寒假巩固作业08一元一次方程的实际应用2025-2026学年人教版数学七年级上册(含答案）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24706" 核心解题思维 PAGEREF _Tc24706 \h 1
\l "_Tc28305" 必须警惕的三大高频错误 PAGEREF _Tc28305 \h 1
\l "_Tc10016" 高效复习策略 PAGEREF _Tc10016 \h 1
\l "_Tc28459" 十四大题型核心知识点速查 PAGEREF _Tc28459 \h 3
\l "_Tc13333" 题型一、和差倍分问题 PAGEREF _Tc13333 \h 5
\l "_Tc30628" 题型二、数字问题 PAGEREF _Tc30628 \h 5
\l "_Tc31167" 题型三、比赛积分问题 PAGEREF _Tc31167 \h 6
\l "_Tc16901" 题型四、工程问题 PAGEREF _Tc16901 \h 7
\l "_Tc7839" 题型五、动点问题 PAGEREF _Tc7839 \h 8
\l "_Tc17662" 题型六、几何问题 PAGEREF _Tc17662 \h 10
\l "_Tc18448" 题型七、行程问题 PAGEREF _Tc18448 \h 12
\l "_Tc7227" 题型八、配套问题 PAGEREF _Tc7227 \h 14
\l "_Tc1988" 题型九、销售盈亏问题 PAGEREF _Tc1988 \h 14
\l "_Tc19583" 题型十、方案选择问题 PAGEREF _Tc19583 \h 16
\l "_Tc27136" 题型十一、电费水费问题 PAGEREF _Tc27136 \h 17
\l "_Tc2390" 题型十二、比例分配问题 PAGEREF _Tc2390 \h 19
\l "_Tc21237" 题型十三、日历问题 PAGEREF _Tc21237 \h 19
\l "_Tc4515" 题型十四、古文化问题 PAGEREF _Tc4515 \h 21
本资料系统梳理了一元一次方程应用题的14大核心题型，旨在帮助你快速识别题型、掌握核心等量关系、避开解题陷阱，从而高效提升解题能力。
核心解题思维
五步法 解决任何方程应用题，都应遵循以下五个关键步骤，这是解题的通用“脚手架”。
1.审：仔细阅读，划出已知量、未知量、关键关系词（如“共”、“比…多/少”、“是…倍”）。
2.设：合理设未知数（直接设问或间接设），注意带上单位。
3.列：寻找等量关系，用含未知数的式子表示相关量，列出方程。
4.解：解方程，
5.验、答：务必检验（代入原方程验算；检查解是否符合实际意义），并作出答。核心易错点与复习建议
必须警惕的三大高频错误
1.等量关系错误：这是失分的首要原因，务必紧扣关键词，明确谁和谁相等。
2.单位不统一：行程题中的“小时”与“分钟”，几何题中的“米”与“厘米”，列方程前必须统一。
3.解不检验：解出方程后，必须代入原方程检验计算，并判断答案是否符合实际（如人数为正整数、时间非负等）。
高效复习策略
题型归类：对照上表进行练习，强化“识别题型→调用模型”的思维反射。
错题深究：建立错题本，重点记录错误原因（审题？列式？计算？）和正确等量关系。
十四大题型核心知识点速查
题型一、和差倍分问题
1．王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生年龄是另外三人年龄和的12，李先生年龄是另外三人年龄和的13，赵先生年龄是另外三人年龄和的14，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗？
2．两支外观相同、成分不同的蜡烛，以均匀速度燃烧．其中一支2小时烧完，另一支可以燃烧3小时．晚6点半同时点燃蜡烛，多少小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍？（列方程解应用题）
3．水果商店运来桔子、苹果和梨共410千克，其中桔子是梨的2倍，梨比苹果的12少10千克，三种水果各多少千克？
4．甲、乙两车间原有人数的比是3：2，从甲车间调出48人到乙车间后，甲车间的人数是乙车间的23．甲、乙两车间原来各有多少人？
题型二、数字问题
5．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏（如图所示），现在将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，老师已经完成了部分填空，请同学们完成下列问题：

(1)求图中b的值；
(2)求图中a+b的值．
6．有一列数：2，−4，8，−16，…，第n个数可以表示为−1n+1⋅2n（n为正整数），若这列数中三个相邻数的和是96，求这三个数．
7．【教材呈现】
在小学，我们知道像12，27，36，45，108，⋯这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？
先来看两位数的情形．
若一个两位数的十位，个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为ab．于是ab=10a+b=9a+a+b．显然9a能被3整除，因此，如果a+b能被3整除，那么9a+a+b就能被3整除，即ab能被3整除．
【类比探究】
（1）我们用abc表示一个三位数．其中a，b，c分别表示百位，十位，个位上的数字，请证明：若a+b+c能被3整除，则abc能被3整除．
【学以致用】
（2）若三位数58x能被3整除，求x的值．
8．第十四届国际数学教育大会ICME−14会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0∼7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80=2021，表示ICME−14的举办年份．
(1)八进制数3752换算成十进制数是多少？
(2)小华设计了一个n进制数43，换算成十进制数是23，求n的值．
题型三、比赛积分问题
9．某中学举办“校园非遗文化节”，设置皮影戏展演竞赛，参赛班级按得分排名，计分规则如下：皮影戏展演获胜一场积2分，平一场积1分，负一场积−1分．某班参加了14场比赛，并保持不败的纪录，最终总得分为22分，求该班获胜了多少场．
10．在足球联赛中，文昌队表现抢眼，开局保持不败．球迷小亮收集了该队的初期战绩信息：该队在前9场比赛中保持不败，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
(1)如果文昌队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？
(2)文昌队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？
11．我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况．
(1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分；
(2)参赛者E得64分，他答对了__________道题；
(3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？
12．社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投．
(1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分；
