四川省绵阳市2025-2026学年高二（上）期末数学复习试卷（一）

这是一份四川省绵阳市2025-2026学年高二（上）期末数学复习试卷（一），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.扶贫结对中，5名爸爸各带1名孩子去农村参加帮扶和体验生活(5个孩子中3男2女).村委会需要安排1名爸爸带3个孩子去完成某项任务，要求男孩小亮和爸爸有且仅有1人前往，男孩小明和爸爸始终在一起，且2个女孩中至少要选1个女孩，则不同的安排方案的种数是( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
2.已知直线l1：x− 2y=0，l2：ax−2y−1=0，若l1//l2，则a=( )
A. −2 2B. − 2C. 2D. 2 2
3.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，且|MF|=5，则点M的横坐标为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.动圆P过定点M(0,2)，且与圆N：x2+(y+2)2=4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A. y2−x23=1(y0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为ab的直线与C的右支交于点P，点M满足2F2M=F2P+F2F1，且F2M⊥F1P，则C的离心率为( )
A. 53B. 32C. 2D. 3
6.下列结论正确的是( )
A. 抛物线y=2x2的焦点坐标为(12,0)
B. 双曲线x216−y28=1与y2−x22=1有相同的渐近线和离心率
C. 经过(3,2)的等轴双曲线的两个焦点坐标为( 10,0)和(− 10,0)
D. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量n=(−2,0,23)，则直线l/​/α
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1，D，E，F分别是棱AB，A1B1，AC的中点，则异面直线DB1与EF所成角的余弦值是( )
A. 12
B. 35
C. 45
D. 910
8.已知点P(−2,−3)在以C(1,1)为圆心的圆C外，且圆C上的动点到点P距离的最小值为2，直线OP与圆C交于A、B两点(其中点O为坐标原点)，点Q(x,y)在劣弧AB上运动，则|x−2y−4|+2x−3y−2的最小值为( )
A. 2+3 2B. 2−3 2C. 1+3 2D. 1−3 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，则下列说法正确的是( )
A. DE=12AB−AD+12AP
B. 异面直线DE与PC间的距离为 2814
C. 点C到直线DE的距离为 63
D. 点E到平面PCD的距离为 22
10.已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，准线为l，A，B是C上异于点O的两点(O为坐标原点)则下列说法正确的是( )
A. 若A、F、B三点共线，则|AB|的最小值为2
B. 若|AF|=32，则△AOF的面积为 24
C. 若OA⊥OB，则直线AB过定点(2,0)
D. 若∠AFB=60°，过AB的中点D作DE⊥l于点E，则|AB||DE|的最小值为1
11.某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为1,2,3的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为5:6:9，三个箱子中白球所占的比例分别为90%，95%，96%，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件Ai=“此球来自编号为i的箱子”(i=1,2,3)，事件B=“顾客获奖”，则( )
A. PBA2=16B. P(B)=0.058C. PA1=0.25D. PA1B=2558
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线x−2y−2k=0与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是 ．
13.已知圆锥P−O1的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥P−O2的高为2.设M和N分别为圆O2和圆O1圆周上的两点，当直线MN与圆锥P−O1底面所成角的大小不超过30°时，线段MN长度的取值范围是 ．
14.随机变量X的概率分布为P(X=n)=an2+n(n=1,2,3)，其中a是常数，则DaX= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地区有小学生9600人，初中生8600人，高中生4500人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前15%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在[60,70)内的平均成绩为66，方差是9，落在[60,80)内的平均成绩是72，方差是27，求落在[70,80)内的平均成绩和方差．
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：m，x1−，s12；n，x2−，s22，记两组数据总体样本平均数为w−，则总体样本方差s2=mm+n[s12+(x1−−w−)2]+nm+n[s22+(x2−−w−)2]．
16.(本小题15分)
已知动点P到点F( 3,0)的距离与它到直线l:x=4 33的距离的比值为 32，记P的运动轨迹为曲线E．
(1)求E的方程．
(2)设M，N是E与x轴的交点，Q是E上异于M，N的一点，直线MQ，NQ的斜率分别为k1，k2.证明：k1k2为定值．
(3)已知O为坐标原点，点A( 3,12)，B，C是E上异于A的两点，若直线AB与AC的斜率之和为− 3，求△OBC的面积的最大值．
17.(本小题15分)
现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为X1(万元)，根据市场分析，X1的概率分布列为
投资B项目100万元，一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整(价格上调或下调)有关.已知产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p(0≤p0,b>0)，C的左右顶点分别为A，B，右焦点F( 5,0)，离心率e= 5．
