云南省昆明市2026届高三上学期期末摸底诊断测试数学试题（含答案）

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1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z=(2+i)i对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 设集合A={1,2,3,4}, B={x|2x∈A}, 则A∩B=
A. {1,2}B. {1,3}C. {2,4}D. {3,4}
3.不等式 x+1x-3 ≤0的解集是
A. {x|-1≤x≤3}B. {x|x≤-1}C. {x|x≤-1或x＞3} D. {x|-1≤x＜3}
4.在6件不同产品中，有4件合格品，2件次品，从这6件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法种数为
A. 14B. 15C. 16D. 17
5.已知 1+tanα1- tanα-1-tanα1+tanα=1cs2α, 则sin2α=
A. 12B. 22C. D. 1
6. 设非零平面向量a, b, c两两不垂直, 那么“(a·b)c=a(b·c)”是“a∥c”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.过原点O的直线与圆 C:x-32+y2=3交于A, B两点, 若|OA|, |AB|, |OB|成等差数列, 则|AB|=
A. 32B. 3C. 2D. 2 2
8.已知函数 fx=x3+ax-2a有两个零点与两个极值点，则a=
A. - 27B. - 18C. - 9D. 0
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列{an}的前n项和为 Sn,a1=2,an+1-Sn=0,则
A. a2=2B. S3=8
C. {an}为等比数列D. {Sn}为等比数列
10.已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁(-c,0), F₂(c,0),抛物线D :y2=4cx,点A, B是椭圆C和抛物线D的公共点，以AB为直径作圆E，若 ∠AF1B=π2,则
A. A, F₂, B三点共线B. 抛物线D与圆E有四个公共点
C. 椭圆C的离心率为 2-1D. 椭圆C与圆E有四个公共点
11.甲、乙为两个不透明的盒子，已知甲中有2个红球和 1 个黑球，乙中有 1 个红球和 1个黑球.每次随机从甲、乙两个盒子中各抽出 1 个球相互交换，每次交换相互独立，设第n次交换后甲盒中恰有0、1、2个黑球的概率分别为 an、 bn、 cn, n∈N',则
A. c1=13B. a2=13b1
C. b2=2336D. bn+1=-16bn+13an+213
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在△ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知 B=5π12,C=π3,a=2,则C= .
13. 在三棱锥A-BCD中, AB⊥平面BCD, BC⊥CD, AB=CD=2, BC= 3 M为CD的中点，则直线AM 与平面ABC所成角的正弦值为 .
14. 已知函数f(x)=sinωx (ω＞0), A,B是f(x)图象的两个相邻对称中心, f(x)在A,B处的切线相交于点C，若 ∠ACB＜π3,则ω的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
为研究AI深度学习模型训练达标与工程师参与的关系.现随机抽取140次训练样本，对参与人员及其训练结果进行统计.工程师甲是否参与训练、结果是否达标的2×2列联表如下 (单位:次):
(1) 完成2×2列联表，工程师甲参与的训练中，达标的概率记为P，求P 的估计值；
(2)根据小概率值( α=0.025的独立性检验，分析训练达标是否与工程师甲参与有关.
附： χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.
16. (15分)
已知函数 fx=sin2x-π6 +cs2x.
(1)求f(x)图象的对称轴方程；