(2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数．
题型四、工程问题
13．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要30天，乙工程队单独完成需要20天．
(1)甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？
(2)若两队合作10天完成此项工程，在甲工程队将效率提高20%的情况下，那么乙工程队的效率应提高多少？
14．某农场有一块面积为1200亩的耕地需要播种，现安排A、B两个播种队共同完成这项任务．已知A播种队每天播种的亩数是B播种队每天播种亩数的2倍，A、B两个播种队合作5天完成了总任务的12．
(1)求A、B两个播种队每天分别可播种多少亩；
(2)若A播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由B播种队单独完成，总费用刚好为13.6万元．已知A播种队每天的播种费用为0.8万元，B播种队每天的播种费用为0.5万元，求A播种队单独播种的天数．
15．“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是30天．
(1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？
(2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的23，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的12，最后甲、乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？
16．某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成．
(1)求乙队还需要完成任务的天数．
(2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数．
题型五、动点问题
17．如图，数轴上有A，B两点对应的数分别是a，b，且满足a+8+b+22=0，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的n倍，则称点P为点A，B的“n倍点”，记作PA=nPB．点C表示的数为10．
(1)求a，b的值；
(2)若点P表示的数为0，求n的值；
(3)点P，Q分别同时从点A，B出发，点P沿数轴以每秒3个单位的速度向点C运动，点P到达点C后，再立即以同样的速度返回到点A，到达点A停止运动．点Q沿数轴以每秒1个单位的速度向点C运动，到达点C停止运动．设点P运动时间为t，当t为何值时，点P为点B，Q的“2倍点”．
18．6−3表示6与3的差的绝对值，也可理解为6与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；6+2可以看作6−−2，表示6与−2的差的绝对值，也可理解为6与−2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【背景知识】
数轴能将数与形结合，有如下规律：
①若数轴上点A，B表示的数分别为a，b．则A，B两点之间的距离为AB=a−b，线段AB的中点表示的数为a+b2．
②若在数轴上一个点表示的数为a，则向左运动bb>0个单位后表示的数为a−b，向右运动bb>0个单位后所表示的数为a+b．
【综合应用】
如图，点C表示的数为−2，点D所表示的数为6．
(1)填空：
①CD的中点所表示的数为 ；
②若DE=3，则点E表示的数为 ．
(2)点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点Q从点D出发，以每秒v个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①P、Q运动过程中，当点D正好是PQ的中点时，CP=12CD，求点Q的速度v．
②若点Q保持①中的速度继续运动，当点P运动到DQ的四等分点时，求P的运动时间t．
19．数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足|a+2|+b−42=0．点M为数轴上一动点，其对应的数为m．
(1)点A表示的数为_________；若点M为线段AB的中点，则点M对应的数为________．
(2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为12时，求点M对应的数m；
(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”例如：在数轴上点C表示的数为−1，点D表示的数为2，原点O到点C，点D的距离分别为OC=1,OD=2，则OD=2OC，即原点O是点C，D的“2倍点”，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒．当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值．
20．如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动，两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了3cm，并沿B→C→D→A的路径匀速运动，点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，3s后两点在长方形ABCD某一边上的点E处第二次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．
(1)点Q的速度为___________cm/s（用含x的代数式表示）；
(2)求点P原来的速度．
(3)判断E点的位置并求线段DE的长．
题型六、几何问题
21．根据以下素材，探索完成任务：
【任务1】设四周宽度为xcm，结合图1，
（1）填空：设计部分的长为_____cm，宽为_____cm．
再列出方程求出四周宽度x的值；
【任务2】（2）结合图3，求每个长方形栏目的竖直高度；
【任务3】（3）结合图2，直接写出长方形栏目与栏目之间中缝的间距是_____cm．
22．解决问题
23．某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量BE=2.5m，AG=3m，通过计算发现长方形AEHG的面积与长方形BCFE的面积相等．求长方形DGHF的面积．
24．如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题：
(1)折成的无盖长方体盒子的长为_____cm，宽为_____cm，容积为_______cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简）
(2)当x=3时，求此时铁皮盒的容积；
(3)若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值．
题型七、行程问题
25．一辆汽车从A地驶往B地，先行驶的是一段普通公路，后行驶的路段都为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，且汽车所行驶的高速公路路程是普通公路路程的2倍，从A地到B地一共行驶了2.2h．试求汽车在普通公路上行驶了多少小时？
26．以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票：
