湖南省永州市2026届高三上学期高考第二次模拟考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以
2. 已知复数 满足 ，则 的虚部为
A. 1 B. C. i D.
【答案】B
【解析】，则的虚部为.
3. 的展开式中 的系数为
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
【答案】A
【解析】因为的展开式为令，所以的系数为.
4.已知 是两条不重合的直线, 是两个不重合的平面,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】如图，，
若，则与相交或异面，不一定垂直；
若，则不一定成立.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
5.已知菱形 的边长为 是 的中点，则
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】，
.
6.已知抛物线 的焦点为 ，点 在 轴上且位于 右侧，点 在 上，若 为等边三角形,则
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】如图，，设，的中点为，
则，又为等边三角形，所以，
由抛物线的定义知，所以，
解得，所以.
7.已知函数 ,若 且 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
因为，所以函数的图象关于直线对称，
令在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当，即时等号成立，
函数在上单调递增，
由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，
两边平方得，即，
又，所以，即.
8.在 中,内角 所对的边分别为 ,且满足 ,则
A. 角 为锐角 B.
C. D. 的最大值为
【答案】D
【解析】因为 ,所以
所以
所以 ,故角 为钝角;
因为 ,所以 ,即 ;
由角 为钝角，且
得 ,即
又因为 ,所以 ,即 ;
因为
所以 ,
当且仅当 时取等号,故选项 D 正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知某地近一周的最高气温如下:9，11，14，11，10，7，8(单位:°C)，则
A. 这组数据的极差为 7 B. 这组数据的第 40 百分位数为 8.5
C. 这组数据的众数为 11D. 这组数据的方差为
【答案】ACD
【解析】A选项，极差为，故A正确；
B选项，，故从小到大，选择第3个数据作为数据的第40百分位数，即第40百分位数为9，故B错误；
C选项，11出现了2次，其他数均出现了1次，故11为众数，故C正确；
D选项，平均数为，故方差为，故D正确.
10.已知函数 ,则
A. 在区间 上有 1 个零点
B. 的周期为
C. 的值域为
D. 要得到 的图象,可将函数 图象向左平移 个单位长度
【答案】ABC
【解析】对于A项，由已知可得，.
因为，所以，
当时，即时，有，
所以在区间上有1个零点，故A项正确；
对于B项，由已知可得，
，
所以，的周期，故B项正确；
对于C项，

.
令，
则.
令，得，所以在上单调递增；
令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递减.
且，
.
所以当时，有最小值；当时，有最大值1.
所以的值域为，故C项正确；
对于D项，，
将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数
，故D项错误.
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 是 的渐近线上一点 ( 在 轴上方),直线 与圆 相切,且与 的左、右两支分别交于 两点,若 ,则
A. 以 为直径的圆与圆 相切 B. 的离心率
C. 线段 的中点在直线 上D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】设 的中点为点 ,则 以 为直径的圆与圆 的圆心距为两圆的半径之和,故 为直径的圆与圆 相切; 因为点 是 的渐近线上一点, ,所以 ,设直线 与圆 的切点
为 ,则 ,故直线 的斜率为 ,即直线 为双曲线
的另一条渐近线,由对称性知, ,即
所以 的离心率 ;
设 的中点为 ,由点差法可得: 直线 与直线 斜率之积为
又因为直线 斜率为 ，所以直线 斜率为
所以 的中点在直线 上;
设 为 ,因为 ,所以
所以由双曲线定义可得:
因为 ,解得 ,因为
所以 的面积为 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.从 1，2，3，4 四个整数中依次随机抽取 2 个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为________.
【答案】
【解析】由题意知，设第一次与第二次抽取的数即为，
则所有的可能结果为
，共12种，
满足的可能结果为，共6种，
所以满足题意的概率为.
13.已知函数 ，若 恒成立，则实数 _______.
【答案】 -1
【解析】【详解】当时，,则,
由于恒成立，则,
当时，,其对称轴为：,
由于,所以当时，,
则，解得：,
由于,则,
当时，时，，满足条件，
时，,满足恒成立
综上，.
14.在直四棱柱 中， ， ， ， ， ， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点. 若直线 平面 则三棱锥 外接球表面积的最小值为________.
【答案】
【解析】连接 ,易知平面 平面 ,则点 的轨迹为线段 在三棱锥 中,易知 平面 ,要使三棱锥 外接球表面积最小则只需 外接圆的半径 最小,在 中,由正弦定理得: . 又因为 为定值,只需 最小,显然当 时, 有最小值
的最小值为
所以三棱锥 外接球半径的最小值为 三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式 ；
(2)求 的前 项和 .
【解析】(1)因为 ，所以 .
所以 是以 为首项,公比为 的等比数列 .
所以 .
即 .
(2)由(1)知 ①
②
①-②得: .
