云南省迪庆藏族自治州2025-2026学年上学期期末教学质量检测高二数学试题（原卷+解析）

这是一份云南省迪庆藏族自治州2025-2026学年上学期期末教学质量检测高二数学试题（原卷+解析），共21页。试卷主要包含了试卷满分150分．考试时间， 已知为角终边上一点，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人信息是否一致．
2.客观题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．主观题用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷和草稿纸上作答，答案无效．
3.试卷满分150分．考试时间：120分钟，考试结束，监考员将答题卡收回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A. 1B. C. D. 2
3. 数列的前n项和，则（ ）
A. 140B. 120C. 40D. 50
4. 已知为角终边上一点，则（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知圆锥的母线长为5，高为4，底面半径，该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 若点在抛物线上，且为第一象限内的点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 或D. 不存在
8. 已知等差数列的前项和为，若且三点共线（该直线不过原点），则
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在中，角的对边分别为．若，，，则
B. 若，，且，则的最小值为9
C. 若，则为第一象限角
D. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7
10. 正方体的棱长为1，点是棱的中点，则（ ）
A. 平面
B. 与所成的角为
C.
D. 过点的平面截该正方体所得的平面图形为正方形
11. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 若直线与圆相切，则
D. 圆上点到直线的最大距离为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则______．
13. 如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有，的式子表示）．
14. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中，并解答．
问题：等差数列的公差为，且，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和取得最小值时的值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
16. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.
（1）根据频率分布直方图，求的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；
（3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率.
17. 已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积．
18. 已知函数．
（1）求；
（2）求单调递增区间；
（3）设的内角所对的边分别为，若，，，求的面积．
19. 如图，是直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由．
迪庆州2025－2026学年秋季学期期末教学质量检测
高二数学试题
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人信息是否一致．
2.客观题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．主观题用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷和草稿纸上作答，答案无效．
3.试卷满分150分．考试时间：120分钟，考试结束，监考员将答题卡收回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义计算作答.
【详解】直线的斜率，设此直线倾斜角为，显然，
则有，解得，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
2. 已知双曲线的方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线的标准方程得，由此可得双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线的方程为，
所以，
故双曲线的离心率为.
故选：C
3. 数列的前n项和，则（ ）
A. 140B. 120C. 40D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】根据的关系即可求解.
【详解】由可得，
故选：C
4. 已知为角终边上一点，则（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先求出正切值，再根据同角的三角函数关系求解即可.
【详解】由为角终边上一点，得，
故.
故选：A
5. 已知圆锥的母线长为5，高为4，底面半径，该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由母线和高，确定底面半径，再由表面积公式即可求解.
【详解】因为圆锥的母线长为5，高为4，
则，可得，
所以圆锥的表面积为，
故选：B
6. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．
【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，
则，
电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，
、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率为.
故选：C.
7. 若点在抛物线上，且为第一象限内的点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 或D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线定义可求得，即可求解.
【详解】由题可得，，解得，
又因点在第一象限内，从而可得，
所以直线的斜率为，故B正确.
故选：B.
8. 已知等差数列的前项和为，若且三点共线（该直线不过原点），则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：因为三点共线，所以，故，选A.
考点：1.向量中，三点共线性质；2.等差数列的前项和公式.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在中，角的对边分别为．若，，，则
B. 若，，且，则的最小值为9
C. 若，则为第一象限角
D. 数据1，2，4，5，6，7，8，9第75百分位数是7
【答案】AB
【解析】
【分析】A根据余弦定理得；B利用基本不等式求；C根据三角函数的符号判断；D根据百分位数的定义求.
【详解】由余弦定理得，，
因为，所以，故A正确；
由题意得，，
等号成立时，故B正确；
若，则为第一象限角或第三象限角，故C错误；
共个数，且，则第75百分位数是，故D错误.
故选：AB
10. 正方体的棱长为1，点是棱的中点，则（ ）
A. 平面
B. 与所成的角为
C.