(1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）．
(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离．
(3)在2的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km．
27．一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少0.5小时，已知该轮船在静水中的速度为27千米/小时，水流的速度是3千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是x千米，根据题意填写以下表格：
28．某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶400km，冬季时实际能行驶的里程会折损20%．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多48km，高速路段总长度与市区路段总长度的比是3:2．
(1)求车主从家到该景区的路程；
(2)该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家．
题型八、配套问题
29．某条生产线上有22台机器，已知一台机器一天可以生产300支笔套或500支笔芯．如果1支笔套需要2支笔芯配成一套．要使生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器生产笔套和笔芯？（每台机器只能生产笔套或笔芯中的一种）
30．一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现1立方米的木材可以做50张桌面或300个桌腿，问工厂能做多少张方桌？
31．某非遗文化工坊为推广榄雕工艺，推出“非遗传承配套礼盒”定制服务，每套礼盒由1本榄雕技法手册和2枚榄雕挂件组成，已知该工坊共有36名工人，其中第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人．
(1)该工坊第一车间和第二车间各有多少人？
(2)已知每名工人每天可制作4本技法手册或10枚榄雕挂件，为提升礼盒质量，原计划安排第一车间负责制作榄雕挂件，第二车间负责制作技法手册，那么每天制作的手册与挂件不能完全配套，若不考虑其他因素，问需从第二车间安排多少名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套？
32．在数学活动课上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（如图1）．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每人每小时剪20个圆柱体侧面（如图2）或剪10个圆柱体底面（如图3）．
(1)七（1）班女生有多少人？
(2)计划男生负责剪圆柱体侧面，女生负责剪圆柱体底面，要求1个圆柱体侧面配2个圆柱体底面，需要调多少名男生去支援女生，才能使每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套？
题型九、销售盈亏问题
33．某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示：
(1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？
(2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？
34．为迎接马年春节，开州某商店购进了“马到福来”（以下简称为“A”）和“幸福加马”（以下简称为“B”）两款红包，每个B款红包进价比A款红包进价贵1元，该商店购进了500个A款红包和500个B款红包共花费2500元．
(1)求A、B款红包进价每个分别为多少元？
(2)春节前，A款红包在进价基础上提价50%后售卖了45，B款红包按一定价格售卖了12；春节后，因商店保管不善导致剩下的A款红包无法售卖按报废处理，B款红包按春节前的售价打八折进行促销并全部售完，销售完这两款红包后共获利410元，求春节前B款红包的售价为每个多少元？
35．某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“春节年货节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件．
(1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件？
(2)若每件甲种产品按标价出售可获得利润20元，每件乙种产品按标价出售可盈利30%．“春节年货节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品打9折出售，乙种产品每件降价15元．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？
36．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐单数超过40单的部分记为“+”，低于40单的部分记为“−”，下表是小刚这一周的送餐单数：
(1)求小刚这一周一共送餐多少单；
(2)若小刚的收入为每单m元，小刚想用这周的总收入买一台标价为2400元的平板电脑，这款平板电脑在商场的售价为标价的90%，在实际购买时，小刚幸运地抢到了一张180元的消费优惠券．小刚用这周的总收入买下这款平板电脑后，还剩120元，请求出m的值．
题型十、方案选择问题
37．小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受：
小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元
(1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；a的值为_________
(2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？
(3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？
38．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折
(1)若学校购买乒乓球x盒（x>10），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）；
(2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？
(3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案．
39．为美化校园环境，某校决定购买一批花卉，经市场调查发现： 甲、乙两花店以同样的价格出售茶花和杜鹃花，已知每株茶花比每株杜鹃花贵5元，2株茶花与3株杜鹃花的费用相等．
(1)每株茶花和每株杜鹃花的价格分别是多少?
(2)甲花店的优惠方案： 每购买10株茶花，送1株杜鹃花；
乙花店的优惠方案： 若购买茶花超过 80株，则购买杜鹃花打八折（即80100 ）
假设该校购买100株茶花和a株杜鹃花，其中a>10且为整数．
①请用含a的代数式表示：
若在甲花店购买，所花的费用为 元
若在乙花店购买，所花的费用为 元
②当a为何值时，在两家花店购买所花的费用一样?
