请赛，参赛队伍由同学们自由组合，参赛的每两个队伍之间都要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，则可以邀请的队伍有（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程计算即可.
【详解】解：设比赛组织者应邀请x队参赛，
∵赛程计划安排10天，每天安排3场比赛，
∴共场比赛，
则由题意可列方程为．
解得：，（舍去），
故选：B．
7. 风车山因其山顶风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（ ）
A. 60B. 90C. 120D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称，将除以转子叶片个数即可求出的值．
【详解】解：
故选：C．
8. 下列说法中正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④、是的两条弦，被垂直平分，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆的概念及垂径定理，熟练掌握圆的每个概念及垂径定理是解题的关键．根据相关概念逐个判断，即可解题．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦 ，正确；
②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦 ，故②错误；
③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧 ，故③错误；
④、是的两条弦，被垂直平分，
过圆心，即为直径，
则，正确．
综上所述，说法中正确的个数是2个．
故选：B．
9. 图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，贴纸部分的弧为，则的长为（ ）
A. 30B. 25C. 20D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题．本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．
【详解】解：弧的长度为，，
，
则．
故选：A．
10. 如图，，过点作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，…，依此法继续作下去，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据结果找出规律即可得到答案．
【详解】有勾股定理有：
，
，
，
以此类推：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用与线段长的规律问题，根据求出的结果找到规律是关键．
二、填空题（本大题5小题，每题3分，共15分）
11. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是，
故答案为：．
12. 如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
13. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可知抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为，则另一个交点为，然后根据图象即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知抛物线对称轴为直线，与轴一个交点为，
∴抛物线与轴另一个交点为，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
14. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____．

【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，

∵，且是圆周角，
∴是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的直径为，
故答案为：13．
15. 如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为___．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点O是正五边形的中心，
∴，
在中，，，
∴．
故答案为：18．
.
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）用公式法解一元二次方程；（2）用因式分解法解一元二次方程.
【详解】解：（1）
a=1,b=1,c=-3

所以方程有两个不相等的实数根
∴
∴，
（2）
∴
【点睛】此题考查公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程求根公式和解题步骤是本题的解题关键. .
17. 已知关于x的方程，．求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根．
【详解】证明：
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
18. 如图，在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（1，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△，请在图中画出平移后△，则C的对应点的坐标为____________．
（2）线段可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，这个定点的坐标是_____．
【答案】（1）图见解析，（-3，4）
（2）（0，1）
【解析】
【分析】（1）将点A，B，C都向左平移5个单位得出点，，顺次连接得出△，再由网格线得出点C'的坐标；
（2）连接，相交于点D，即可判断出点D是旋转中心，由网格线即可得出点D的坐标；
【小问1详解】
解：∵将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△，且C（2，4），
∴的对应点C′的坐标为（-3，4），
故答案为（-3，4）．
【小问2详解】
解：∵线段可以看成是线段BA绕着某个定点旋转180°后得到的图形，
∴点与点B是对应点，点与点A是对应点，
∴连接，相交于点D（定点），
由图形知，D（0，1），
即旋转中心为点D（0，1），
故答案为（0，1）．
【点睛】此题主要考查了平移，旋转的性质，熟练掌握平移和旋转的性质是解本题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，求∠BDC的度数．
【答案】∠BDC＝15°．
【解析】
【分析】根据旋转的性质得∠DBE＝∠CBA＝30°，BD＝BC，再由三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：由题意得，△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，点C、B、E在一条直线上，
∴∠DBE＝∠CBA＝30°，BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
又∵∠DBE＝∠BCD＋∠BDC＝2∠BDC，
∴∠BDC＝∠DBE＝15°．
【点睛】本题考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
20. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【答案】（1）
（2）1万元
【解析】
【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设该公司销售产品每次的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
【小问2详解】
设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答尽量减少库存，
．
答：每套产品需降价1万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率，
（1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解；
（2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解
【小问1详解】
解：共有四个开关，，，，
当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
【小问2详解】
解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光是共种，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
（2）若AC＝，CE＝4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）∠C=40°；
（2）阴影部分的面积为．
【解析】
【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
（2）设OA=OE=r,根据勾股定理得出方程，求出方程的解得出OA=4，由扇形的面积公式和三角形的面积可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°；
【小问2详解】
解：设OA=OE=r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：，
即，
解得：r=4，
∴OC=8，
∴OA=OC，
∴∠C=30°，
∴∠AOC=60°，
∴=OA•AC=×4×4=8，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式，切线的性质和勾股定理等知识点，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23. 如图，直线与抛物线相交于和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，当时，线段有最大值且为
（3）存在，或或或或
【解析】
【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可；
（2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可．
（3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入直线得，
，
在抛物线上，
，解得：，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：存在．
理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为，
，
点是线段上的动点，
，
当时，线段有最大值且为．
【小问3详解】
解：存在．
设点，
①当时，，
解得：，
或．
②当时，，
解得：，
或．
③当时，，
解得：，
，
综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．