河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试卷（含答案）

这是一份河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了 若直线与圆相离，则点， 已知方程，则等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程.
【详解】由题意，直线的斜率为，
又过点，故其方程为，即.
故选：B.
2. 椭圆与，且的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等
C. 焦距相等D. 离心率相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解.
【详解】对应椭圆，，所以，
所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为；
对于且），则，
该方程表示的是焦点在轴上的椭圆，
，所以，
长轴为，短轴为，
所以该椭圆的焦距为，离心率为，
所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确.
故选：C
3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，判断双曲线焦点位置，求出的值，即得双曲线方程.
【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且，，即，
利用可联立求得，
故双曲线的方程为：.
故选：D.
4. 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】如图，
，
又，
所以，则.
故选：C
5. 若直线与圆相离，则点（ ）
A. 在圆外B. 在圆内
C. 在圆上D. 位置不确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用点线距离公式及到的距离，即可判断点与圆位置关系.
【详解】由题意，到的距离，即，
所以在在圆内.
故选：B
6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值.
【详解】
如图，连接,因，则，
由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小，
最小值为,此时，的最小值为.
故选：B.
7. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值.
【详解】
如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，，
设，
则（*），
因点为的重心，则，即，
代入（*），可得，
因点在抛物线上，故，故，
依题，，解得.
故选：D.
8. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果.
【详解】因为底面平面，
所以
因为四边形为正方形，所以，
所以两两垂直，
所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
所以
，
因为，
所以当时，取得最小值；
当或1，或1时，取得最大值4.
故选：A
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知方程，则（ ）
A. 当时，方程表示椭圆
B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
C. 存在，使得方程表示两条直线
D. 存在，使得方程表示抛物线
【答案】BC
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，结合选项依次验证即可.
【详解】当且时，方程为，
若，即，此时方程表示圆；
若，即，
当或时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故A错误；
当时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故B正确；
当时，方程为，表示两条直线；
当时，方程为，表示两条直线；故C正确；
方程不可能表示抛物线，故D错误.
故选：BC
10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 点不可能在直线上
B. 直线恒过点
C. 若点到直线的距离相等，则
D. 直线上恒存在点，满足
【答案】ABD
【解析】
【分析】当时，即可判断A；将线方程可化为，即可判断B；利用点线的距离公式计算即可判断C；利用平面向量的坐标表示求出点的轨迹方程，证明点在圆的内部即可判断D.
【详解】A：当时，，所以点不可能在直线上，故A正确；
B：直线方程可化为，所以直线恒过定点，故B正确；
C：因为点到直线的距离相等，所以，解得或，故C错误；
D：设，则，
所以，
整理得，即点的轨迹方程为.
又直线恒过定点，且，所以点在圆的内部，
所以直线与圆恒有公共点，
即直线上恒存在点，满足，故D正确.
故选：ABD
11. 如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，是的中点，是线段上的动点，则（ ）
A. 存在，使得
B. 不存在点，使得
C. 的最小值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，E0,0,1，，，，
所以，，，
因为，则，方程无解，故不存在、使得，故A错误；
因为是线段上的动点，设，
所以，，
所以，所以不存在点，使得，故B正确；
因为，所以当时取得最小值，即，故C正确；
因为，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解.
【详解】依题意，，解得，
所以点的坐标为.
故答案为：
13. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线的距离.
【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即，
点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值，
又圆心到直线的距离.
故答案为：
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据蒙日圆定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可.
【详解】由题意得蒙日圆为，则，，
直线的方程为：，
联立得，
，
解得，，
所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.
【答案】（1）
（2）圆与圆相交.
【解析】
【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；
（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.
【小问1详解】
由，得，即圆心坐标为.
，
圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，圆的圆心为，半径.
圆的方程可化为，
则圆的圆心为，半径.
，
，
圆与圆相交.
16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；
（2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：，
，
.
，
，
.
平面，
平面，
又平面，
.
【小问2详解】
解：四边形是矩形，，
平面，平面，
，
所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，令，可得，
平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.
（1）求的方程；
（2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程；
（2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t，即可得结果.
【小问1详解】
是上一点，
，则，
由抛物线的定义，知，
，则，
的方程为.
【小问2详解】
由（1），知.
设直线，即，
代入，整理得，
，
，
又点到的距离为，
，
即，解得或（舍去），
直线的方程为，即.
18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.
（1）设向量为平面的法向量，证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；
（2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可；
（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.
【小问1详解】
如图，连接.
，
平面平面，平面平面平面，
平面.
是边长为2的等边三角形，.
以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，
.
是平面的一个法向量，令.
，
，
.
【小问2详解】
.
设平面的法向量为，
则
令，可得，
平面的一个法向量为，
点到平面的距离为.
【小问3详解】
.
设平面的法向量为，
则令，可得，
平面的一个法向量为.
由（2）可知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为..
19. 已知双曲线离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.
（1）求的方程；
（2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程；
（2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论；
（3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t，即可证结论.
【小问1详解】
设，连接.
是的中点，是的中点，
，
，则.
又.
，
的方程为.
【小问2详解】
设且
的中点为，则，
是上的两点，①，②，
①②，得，即，
即，可得，
，直线与直线的斜率之积为定值3.
【小问3详解】
易知，且不关于轴对称，
直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入，整理得，
，
，
，解得或（舍去），
直线过定点.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法找到之间坐标关系，第三问，设直线并联立双曲线，应用韦达定理和向量垂直坐标表示求参数.