40．小张在元旦期间逛商场，看到如下两个商场的促销信息．
A商场：全场均按九折优惠；
B商场：购物不超过300元，不给予优惠；超过了300元，其中的300元不打折，超过300元的部分打七五折；
已知两家商场相同商品的标价都一样．
(1)当一次性购物总额是400元时，A、B两家商场实付款分别是多少元？
(2)当购物总额是多少时，A、B两家商场实付款相同？
(3)小张选择在B商场购物，实际付款540元，小张的选择划算吗？请说明理由．
题型十一、电费水费问题
41．2025年1月1日起，乌鲁木齐居民生活用气（不包含采暖用气）开始执行阶梯价格制度，以下为具体阶梯收费标准：
已知李明家2025全年生活用气量为350立方米．
(1)李明家应缴纳多少费用？
(2)张丽家2025全年生活用气比李明家多缴纳了112.5元，张丽家2025全年用气量比李明家多多少立方米？
42．某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表：
例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：20×3.5+25−20×4.2=70+21=91（元）．
(1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元；
(2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？
(3)若小刚家11月份用水量为x立方米（x>30），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示）
43．为倡导广大市民以实际行动节约用电，中国电网供电公司采用居民生活用电阶梯式计费方式．如两表分别是该市“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表和该市小明家7，8月的用电情况．
生活用电阶梯式计费价格表
小明家7，8月用电情况
(1)其中a=______，b=_________；
(2)如果小明家9月应交电费是172元，则小明家这个月用电量是多少千瓦时？
44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（消费按月份结算）：
(1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为4m3和7m3，则应收水费分别是 元和 元．
(2)若该户居民3月份用水量为am3（其中a超出5m3不超出9m3），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简）
(3)若该户居民4月份交水费50元，该户居民4月份用水多少立方米？
题型十二、比例分配问题
45．2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造3400个小马玩偶，现需从有60人的甲团队和有40人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的13．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？
46．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问：
(1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？
(2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？
47．七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？
48．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为1:10．配制110kg这种药水，需要多少千克的这种药液？
题型十三、日历问题
49．如图，这是2026年2月的日历表．
(1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为4，则Y形框框中的这四个数字之和为________．
(2)设框住的这四个数中最小的数为m，请用含m的式子表示另外三个数．
(3)在该表中用Y形框“”框住四个数的和是否能为105？能的话，请求出这四个数字中最小的数；如不能，请说明理由．
50．综合与实践
数学活动课上，数学老师展示了一张2025年10月的月历表，让同学们观察数字间的关系，发现数学规律．
【观察发现】如图，在表中用一个小方框画出“□”形，任意圈出4个阿拉伯数字x，y，z，t．若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：17=16+1，23=16+7，24=16+8．
【解决问题】
(1)请用含有x的式子表示y，z，t．
(2)按照上述方法，所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答．
51．如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数．
(1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由；
(2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？
52．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为a,b,c,d,e．
(1)如果a+b+c+d+e=95，则c是多少？
(2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由．
题型十四、古文化问题
53．《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？
54．明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚分一碗汤，一共用了364只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题．
55．《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？”．这道题目的意思是，今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
56．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？
译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？
请解答上述问题．
《2025-2026学年人教版数学七年级上册寒假巩固作业08一元一次方程的实际应用》参考答案
1．40岁
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先统一单位“1”，以四人年龄总和为单位“1”，将王、李、赵的年龄转化为占总和的比例，再利用杨先生的年龄求解总和，进而求出王先生的年龄，据此进行分析列式计算，即可作答．
【详解】解：设四人年龄总和为S岁，
∵王先生年龄是另外三人年龄和的12，
∴王先生年龄=12×S−王先生年龄，
则王先生年龄=13S，
∵李先生年龄是另外三人年龄和的13，
∴李先生年龄=13×S−李先生年龄，
∴李先生年龄=14S；
∵赵先生年龄是另外三人年龄和的14，
∴赵先生年龄=14×S−赵先生年龄，
∴赵先生年龄=15S；
