河北雄安新区2025-2026学年第一学期高二期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份河北雄安新区2025-2026学年第一学期高二期末考试数学试题（试卷+解析），共23页。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列，则是这个数列的（ ）
A. 第23项B. 第24项C. 第25项D. 第26项
4. 已知双曲线的上、下焦点分别为，点在双曲线上，若，则（ ）
A. 4B. 16C. 5或13D. 4或14
5. 如图，在平行六面体中，点为与交点．若，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列的前项和为，若，，，则使成立的最小的的值是（ ）
A. 19B. 20C. 21D. 22
7. 已知抛物线上有一动点为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
8. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ）
A. 25B. 27C. 29D. 31
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点在线段上
B. 当时，不存在点使得
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当时，有且仅有一个点使得平面
11. 已知点是抛物线的焦点，不经过原点的直线与抛物线相交于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若直线过点，则的最小值为8
B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为
C. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内
D. 若，线段的中点为，则点到轴的距离的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等比数列中，，则______．
13. 实数满足，则的取值范围为______．
14. 如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上两点，，且，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2；
（2）过点，渐近线方程为．
16. 已知圆经过点和，且圆心直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过原点作圆的切线，求直线的方程；
（3）求直线被圆所截得的弦长．
17. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求数列前104项的和．
18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，，点为线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）点在棱上，且直线与底面所成的角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆标准方程；
（2）动直线与椭圆相交于两点，的中点为．
（i）求点轨迹方程；
（ⅱ）记点到轴的距离为，点是轴上的定点，直线的斜率为，直线的斜率为，若为定值，求点的坐标．
河北省雄安新区
2025－2026学年第一学期高二年级期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中点关于平面对称的规律，结合已知坐标求解．
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的规律是：
坐标保持不变，坐标变成原来的相反数，
已知点，则对称点的坐标为，故B正确．
故选：B．
2. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方程求解直线的斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系判断即可；
【详解】对于A，由，可知斜率，则倾斜角为钝角；
对于B，由，可知斜率，则倾斜角锐角；
对于C，由，可知倾斜角；
对于D，由，可知倾斜角．所以倾斜角最大的直线为．
故选：A．
3. 已知数列，则是这个数列的（ ）
A. 第23项B. 第24项C. 第25项D. 第26项
【答案】C
【解析】
【分析】令，即可解出答案；
【详解】由题设，令，可得，所以是这个数列的第25项．
故选：C．
4. 已知双曲线的上、下焦点分别为，点在双曲线上，若，则（ ）
A. 4B. 16C. 5或13D. 4或14
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线定义，结合已知条件，即可容易求得结果.
【详解】由题意有，由双曲线的定义可知，
且，所以，所以或5.
故选：C．
5. 如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量加减、数乘的几何意义用，，表示出，即可得.
【详解】由题意，
，
所以，即.
故选：B
6. 已知等差数列的前项和为，若，，，则使成立的最小的的值是（ ）
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】推导出，利用等差数列的求和公式判断的符号，即可得出结果.
【详解】因为等差数列的前项和为，若，所以，
因为，，所以使成立的最小的的值是20．
故选：B．
7. 已知抛物线上有一动点为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，垂足为，利用抛物线的定义得，注意等号成立条件，即可得.
【详解】将抛物线方程化为标准形式，得焦点，准线方程，
过点作，垂足为，作，垂足为，
根据抛物线定义，等于点到准线的距离，
所以，当且仅当三点共线时等号成立，
即直线垂直于准线时，有最小值，为点到准线的距离，
所以，故的最小值为11.
故选：C
8. 在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（ ）
A. 25B. 27C. 29D. 31
【答案】D
【解析】
【分析】通过已知条件先求出等比数列的首项和公比，从而得出等比数列的通项公式，令，再利用对数运算性质化简得出通项公式，对进行分类讨论，结合已知即可得出.
【详解】设的公比为，由，
则，
由，
所以，所以，
令，则，
记，
当为偶数时，，
无正整数解；
当为大于2的奇数时，
，由
，
解得，又为奇数，所以的最小值为31，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分“截距为”和“截距不为”两种情况，分别设直线方程，再代入点求出对应方程.