(2)将函数y=f(x)图象向左平移 π6个单位得到y=g(x)的图象，当 x∈-π4π6 时，求函数 hx=gx-x2的值域.
17.(15分)
如图，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，D是AC的中点，且 AA1=CA1.
(1) 求证: 平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C;
(2) 若 AB=2AA1=4,三棱锥. A1-ABC的体积为 433,求平面A₁BC₁与平面A₁B₁D夹角的余弦值.
18.(17分)
已知函数 fx= xex,x≤0 ， xlnx,x＞0 ， .
(1) 求f(x)的单调区间;
(2)若直线y=a与f(x)的图象有4个交点，交点的横坐标从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄.
(i) 证明: x2+x3＜0;
(ii) 若 fx2+x4≤mx2+x4,求m的取值范围.
19.(17分)
已知双曲线C： x 2a 2－ y 2b2=1（a＞b＞0）的离心率为 2,点.Pn(n=1,2,…)在C上,记 Pn的坐标为 xnyn,xn-yn=12n-3,xn＞0,P关于y轴的对称点为 Qn.已知 ∣P1Q1∣=5.
(1) 求C的方程;
(2)证明：直线 Pn+1Pn+2与直线P₁P₁₄₃平行;
(3) 设△PnPn+1Pn+2的面积为 Sn, △PnPn+1Qn的面积为 Tn, 当 TnSn 取得最小值时，求n.
普通高中2026届高三摸底诊断测试
数学参考答案及评分标准
一、单选题；二、多选题
三、填空题
12.613. 24 14.3+∞
四、解答题
15. (1) 列联表如下:
由表格可知，工程师甲参与的训练中，达标的概率估计值 p=90100=910.⋯5分
(2)零假设 H0:训练达标与工程师甲参与无关，
χ2=140×90×10-10×302100×40×120×20=5.25＞5.024,
故依据小概率值a=0.025的独立性检验，推断. H0不成立，
即认为训练达标与工程师甲参与有关.13分
16. (1) 由题可得 fx=sin2x-π6+cs2x=32sin2x-12cs2x+cs2x
=32sin2x+12cs2x=sin2x+π6.
由 2x+π6=π2+kπ,解得 x=π6+kπ2,k∈Z,
所以f(x)图象的对称轴方程为 x=π6+kπ2,k∈Z.6分
(2)将函数y=f(x)图象向左平移 π6个单位得到 gx=sin2x+π6+π6=cs2x,所以 hx=gx-x2=cs2x-x2.
又因为g(x)在| 0π2|上单调递减，且 y=-x2在 0π2上单调递减，所以h(x)在| 0π2|上单调递减.
因为函数h(x)是偶函数，所以h(x)在| -π20上单调递增，
故当 x∈-π4π6时, h(x)的最大值为h(0)=1,
因为 ∣-π4∣＞∣π6∣,所以 h-π4＜hπ6,所以h(x)的最小值为 h-π4=-π216.
所以当 x∈-π4π6时，函数 hx=gx-x2的值域为 -π2161.15分
17. (1) 证明: 因为 AA1=CA1,D是AC的中点，所以A₁D⊥AC.
又在等边△ABC中, BD⊥AC,
且A₁D∩BD=D, A₁D,BD⊂平面A₁BD, 所以AC⊥平面A₁BD.
因为AC⊂平面AA₁C₁C, 所以平面 A1BD⊥平面AA1C1C.5分
(2) 解: 如图, 过点A₁作A₁H⊥BD于点H, 由(1) 可知AC⊥平面A₁BD,又. A1H⊂平面A1BD,,所以A₁H⊥AC, 且AC∩BD=D, BD,AC⊂平面ABC,所以A₁H⊥平面ABC.
由于AB=4, 则 S△ABC=12×42×32=43,
所以 VA1-ABC=13A1H·S△ABC=433,
则 A1H=1.
又在△A₁AC中, AB=2AA1=4,
所以 A1D=AA12-AC22=2;
在直角△A₁HD中, DH=A1D2-A1H2=3;
又 BD=23,所以点H是BD的中点.
以点H 为坐标原点, x轴∥AC, HB, HA₁所在直线分别为y, z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，
则H( 0,0,0),D0-30,B030,A2-30,C-2-30,A1001,
所以 A1B=03-1,A1C1=AC=-400,A1D=0-3-1,A1B1=AB=-2230