(1)求双曲线C的方程及其渐近线方程;
(2)过点D(2,0)的直线l1交双曲线C于E，H两点(点E在第一象限)，记直线AE斜率为k1，直线BH斜率为k2，求k1k2的值;
(3)过圆O:x2+y2=b23上的点Q(x0,y0)作圆O的切线l2，交双曲线C于M，N两点，点P为弦MN的中点，证明：|MN|=2|OP|
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查其它组合问题，考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于一般题。
根据题意利用两个计数原理分析讨论即可求解。
【解答】
解：此题可以从爸爸是否被选上进行分类讨论：
1.小亮的爸爸被选上，那小亮不能参加，小明也不能参加，剩下的一个男孩和两个女孩都被选上了，共1种情况；
2.小明的爸爸被选上，则小明肯定得参加，小亮也肯定参加，则两个女孩中选一个女孩，共C21种；
3.从其余爸爸中选一名(有C31种)，小亮肯定是参加，分以下两种情况：
(1)两个女孩中一个女孩被选上(有C21种)，剩下的一个男孩肯定是参加了，共有C31C21=6种
(2)两个女孩都选上，共C31=3种
综上：一共有1+C21+C31C21+C31=12种
故选A
2.【答案】C
【解析】解：由直线l1：x− 2y=0和l2：ax−2y−1=0，
因为l1//l2，可得a1=−2− 2，解得a= 2．
故选：C．
根据题意，利用两直线的位置关系，列出方程，即可求解．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，且|MF|=5，
则xM+p2=5，
即xM+2=5，
则点M的横坐标3．
故选：C．
由抛物线的方程，结合抛物线的定义求解即可．
本题考查抛物线的方程，重点考查抛物线的定义，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由圆N的方程可得N(0,−2)，半径为2，
设动圆P的半径为r，由题意可得|PM|=r，|PN|=r−2，
即|PM|−|PN|=2a2，即c2>2a2，
所以c2a2>2，即e> 2，
所以C的离心率为53．
故选：A．
根据题意得到F2M是线段F1P的垂直平分线，从而得到|PF2|=2c，再利用tan∠NF1O=ab推得|PF1|=4b，结合双曲线的定义得到关于a，b，c的齐次方程，进而得解．
本题考查了双曲线离心率的计算，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，由y=2x2，得x2=12y，
∴抛物线y=2x2的焦点坐标为(0,18)，故A错误；
对于B，双曲线x216−y28=1的渐近线为y=±2 24x，即y=± 22x，离心率为 16+84= 62，
双曲线y2−x22=1的渐近线为y=±1 2x，即y=± 22x，离心率为 1+21= 3，故B错误；
对于C，等轴双曲线的渐近线为y=±x，
∵双曲线经过(3,2)，∴该双曲线的焦点在x轴上，
设其方程为x2a2−y2a2=1，代入(3,2)，得9a2−4a2=1，
解得a2=5，∴c2=a2+b2=a2+a2=10，
∴经过(3,2)的等轴双曲线的两个焦点坐标为( 10,0)和(− 10,0)，故C正确；
对于D，∵e⋅n=(1,0,3)⋅(−2,0,23)=0，∴e⊥n，∴l⊂α或l/​/α，故D错误．
故选：C．
将抛物线方程化成标准方程，求得抛物线的焦点，判断A；分别求出两条双曲线的渐近线和离心率判断B；通过判断点(3,2)与直线y=±x的位置关系，确定双曲线的方程，从而求得其焦点坐标，判断C；由向量e与n的关系，判断直线l与平面α的位置关系，判断D．
本题考查抛物线、双曲线、直线的方向向量等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：连接AE，DE，DF，
因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，
所以AB//B1A1，AB=B1A1
因为D，E分别是棱AB，A1B1的中点，
所以AD/​/EB，AD=EB1，BD//EB1BD=EB1，
所以四边形ADB1E是平行四边形，四边形BB1ED是平行四边形，
所以AE/​/DB，BB1//ED，
所以∠AEF是异面直线DB1与EF所成的角或其补角，
因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
又DF⊂平面ABC，所以DE⊥DF，
设AB=BC=AA1=2，
则根据几何关系得AF= 2，AE=EF= 5，
在△AEF中，cs∠AEF=AE2+EF2−AF22AE⋅EF=5+5−22× 5× 5=45，
所以异面直线DB1与EF所成角的余弦值是45．
故选：C．
连接AE，DE，DF，证明AE/​/DB，得∠AEF是异面直线OB1与EF所成的角或其补角，再根据几何关系，结合余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成角的计算，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题、两点间的距离公式、求圆的标准方程、点到直线的距离，属于难题．
先利用点与圆的位置关系，结合题目条件求得圆C的半径为3，再利用圆的标准方程求得圆C的方程，作出圆C和直线OP的图形，利用点Q在直线OP上方的那段圆弧上得x−2y−432x，即x0，
故|MN|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2× 256+16k23|4−k2|
= 1+k2×2× 43× 16+k24−k2，
而xP=2km2(4−k2)=km4−k2，故yP=4m4−k2，
故|OP|=|m| k2+16|4−k2|= 43 1+k2× k2+16|4−k2|，
故|MN|=2|OP|，
当直线l2的斜率不存在时，l2:x=2 33或l2:x=−2 33，
若l2:x=2 33，则|OP|=2 33，而xM=xN=2 33，|yM|=|yN|=2 33，
因yM=−yN，故|MN|=4 33=2|OP|，
同理可得若l2:x=−2 33，也有|MN|=2|OP|，
故|MN|=2|OP|总成立．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】X1
12
11.8
11.7
P
16
12
13
B项目产品价格一年内下调的次数X
0
1
2
投资100万元一年后获得的利润X2(万元)
13
12.5
2
X1
12
11.8
11.7
P
16
12
13
X2
13
12.5
2
P
(1−p)2
2p(1−p)
p2