【详解】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即；
若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为，
此方程为，代入得，，整理得．
故选：AB
10. 如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点在线段上
B. 当时，不存在点使得
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当时，有且仅有一个点使得平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合条件判断点的位置，线线垂直，三棱锥体积，线面垂直；
【详解】由平面向量的基本定理易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，
所以，此时三点共线，即线段，故A正确；
对于B，当时，，设线段中点分别为，
则，所以点轨迹为线段，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，，
则，，
有，显然不成立，故B正确；
对于C，当时，，设线段中点分别为，故此时点轨迹为线段，
又，所以的面积不变，且点到平面的距离为定值，
所以该三棱锥的体积为，故C错误；
对于D，当时，由选项B分析可知点轨迹为线段．，，
所以，，，
若平面，所以，可得，
此时点存在且唯一，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知点是抛物线的焦点，不经过原点的直线与抛物线相交于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若直线过点，则的最小值为8
B. 若直线过点，点在第一象限，，则直线的倾斜角为
C. 若直线过点，则原点在以线段为直径的圆内
D. 若，线段的中点为，则点到轴的距离的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】设，联立方程组，求得，可判定A；根据抛物线的焦半径公式，求得，结合斜率和倾斜角的定义，可判定B；根据题中条件，以为直径的圆判定C；分析直线过抛物线的焦点和直线不过抛物线的焦点两种情况讨论可求得到轴的距离的最小值，判定D；
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设．
对于A，根据抛物线的定义，可得，，
则，设，联立方程组，
整理得，则，即，
所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为8，故A正确；
对于B，由抛物线的定义可得，解得，则．
因为点在第一象限，可得，即，所以，
设直线的倾斜角为，即，所以，故B错误；
对于C，由，，
有，故原点在以为直径的圆内，故C正确；
对于D，当直线过抛物线的焦点时，则，可得，
因为点是线段的中点，所以，所以点到轴的距离为4；
当直线不过抛物线的焦点时，可得，所以，解得．
因为点是线段的中点，所以，即点到轴的距离大于4．综上可得，所以点到轴的距离的最小值为4，故D正确．
故选:ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等比数列中，，则______．
【答案】
【解析】
分析】由等比数列下标性质即可计算求解.
【详解】由，可得．
故答案为：
13. 实数满足，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由的几何意义即可求解.
【详解】如图：
点为圆上一点，，
则表示线段的长度．
所以，
可得的取值范围为．
故答案为：
14. 如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上两点，，且，则椭圆的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【详解】如图，延长，交椭圆于点，连接．
设，由知且，由椭圆的定义可知．
又，所以，所以，
所以，由椭圆的定义可知．
因为，所以在中，由勾股定理得，
即①．
在中，由勾股定理得，
即，整理得．
将代入①式得，整理得，
所以离心率．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2；
（2）过点，渐近线方程为．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件列出方程求出双曲线的标准方程；
（2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论．
【小问1详解】
设双曲线标准方程为：，
，，
∴双曲线标准方程为．
【小问2详解】
由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，
代入点的坐标，有，可得．
即双曲线的方程为，化为标准方程为．
16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过原点作圆的切线，求直线的方程；
（3）求直线被圆所截得的弦长．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）设圆心，根据求得参数，进而得到圆的标准方程；
（2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据直线与圆相切求得直线的方程；
（3）根据直线与圆相交，几何法求解弦长；
【小问1详解】
设圆心，，，
解得，∴圆心，半径，
∴圆的标准方程为．
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，直线恰与圆相切；
当直线斜率存在时，设，即．
由圆心到直线的距离，可得，
则，即．
综上所述，直线的方程为或．
【小问3详解】
圆心到直线的距离为，
．
17. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求数列的前104项的和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，进而根据已知条件列方程求解即可；
（2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解即可；
（3）由的最小正周期为，故计算一个周期内的的和，再根据周期性求解即可.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，因为，
所以，化简得，解得，
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
解：由（1）知，得，
所以
．
【小问3详解】
解：因为的最小正周期为，
所以计算一个周期内的的和，
，，
，，
所以，
所以．
18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，且，，点为线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）点在棱上，且直线与底面所成的角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，通过两两垂直建系，设平面的一个法向量为，由即可证明；
（2）由点到面的距离公式即可求解；
（3）由线面夹角公式和面面夹角公式即可求解.
【小问1详解】
连接，因为，点为线段的中点，，
，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，所以，
因底面，底面，
所以，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，
因为点为线段的中点，所以，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，
则，即，
又因为平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
且平面一个法向量为，
所以点到平面的距离．
【小问3详解】
由题意知，底面的一个法向量为，设．
因为，
且，所以，
所以由题意得，
解得，所以，
因为，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
则，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线与椭圆相交于两点，中点为．
（i）求点的轨迹方程；
（ⅱ）记点到轴的距离为，点是轴上的定点，直线的斜率为，直线的斜率为，若为定值，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）（i）（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据题意直接求出，从而求得的方程；
（2）（i）设，联立直线与的方程，根据韦达定理，用表示出点的坐标，从而得到点的轨迹方程；
（ii）根据（i）列出，根据为定值，求出点的坐标.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为，由题意有，
解得．
故椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
（i）设．
由，得，
则，
则点的纵坐标为，横坐标为．
即，所以，
代入的表达式，得，整理得，
所以点的轨迹方程为．
（ii）由（ⅰ）可知．
设，则，
将代入上式，
分母为，
所以，
所以．
要使该表达式为定值，必须有，解得，
即点的坐标为．