∵杨先生年龄26岁，
∴13S+14S+15S+26=S，
∴S=120，
即王先生年龄=13×120=40（岁）．
2．1.5
【分析】本题考查的知识点是用方程解决实际问题，关键是认真审题，依据“一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍”列方程解答即可．
【详解】解：设x小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍．
其中一支2小时烧完，燃烧的速度快，则燃烧同样时间剩余部分少，应乘2，
根据题意得：
21−12x=1−13x
解得x=1.5
答：1.5小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍．
3．梨有78千克，桔子有156千克，苹果有176千克
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设苹果有x千克，则梨有12x−10千克，桔子有212x−10千克，根据“桔子、苹果和梨共410千克”列方程求解即可．
【详解】解：设苹果有x千克，则梨有12x−10千克，桔子有212x−10千克，
根据题意，得x+12x−10+212x−10=410，
解得x=176，
则12x−10=12×176−10=78，212x−10=2×78=156，
答：梨有78千克，桔子有156千克，苹果有176千克．
4．甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲车间原有3x人，乙车间原有2x人，则调出后甲车间有3x−48人，乙车间有2x+48人，根据调人后甲车间的人数是乙车间的23建立方程求解即可．
【详解】解：设甲车间原有3x人，乙车间原有2x人，
由题意得，3x−48=232x+48
解得x=48，
∴3x=144，2x=96
答：甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人．
5．(1)b=−5
(2)−6或−3
【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用．
（1）如图，设小圈上的空数为c，大圈上的空数为d，可得两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2，再根据题意列出方程求解即可；
（2）先求出c的值，从而可得a+d=1，再结合已知讨论a、d的值，进而求解．
【详解】（1）解：如图，设小圈上的空数为c，大圈上的空数为d．

因为横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，−1+2−3+4−5+6−7+8=4，
所以两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2，
则−7+6+b+8=2，得b=−5；
（2）解：由（1）知b=−5，所以6+4+b+c=2，解得c=−3；
a+c+4+d=2，解得a+d=1．
所以当a=−1，d=2时，a+b=−1−5=−6；
当a=2，d=−1时，a+b=2−5=−3．
故a+b的值为−6或−3．
6．
这三个数依次是32，−64，128．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到相邻数字之间的关系，进而列出方程求解是解题的关键．从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的是它前面的数与−2的乘积．设所求三个相邻数中的第一个数是x，则后两个数分别是−2x，4x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设所求三个相邻数中的第一个数是x，则后两个数分别是−2x，4x，
根据题意，得x−2x+4x=96，
合并同类项，得3x=96．
系数化为1，得x=32．
∴第一个数是32，则后两个数分别是−64，128．
答：这三个数依次是32，−64，128．
7．（1）详见解析；（2）x的值为2，5，8
【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）类比题干可知得到abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c，进而求解即可；
（2）首先得到5+8+x=13+x能被3整除，然后根据0≤x≤9分情况讨论求解即可．
【详解】（1）证明：∵abc=100a+10b+c
=99a+9b+a+b+c，
∵99a和9b都能被3整除，
若a+b+c能被3整除，那么99a+9b+a+b+c就能被3整除，即abc能被3整除．
（2）解：∵5+8+x=13+x，
又∵58x能被3整除，
∴13+x能被3整除，
∵0≤x≤9，
∴当13+x=15时，x=2；
当13+x=18时，x=5；
当13+x=21时，x=8．
综上所述，x的值为2，5，8．
8．(1)2026
(2)5
【分析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元一次方程的应用，正确理解换算方法是解题关键．
（1）根据八进制数换算成十进制数的方法列式计算即可得；
（2）参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得，3×83+7×82+5×81+2×80=2026；
（2）解：根据题意可得：4×n3−2+3×n3−3=23
4n+3=23
解得n=5，
故n的值为5．
9．该班胜了8场比赛
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．设该班胜了x场比赛，则平了14−x场比赛，利用总得分=胜的场数×2+平的场数×1，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平了14−x场比赛，
2x+14−x=22，
解得x=8．
答：该班胜了8场比赛．
10．(1)这9场比赛中胜6场，平3场
(2)这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分
【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．
（1）设该队共胜了x场，则平了9−x场，根据题意列出一元一次方程，求出x的值即可；（2）设该队共胜了y场，则平了9−y场，由题意列出一元一次方程，求出y的值即可．
【详解】（1）解：设该队共胜了x场，则平了9−x场，根据题意，得
3x+9−x=21，
解得x=6，
∴9−x=3．
答：这9场比赛中胜6场，平3场；
（2）解：设该队共胜了y场，则平了9−y场，由题意，得
3y=9−y，
解得y=94不符合题意，
∴这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分．
11．(1)5，−1
(2)14
(3)不可能，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况；
（2）设参赛者E答对了x道题，则答错了20−x道题，根据得分为64分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设参赛者F答对了y道题，则答错了20−y道题，根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者F不可能得80分．
【详解】（1）解：100÷20=5，即参赛者答对1道题得5分，
94−19×5÷1=−1，即答错1道题得−1分；