设平面 A₁BC₁的一个法向量 m=x1y1z1,
则 {m·A1B→=3y1-z1=0m·A1C1→=-4x1=0,令 z1=3,则 x1=0,y1=1,
所以平面A₁BC₁的一个法向量. m=013.
设平面A₁B₁D的一个法向量. n=x2y2z2,
则 {n·A1D→=-3y2-z2=0n·A1B1→=-2x2+23y2=0,令 z2=3,则 x2=-3,y2=-1,
所以平面A₁B₁D的一个法向量. n=-3-13.
由于 ∣cs＜m,n＞∣=∣m⋅n∣∣m∣⋅∣n∣=3-11+3×1+3+3=77,
所以平面A₁BC₁与平面A₁B₁D夹角的余弦值为 77.15分
18. (1) 由题 f'(x)={(x+1)ex,x≤0,1+lnx,x＞0,
因为在区间(-∞,-1)和 01e,f'x＜0,所以f(x)的减区间为(-∞,-1)和 01e;
因为在区间(-1，0)和 1e+∞,f'x＞0,所以f(x)的增区间为(-1,0)和 1e+∞.…5分
(2)因为直线y=a与f(x)的图象有4个交点，其横坐标分别为.x₁,x₂,x₃,x₄,
且 x1＜x2＜x3＜x4,所以有 x1ex1=x2cx2=x3lnx3=x4lnx4=a.
且 x1＜-1＜x2＜0＜x3＜1e＜x4＜1,由于 xlnx=elnxlnx,所以有 x1=lnx3,x2=lnx4.
ix3=ex1=x1ex1x1=x2ex2x1,
因为 -1＜x2＜0,所以 ex2＜e0=1,所以 x2ex2x1＜x2x1=-x2-x1,又因为 x1＜-1,所以 0＜1-x1＜1,所以 -x2-x1＜-x2,即 x3＜-x2,即 x2+x3＜0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分
()因为 x2=lnx4,所以 x2+x4=x4+lnx4,令 t=x4+lnx4,
因为 1e＜x4＜1,所以 t∈1e-11,
当t=0时, f(0)=m·0, 满足题设,
当 t∈1e-10时， ft=tel≤mt,即 el≥m,所以有 m≤e1e-1,
当t∈(0,1)时, f(t)=tlnt≤mt, 即lnt≤m, 所以有m≥0,
所以 0≤m≤e1c-1.17分
19. 解: (1) 由题意知, 双曲线C离心率为 2, 所以a=b,又因为 xn-yn=12n-3,所以 x1-y1=4,因为|P|Q|=5,所以 x1=52,y1=-32,所以双曲线的方程为 x2-y2=4.
(2)因为点 Pn在C上,所以 xn2-yn2=4=xn-ynxn+yn,所以 xn+yn=2n-1,所以 xn=2n-2+12n-2,yn=2n-2-12n-2, 令 t=2n-2, 则 Pnt+1tt-1t, Pn+12t+12t2t-12t,Pn+24t+14t4t-14t,Pn+38t+18t8t-18t,直线 PnPn+3的斜率 kPnPn+3=7t+78t7t-78t=8t2+18t2-1,直线 Pn+1Pn+2的斜率 kPn+1Pn+2=2t+14t2t-14t=8t2+18t-1,所以 kPn+1Pn+2=kPnPn+3,
故 Pn+1Pn+2‖PnPn+3.⋯⋯11分5分
(3) 因为 Pn+1Pn+2‖PnPn+3,所以 Sn=Sn+1,故 Sn是定值， Tn=122xn|∣yn-yn+1∣=xnyn+1-yn=t+1t⋅t+12t=t2+12t2+32,令 t2=22n-2≥14, 因为函数 fx=x+12x在 22+∞单调递增，当n≥3时, 22n-2＞22n-3＞22, 故 Tn=ft2+32=f22n-2+32＞f22n-3+32=Tn-1,又因为 T2=f1+32=3,T1=f14+32=154, 故 T1＞T2,故Tn≥T₂, n∈N°,即n=2时, T,取最小值,所以当 TnSn取得最小值时, n=2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
参与情况
训练结果
合计
达标
不达标
参与
90

100
未参与

10

合计


140
α
0.1
0.05
0.025
0.010
0.001
Xα
2.706
3.841
5024
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
C
A
C
D
A
ABD
AC
ACD
参与情况
训练结果
合计
达标
不达标
参与
90
10
100
未参与
30
10
40
合计
120
20
140