深圳南山区2025~2026学年高二上期末数学试题+答案（word版+pdf版）

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1. 已知直线 l 经过点 2,3 和点 3,0 ,则 l 的倾斜角为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
2. 已知向量 a=1,1,0 ， b=−1,0,2 ，若向量 a+kb 与 b 垂直，则 k=
A. −15 B. 15 C. -2 D. 2
3. 记函数 fx=ax2−3x 的导函数为 f′x ,若 f′1=1 ,则 a=
A. -1B. 12 C. 1 D. 2
4. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,若 S4=30 ,且 a3+a5=24 ,则 a6=
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
5. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 的离心率为 e ,若 C 的一条渐近线的斜率为 k ,且 e2+k2=3 ,则 C 的渐近线方程为
A. x±y=0 B. x±2y=0 C. x±3y=0 D. x±2y=0
6. 在等比数列 an 中,已知 a1=3 ,且 4a3−a2=a4 ,若 bn+1=an−bn ,记数列 bn 的前 n 项和为 Sn 则 S10=
A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023
7. 在三棱台 ABC−A′B′C′ 中， AB=BC=BCB′=2,A′B′=1 ，且 ∠ABC=π2 ，若 BB′⊥ 平面 ABC ， 则点 B′ 到直线 A′C 的距离为
A. 22 B. 5 C. 3D. 223
8. 设 F 为曲线 C:x2−4y=0 的焦点， P 为 C 上的动点，过点 E1,4 的直线与 C 相交于 A,B 两点， 记线段 AB 的中点为 M ,则 PM+PF 最小值为
A. 7716 B. 398 C. 5 D. 7
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, P,Q,R 分别为棱 AB1,AC,AD1 的中点,设 AP=a , AQ=b,AR=c ,则
A. BD1⊥AC1
B. {a,a+b,b−c} 可以作为空间中的一组基底
C. 若 AS=2a−4b+3c ,则 P,Q,R,S 四点共面
D. AC1=2a+2b+2c
10. 在数列 an 中满足 a1=1,a20 交于 P,Q 两点，且 PQ=a ，则 C 的离心率为_____.
14. 已知函数 fx=csπx+14x+2 ，且 f12025+f22025+⋯+f20242025=506c ，则实数 c 的值为_____；若 a+b=c ，且 a≥b≥0 ，则 fa+bfb+a 的取值范围为_____.(第一空2分， 第二空 3 分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数 fx=ex−x2 ，
(1)求曲线 y=fx 在点 1,e−1 处的切线方程；
(2)若函数 gx=ex−x−fx ，且经过点 1,−4 的直线 l 与曲线 y=gx 相切，求 l 的方程.
16.(15分)
已知过点 D1,0 的直线 l 与抛物线 C:y2=2pxp>0 交于两点 A,B ，且 OA⋅OB=−3 .
(1)求 p 的值；
(2)点 E 的坐标为 −1,1 ，且 ∠AEB=π2 ，求 l 的方程.
17. (15分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PD⊥ 平面 ABCD ， AB//DC ， BC=CD=AD=2 ， AB=4 ，
(1)证明: PA⊥BD ；
(2)若 P,B,C,D 均在球 O 的球面上，且球 O 的表面积为 25π .
(i) 求 PD 的长:
(ii)求平面 PAB 与平面 ABC 夹角的余弦值.

(第 17 题图)
18. (17 分)
记数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1+2−1a2+⋯+2−n+1an=3nn∈N∗ .
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明: SnSn+1≥12−13×2n ；
(3)若 bn=3n−2n∈N∗ ，现将 an 中的第 b1 项，第 b2 项，第 b3 项， ⋯ ，第 bn 项移除，余下的项按原顺序组成一个新的数列 cn ,记 cn 的前 n 项和为 Tn . 已知任意 n∈N∗ ， λT2n≥T2n+1 ，求实数 λ 的最小值.
19.(17分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为4，且 C 的离心率为 63 .
(1)求 C 的标准方程；
(2)设 C 的右焦点为 F ，经过点 P3,0 且斜率非零的直线与 C 交于 M ， N 两点，且 M 在线段 PN 上.
(i) 证明: 直线 FM,FN 的斜率之和为 0 ;
(ii) 若 ∠FMN=5∠FNM ，求直线 MN 的斜率.
高二数学参考答案
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
8. 设 F 为曲线 C:x2−4y=0 的焦点, P 为 C 上的动点,过点 E1,4 的直线与 C 相交于 A , B 两点,记线段 AB 的中点为 M ,则 PM+PF 最小值为
A. 7716 B. 398 C. 5 D. 7
解析: 设过点 E1,4 的直线方程为: y=kx−1+4 ,且 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
联立方程 y=kx−1+4,x2−4y=0, 得 x2−4kx+4k−16=0 ,
∴x1+x2=4k,∴M2k,2k2−k+4 ,
易知 C 的焦点为 F0,1 ,准线方程为 y=−1 ,
∴PM+PF=PM+PN≥MN=2k2−k+4−−1=2k−142+398 ,
不难知道当 k=14 时, PM+PF 最小值为 398 ,应选 B.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
11. 已知圆 C:x2−2λx+y2−4λy+4λ2=0 ,直线 l:kx−y=0 ,动点 P 在 l 上,且动点 A , B 在圆 C 上,则
A. 圆心 C 在一条定直线上
B. 若 CP 的最小值恰为 λ ,则 k=34
C. 当 k=λ+2 时, l 被圆 C 截得的弦长可以为 k2+2
D. 若 ∠APB=60∘ ,则 k∈−∞,−43∪[0,+∞)
解析: 对于选项 A,C 的标准方程为: x−λ2+y−2λ2=λ2 ,
易知圆心 Cλ,2λ 在定直线 y=2x 上,选项 A 正确;
对于选项 B，若 CP 的最小值恰为 λ ，则 C 到 l 的距离为 λ ，
∴kλ−2λk2+1=λ ,解得 k=34 ,选项 B 正确.
对于选项 C ,当 k=λ+2 时,易知 Cλ,2λ 到直线 l:kx−y=0 的距离为 kλ−2λk2+1=λ2k2+1 , 此时,若 l 被圆 C 截得的弦长为 k2+2 ,
则 k2+222+λ2k2+12=λ2 ,即 k2+24+λ4k2+1=λ2 ,
∵k2+24+λ4k2+1≥2k2+24×λ4k2+1>λ2 ,
∴k2+12+λ4k2+1=λ2 不可能成立,选项 C 错误;
对于选项 D ,当 l 和圆 C 有公共点时,即 kλ−2λk2+1≤λ ,解得 k≥34 ,
此时显然存在动点 P,A,B ,使得 ∠APB=60∘ ;
当 l 和圆 C 没有公共点时,易知 k0 的焦距为4,且 C 的离心率为 63 .
(1)求 C 的标准方程；
(2)设 C 的右焦点为 F ，经过点 P3,0 且斜率非零的直线与 C 交于 M ， N 两点，且 M 在线段 PN 上.
(i) 证明: 直线 FM,FN 的斜率之和为 0 ;
(ii) 若 ∠FMN=5∠FNM ,求直线 MN 的斜率.
解: (1) 由已知得 a2−b2=2,a2−b2a=63 , 2 分 ∴a=6,b=2,C 的方程为 x26+y22=1 . 4 分
(2) (i) 由(1)可知 F2,0 ,设 Mx1,y1,Nx2,y2,MN:x=my+3 ,
由 x26+y22=1,x=my+3, 得 m2+3y2+6my+3=0 , 6 分
∵Δ=36m2−12m2+3=24m2−36>0,∴m>62 或 m