故答案为：5，−1；
（2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了20−x道题，
由题意得：5x−20−x=64，
解得：x=14，
即他答对了14道题；
故答案为：14
（3）解：不可能，理由如下：
设参赛者F答对了y道题，则答错了20−y道题，
由题意得：5y−20−y=80，
解得：y=503，不是整数，不符合题意，
∴参赛者F说他得了80分，是不可能的．
12．(1)第一局得分为6分
(2)第二局投中A区3次
【分析】本题考查了一元一次方程的应用：
（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为x+2次，根据题意列一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：3×4+1×2−2×4=6分，
答：小星第一局的得分为6分；
（2）解：设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为x+2次，根据题意得：
3x+x+2−210−x−x+2=10，
解得：x=3，
答：第二局投中A区3次．
13．(1)12天
(2)20%
【分析】本题主要考查了工程问题的应用，熟练掌握“将工作总量设为单位‘1’，利用‘工作效率=工作总量÷工作时间’ ‘工作总量=工作效率×工作时间’分析数量关系”是解题的关键．
（1）将工程总量设为单位“1”，先求出甲、乙的工作效率，再根据“合作时间=工作总量÷合作效率”计算；
（2）设乙工程队效率提高的比例为未知数，根据“两队合作10天完成工作总量”列方程求解．
【详解】（1）解：设工程总量为1，则甲的工作效率：130，乙的工作效率：120，
合作效率：130+120=2+360=560=112，
∴合作时间：1÷112=12（天），
答：甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要12天；
（2）解：设乙工程队的效率应提高x，则
10×130×(1+20%)+120×(1+x)=1，
解得x=0.2=20%，
答：乙工程队的效率应提高20%．
14．(1)A播种队每天可播种80亩，B播种队每天可播种40亩
(2)A播种队单独播种7天
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（工程问题、费用问题）．根据题目的问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程是解题的关键．
（1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”的关系设未知数并建立等量关系，得到答案．
（2）结合工作量关系与费用计算规则“总费用＝单日费用×工作天数”，设未知数并建立等量关系，得到答案．
【详解】（1）解：设B播种队每天播种x亩，A播种队每天播种2x亩，
根据题意可列方程：5×2x+x=1200×12，
解得x=40，
∴A播种队每天播种40×2=80亩，
∴A播种队每天可播种80亩，B播种队每天可播种40亩；
（2）解：设A播种队单独播种m天，
∴A播种队播种80m亩，剩余1200−80m亩由B播种队完成，
∴B播种队共播种1200−80m40=30−2m天，
∴根据总费用可列方程：0.8m+0.530−2m=13.6，
解得m=7．
∴A播种队单独播种7天．
15．(1)9天
(2)甲队0.4万元，乙队0.2万元
【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，熟练掌握工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”的关系，准确根据工作量、费用的等量关系建立方程是解题的关键．
（1）把工程总量设为单位“1”，先计算甲单独做5天的工作量，再用剩余工作量除以甲乙合作的工作效率，得到合作所需天数；
（2）设乙工作总天数为未知数，根据“甲单独做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量1”列方程求工作天数，再设甲每天施工费为未知数，结合总费用列方程求解．
【详解】（1）解：设还需要x天完成，则
120×5+120+130x=1，
14+112x=1，
112x=34，
x=9，
答：还需要9天才能完成．
（2）解：设乙工作总天数为y天，则甲工作天数为23y天．
130y+120×23y=1，
130y+130y=1，
230y=1，
115y=1，
y=15，
甲工作天数：23×15=10（天）
设甲每天施工费为m万元，则乙每天施工费为12m万元．
10m+15×12m=7，
10m+7.5m=7，
17.5m=7，
m=0.4，
乙每天施工费：12×0.4=0.2
答：甲工程队每天施工费0.4万元，乙工程队每天施工费0.2万元．
16．(1)5天
(2)甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．
（1）根据题意列方程，再解方程即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设乙队还需要完成任务的天数为x天，
根据题意得，410+4+x15=1，
解得x=5．
答：乙队还需要完成任务的天数为5天．
（2）解：根据题意得，甲队所得报酬为10×410=4（万元），
乙队所得报酬为10×4+515=6（万元）．
答：甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元．
17．(1)−8；−2
(2)n=4
(3)t=187或t=6或t=9011
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，正确理解“n倍点”的定义是解题的关键．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）求出PA，PB的值，再根据“n倍点”的定义可得答案；
（3）可求出点P运动到点C的时间为6秒，点Q运动到点C的时间为12秒，点P从点C运动到点A的时间为6秒，则点P和点Q同时停止运动；分两种情况，当0≤t≤6时，点P表示的数为−8+3t，点Q表示的数为−2+t，当6112，
所以小红家用水量超过30立方米．
则70+42+5.0x−30=119
解得x=31.4
答：小红家11月份用水量为31.4立方米．
（3）解：小刚家11月份应交水费为：70+42+5.0x−30=5x−38（元）．
43．(1)0.52，0.62
(2)小明家这个月用电量是300千瓦时．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据小明家7，8月的用电量及电费，可列出一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设小明家这个月用电量是x千瓦时，求出月用电量是280千瓦时的应交电费，将其与172元比较后，可得出x>280，根据小明家9月应交电费是172元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：180a=93.6，
解得：a=0.52，
93.6+260−180b=143.2，
解得：b=0.62，
故答案为：0.52，0.62；
（2）解：设小明家这个月用电量是x千瓦时，
∵180×0.52+280−180×0.62=155.6（元），172>155.6，
∴x>280，
根据题意得：180×0.52+280−180×0.62+0.82x−280=172，