D. 过点的平面截该正方体所得的平面图形为正方形
【答案】AC
【解析】
【分析】对于Ａ，易得，再根据线面平行的判定即可判断；对于B，根据异面直线所成角的概念求解即可；对于C，由，结合三棱锥体积公式计算即可判断； 对于D，取的中点，连接，，易证四点共面，即过的平面截该正方体所得的平面图形为四边形，接着即可判断．
【详解】对于A，如图，在正方体中，，

所以，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为，所以或其补角为与所成的角，
连接，易知为等边三角形，所以，故B错误；
对于C，，
由正方体性质可知三棱锥的高为，
则，故C正确；
对于D，取的中点，连接，，
因为，，
所以，则四点共面，
所以过的平面截该正方体所得的平面图形为四边形，
又，所以四边形为平行四边形，
易知，，所以平行四边形不是正方形，故D错误．
故选：AC．
11. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 若直线与圆相切，则
D. 圆上的点到直线的最大距离为7
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简直线为，可判断A正确；利用圆的弦长公式，可判断B正确；由圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，求得的值，可判断C不正确；求得圆心到直线的距离的最大值，结合圆的性质，可判断D正确.
【详解】对于A，由直线，可得，
可得直线恒过定点，所以A正确；
对于B，由圆，可得圆心，半径为，
则圆心到轴的距离，所以弦长为，所以B正确；
对于C，若直线与圆相切，则满足，即，
解得，所以C不正确；
对于D，由圆的圆心为，直线恒过定点，可得，
当直线与垂直时，此时圆心到直线的距离取得最大值，最大值为，
又因为圆的半径为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由列式计算即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
即，解得，
所以.
故答案：.
13. 如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有，的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】先求出向量表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出.
【详解】，因为是的中点，
所以，但，而，
所以.
故答案为：
14. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合指数函数单调性可得，去绝对值可得，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】因为，即，
且在定义域内单调递增，可得，
且，则，可得，
原题意等价于对，恒成立，
又因为，则，可得，解得且，
可知在内的最小值为1，可得且，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中，并解答．
问题：等差数列的公差为，且，______．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和取得最小值时的值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】第(1)问：先从已知的和式推导出首项与公差的关系式，再结合所选条件解出首项和公差，从而得到数列的通项公式；
第(2)问：根据通项公式分析数列项的正负变化，找到最后一个非正项的位置，从而确定前项和取得最小值时的值.
【小问1详解】
由，得，则；
若选①，则，解得，
故，；
若选②，则由，可得，
得，代入解得，
故，；
若选③，则由，可得，
即，可得，
故，.
【小问2详解】
由(1)知，，，数列是递增数列．
由，得，又，当时，，
当时，，
∴当时，取得最小值．
16. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.
（1）根据频率分布直方图，求的值；
（2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；
（3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；
（2）由中位数的求法，结合直方图求解即可；
（3）根据分层抽样的各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【小问1详解】
由图知：，可得.
【小问2详解】
由，
所以中位数在之间，设中位数为，那么，
解得，所以中位数为86.
【小问3详解】
设在中抽取的2人分别为；在中抽取的3人分别为；
从这5人中随机抽取2人，则样本空间为：
，共有10个基本事件
设选取的2人评分均在内为事件，
则中包含3个基本事件，所以.
17. 已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程；
（2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解.
【小问1详解】
由已知可得，化简可得，
，
则椭圆方程为；
【小问2详解】
设，，
由已知可得直线，即，
联立直线与椭圆，消去可得，
则，，
则，
又点到直线的距离，
所以；
18. 已知函数．
（1）求；
（2）求的单调递增区间；
（3）设的内角所对的边分别为，若，，，求的面积．
【答案】（1）1 （2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）把化简成正弦型函数，再把代入即可；
（2）利用正弦型函数的单调性即可求出；
（3）根据已知条件求出，再利用余弦定理求出的值，最后利用面积公式即可求出.
【小问1详解】
，
，
所以．
【小问2详解】
令，，解得，，
所以单调递增区间为，．
【小问3详解】
已知，则，
即；
因为，则，
在这个区间内，解得，
依据余弦定理，可得，
即，解得或；
当时，根据三角形面积公式，可得，
当时，根据三角形面积公式，可得
19. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可；
（2）根据线面角概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出的边长即可得解；
（3）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定.
【小问1详解】
因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以，
又是的直径，点是圆周上的点，所以，
因为，平面，
所以平面．
【小问2详解】
由（1）可知平面，
所以即为直线与平面所成角的平面角，
因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以，
又因为，，所以，
因为，所以，
所以在中，
因为平面，所以，
在中，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【小问3详解】
在线段上存在点，使得平面，且，
理由如下：
取的三等分点为（靠近），在中过点作，，
则，且，
因为是中点，是中点，所以，且，
又，所以，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面,
故线段上存在点，使得平面，且.