所以 .
16.如图， 是半圆 的直径， ， 是 上的两个三等分点，点 在底面 上的射影为 的中点 .
(1)当 时，求点 到平面 的距离；
(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】(1)如图，连接 与 相交于点 ，再连接 .
因为 依次是 上的两个三等分点
所以 .
又
所以 与 都是边长为 4 的正三角形 .
所以
即四边形 是菱形
所以 .
又因为点 在平面 上的射影为 的中点
所以 平面
由 知 ,而
所以 .
所以 平面
而 平面
所以
所以 平面 ,垂足为 .
即点 到平面 的距离为
而
所以点 到平面 的距离为 2 .
(2)作 的中点 ，连接 ，由(1)可知 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点, 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .
当 时,
.
设平面 的一个法向量为 ,则 ,即
令 ,则 ,故 .
因为平面 轴,所以取平面 的一个法向量为 .
所以 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17.为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛，已知足球联赛积分规则为:球队胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分.球队甲 2025 年 11 月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛.根据前期比赛成绩, 球队甲主场与球队乙比赛: 胜利的概率为 ,平的概率为 ,负的概率为 ; 球队甲客场与球队丙比赛: 胜利的概率为 ,平的概率为 ,负的概率为 ; 且每场比赛结果相互独立.
(1)设球队甲 11 月主场与球队乙比赛获得积分为 ，客场与球队丙比赛获得积分为 ， 求 的概率;
(2)用 表示球队甲 11 月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求 的分布列与期望.
【解析】
(1)设事件 “甲队主场与乙队比赛获得积分为 3 分”， “甲队主场与乙队比赛获得积分为 1 分”, “甲队主场与乙队比赛获得积分为 0 分”,事件 “甲队主场与丙队比赛获得积分为 3 分”, “甲队主场与丙队比赛获得积分为 1 分”, “甲队主场与丙队比赛获得积分为 0 分”. 记球队甲 11 月主场与乙队比赛获得积分为 ,客场与丙队比赛获得积分为 ,事件 为 .
由题意知 与 与 与 互相独立, 互斥 .
则 .
.
所以 .
故事件 的概率为 .
(2)由题意可知 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6.
.
.
.
所以 的分布列为:
所以 .
18.已知椭圆 经过点 为 的右焦点.
(1)求 的标准方程；
(2)过点 的直线 与 交于 两点( 的斜率存在且不为 0 )，设点 关于 轴的对称点为 的外接圆圆心为 .
(i) 求 面积的最大值;
(ii) 直线 与直线 的斜率之积是否为定值? 若是,求出这个定值,若不是, 请说明理由.
【解析】(1)因为 为 的右焦点，所以 ，且椭圆 的左焦点为 .
所以
所以 所以椭圆 的标准方程为 .
(2)(i)设直线 方程为
联立 得: .
,即
.
因为点 与点 关于 轴对称,则直线 与直线 的斜率和为 0
所以
即 ,即 .
即 ,即 ,所以直线 过定点 .
所以
所以 ,令 .
当且仅当 时,即 时, 面积的最大值为 .
(ii) 因为 的垂直平分线方程为:
即 ①.
同理 的垂直平分线方程为: ② .
① + ②得:
故 .
①-②得:
所以 ,即
所以 .
所以 .
又因为 ,所以直线 与直线 的斜率之积是否为定值 1 .
19.已知函数 .
(1)当 时,当 ,求 的最小值;
( 2 )当 ， 时，证明:存在唯一实数 ，使得曲线 在点 处的切线与 的图象有 3 个交点;
(3)当 ， 时，将 在区间 上的零点从小到大依次排列，记第 个零点为 ,证明: .
【解析】(1)当 时， .
当 ,所以 在 单调递增 .
所以 的最小值为 .
(2)当 时， .
所以 在点 处的切线方程为:
整理得 .
令
则 ,因为
当 时, 为单调递增函数
当 时, 为单调递减函数
函数 所有的极大值为 .
当 时,极大值等于 0,即
极小值 .
当 为正整数时,极大值全部小于 0,即 在 无零点, 为一个零点
为负整数时,极大值全部大于 0,函数 所有的极小值为
,且随着 的增大,极小值 越来越小 .9 分
因此 在点 处的切线与 有 3 个交点,只需 时,极小值 ,即 ,即 有解.
令 为 上的严格增函数
又 ,故存在唯一实数 ,满足
故存在唯一的 ,使得曲线 在点 处的切线与 有 3 个交点.
(3)当 时， 零点即为 零点
在区间 上单调递增
又因为 ,当 时,
所以 .
由 (1) 知,当 时, ,即
.
又因为
所以 ,即 .
又因为
又 ,故 ,故
因为
故 ,因此
又 ,函数 在 上单调递增
所以 .
故
综上: .0
1
2
3
4
6