解得：x=300，
答：小明家这个月用电量是300千瓦时．
44．(1)8，18；
(2)4a−10元；
(3)该户居民4月份用水13立方米
【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．
（1）1月份用水4m3，则按第一档缴费；2月份用水7m3，则按第二档缴费；
（2）由于3月份用水量am3(其中59，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：1月份用水4m3，不超过5m3，水费为4×2=8（元）；
2月份用水7m3，超过5m3不超出9m3，水费为5×2+7−5×4=10+8=18（元）；
故答案为：8，18；
（2）解：∵526，
∴x>9．
根据题意，得5×2+9−5×4+6x−9=50．
解得x=13．
答：该户居民4月用水13m3．
45．从甲团队抽调了36人，从乙团队抽调了32人去制造小马玩偶
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了x人，则从乙团队抽调了(x−4)人，列出方程求解．
【详解】解：设从甲团队抽调了x人，则从乙团队抽调了(x−4)人，由题意得
44−x=13(60−x)，
解得x=36．
则乙团队抽调的人数为x−4=36−4=32(人)．
答：从甲团队抽调了36人，从乙团队抽调了32人去制造小马玩偶．
46．(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人
(2)租用7辆70座客车合算
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是45x+40人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量；
（2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算．
【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是45x+40人，
依题意得：45x+40=70x−3，
解得：x=10，
∴45x+40=45×10+40=490．
答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人；
（2）解：租用45座客车所需费用为290×10+1=3190（元），
租用70座客车所需费用为450×10−3=3150（元）．
∵3190>3150，
∴租用7辆70座客车合算．
47．3条船，36人
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该班租了x条船，
根据题意得：9(x+1)=12x，
解得：x=3，
∴该班一共有教师和学生:12×3=36人，
答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人．
48．10千克
【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为1:10，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量．
【详解】解：药液与水的质量比为1:10，则药液与药水的质量比为1:1+10=1:11，
设需要药液质量为x千克，则药水质量为11x千克，
由题意，11x=110，
解得x=10．
答：需要10千克的这种药液．
49．(1)41
(2)m+2，m+8，m+15
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
（1）根据图形的数字列式计算即可；
（2）设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为m+2，m+8，m+15；
（3）令m+m+2+m+8+m+15=105，解得m=20，由日历表即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，得4+6+12+19=41，
答：Y形框框中的这四个数字之和为41，
故答案为：41；
（2）解：设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为m+2，m+8，m+15；
（3）解：不能，理由如下：
假设用Y形框框住四个数的和能为105，
则由（2）可得m+m+2+m+8+m+15=105，
解得m=20，
∴要求框出的四个数中最小的是20，由图可知，不能框出这样的四个数．
50．(1)y=x+1，z=x+7，t=x+8
(2)所圈出的四个数的和能等于100，见解析
【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）观察图可得y比x大1，z比x大7，t比x大8，由此即可得；
（2）参考（1）的结果，建立方程，解方程求出x的值，则可得y,z,t的值，再进行检验即可得．
【详解】（1）解：由图可知，y=x+1，z=x+7，t=z+1=x+7+1=x+8．
（2）解：由题意得：x+x+1+x+7+x+8=100，
解得x=21，
则y=21+1=22，z=21+7=28，t=21+8=29，
经检验，在2025年10月的月历表中，可以圈出这四个数，
所以圈出的四个数的和能等于100．
51．(1)能，这五个数中最小的数为2
(2)115
【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，掌握日历中的规律是解题的关键．
（1）设中间的数为x，则其它4个数为x−8、x−6、x+8、x+6，列方程即可求解；
（2）设中间的数为a，则其它4个数为a−8、a−6、a+8、a+6，当a+8=31时，即可求解．
【详解】（1）解：能；
设中间的数为x，则其它4个数为x−8、x−6、x+8、x+6，由题意得
x−8+x−6+x+8+x+6+x=50，
解得x=10，
∴ x−8=10−8=2，
这五个数中最小的数为2；
（2）解：设中间的数为a，则其它4个数为a−8、a−6、a+8、a+6，
2025年12月份最大的一天是31号，
∴a+8=31，
解得a=23，
a−8+a−6+a+8+a+6+a
=5a
=5×23
=115；
故用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是115．
52．(1)c=19
(2)他的说法是错误的，理由见解析
【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，理解题意并列出方程是解题的关键．
（1）根据月历的特点化简条件式即可；
（2）列方程求解即可得到结论．
【详解】（1）解：根据月历的特点可知，b=c−1，a=b+7=c+6，d=c+1，e=d−7=c−6，
∴a+b+c+d+e=c+6+c−1+c+c+1+c+6=5c=95，
解得：c=19；
（2）解：由（1）知，当5c=121时，c=1215不是整数，此种情况不存在，
∴他的说法是错误的．
53．大和尚有25人，小和尚有75人
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有100−x人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有100−x人，根据题意，可列方程：
3x+100−x3=100，
整理得：8x=200，
解得：x=25
小和尚的人数是100−x=75（人），
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
54．
和尚人数为624人，饭碗208只，汤碗156只．
【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解．
设和尚人数为x，则饭碗数为x3，汤碗数为x4，总碗数为364，列出方程求解x，再计算碗的数量即可．
【详解】解：设和尚人数为x，则饭碗数为x3，汤碗数为x4，
由题意得x3+x4=364，
方程两边同乘12，得4x+3x=4368，
即7x=4368，
解得x=624，
则饭碗数为6243=208（只），
汤碗数为6244=156（只），
答：和尚人数为624人，饭碗208只，汤碗156只．
55．20人，6辆车
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设共有x辆车，根据“每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有x辆车，
∵每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐，
∴总人数为4x−1，
∵每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，
∴总人数为2x+8，
∴4x−1=2x+8，
解得x=6，
∴车有6辆，
∴人数为46−1=20．
答：共有20人，6辆车．
56．木长6.5尺
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键．
设木长x尺，则绳子长为x+4.5尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可．
【详解】解：设木长x尺，则绳子长为x+4.5尺，
由题意得x+4.52+1=x，
解得x=6.5．
答：木长6.5尺．
题型分类
核心等量关系/模型
解题关键要点
一、和差倍分问题
"比"、"是"、"等于"等词建立关系
关键：找准"基准量"
易错：将"多/少"的关系列反
二、数字问题
两位数 = 十位数字×10 + 个位数字
关键：区分"数字"与"数"
易错：数位变化时混淆位置
三、比赛积分问题
总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分
关键：用总场次表示另一种场次
易错：忽略非负整数条件
四、工程问题
工作量 = 工作效率 × 工作时间
常设总工作量为"1"
关键：明确实际工作时间
易错：合作时时间计算错误
五、行程问题
路程=速度×时间
相遇：路程和=总路程
追及：路程差=初始距离
关键：画线段图分析，统一单位
易错："提前"、"晚到"理解错误
六、销售盈亏问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = (利润 / 进价) × 100%
关键：理清五者关系
易错：利润率分母用错
七、方案选择问题
分别计算各方案费用表达式，比较或求临界点
关键：设同一变量表示两种方案
易错：遗漏方案，临界点判断错误
八、配套问题
甲:乙 = 配套比例
例：螺母数 = 2 × 螺钉数
关键：按比例表示需求总量
易错：将配套比例关系列反
九、动点问题
路程 = 速度 × 时间。 t秒后位置：起点 ± 速度×时间 (注意方向)。
关键：用时间t统一表示各动点位置，根据“相遇”、“追及”、“距离为定值”列式。 易错：混淆“位置”与“距离”，方向处理错误。
十、几何问题
周长、面积、体积公式。 例：长方形周长=2(长+宽)，面积=长×宽。
关键：设未知量，用公式建立方程。 易错：单位不统一；形状变化时抓不住不变量。
十一、阶梯收费问题 (水电费等)
总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + …。 模式：固定部分 + 超出部分 × 新单价。
关键：先判断用量所属区间，再分段列式。 易错：未判断区间直接列方程，导致单价用错。
十二、比例分配问题
总量 = 各部分之和。 设一份为x，则各部分为a₁x, a₂x, a₃x…。
关键：用比例系数设未知数，简洁明了。 易错：混淆“按比例分配”与“已知部分求比例”。
十三、日历问题
同行相邻数差1，同列相邻数差7。 方框中，对角线数字和相等。
关键：用最小数x表示方框内所有数。 易错：表示日历数字时行列规律应用错误。
十四、古文化问题 (盈不足等)
将古文翻译为数学等式。
典型模型：人数×出钱数 ± 盈不足数 = 总物价。
关键：准确理解“盈”（多）、“不足”（少）、“适足”（刚好）的含义。 易错：古文理解偏差导致等量关系错误。
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
10
10
40
项目式学习：如何设计宣传牌？
素材1
如图1是长方形宣传牌，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字；中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍；四周空白部分的宽度相等．
素材2
如图2，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等．
素材3
如图3，每个长方形栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为1:2．
如何设计班级菜地？
素材1
如图1是长方形菜园，长5m，宽3m．
（1）中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍．
（2）四周过道部分的宽度相等
素材2
如图2，为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等
素材3
每垄菜地的长比宽多30cm．
问题解决
任务1
分析数量关系
设过道宽度为xm，用含x的代数式表示种植区域的长与宽．
任务2
确定过道宽度
求过道宽度x的值
任务3
确定每垄菜地的大小
求每垄菜地的长与宽
速度（千米/小时）
时间（小时）
路程（千米）
顺流
x
逆流
x
所列方程
进价（元/千克）
售价（元/千克）
苹果
6
9
金桔
8
12
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐单数
−5
+3
−6
0
+6
+8
+14
方式一
使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券．
方式二
现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部a折．
收费方式
居民生活用气阶梯气量（立方米/年）
目前执行价格
第一阶梯
0-300（含300）的部分
1.5元/立方米
第二阶梯
300-400（含400）的部分
1.8元/立方米
第三阶梯
400以上的部分
2.25元/立方米
用水量（立方米）
单价（元/立方米）
不超过20立方米的部分
3.5
超过20立方米但不超过30立方米的部分
4.2
超过30立方米的部分
5.0
每户每月用电量
电价（元/千瓦时）
不超过180千瓦时的部分
a
180千瓦时至280千瓦时的部分
b
超过280千瓦时的部分
0.82
用电量（千瓦时）
电费（元）
7月
180
93.6
8月
260
143.2
价目表
每月用水量
价格
不超过5m3
2元/m3
超出5m3不超出9m3的部分
4元/m3
超出9m3的部分
6元/m3
速度（千米/小时）
时间（小时）
路程（千米）
顺流
27+3=30
x30
x
逆流
27−3=24
x24
x
所列方程
x24−x30=0.5