2025-2026学年四川省德阳市广汉市金雁中学高三（上）月考数学试卷（1月份）(含答案）

这是一份2025-2026学年四川省德阳市广汉市金雁中学高三（上）月考数学试卷（1月份）(含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足iz=2+3i，则z的虚部为( )
A. 3iB. −2iC. 3D. −2
2.已知集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|1x1”是“a2>a”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为π2，则f(π3)的值是( )
A. − 3B. 33C. 1D. 3
6.已知数列{an}是首项为1的等差数列，且a22=a7，则a3+a7+a8=( )
A. 63B. 3或63C. 21D. 3或21
7.已知向量a=(1, 3)，若(a−3b)⊥a，则b在a上的投影向量为( )
A. (13, 33)B. (−13,− 33)C. (−23,−2 33)D. (23,2 33)
8.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为15，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为45；若观众没有携带，安检门依旧有110的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为( )
A. 45B. 23C. 12D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为0.5
B. 样本数据2，4，6，9，11，16的75%分位数是10
C. 若随机变量X∼N(1,σ2)(σ>0)，且P(X≤3)=0.75，则P(1≤X≤3)=0.25
D. 若随机事件A，B满足P(A)>0，P(B)>0，且AB=⌀，则P(AB)≠P(A)P(B)
10.如图，已知点A，B，C，D在表面积为12π的球O的球面上，且O∈BD，OA⊥平面BCD，点E为BC中点，当二面角A−BC−D的大小为π3时，则有( )
A. 异面直线AE和CD所成角的大小为π3
B. 直线EA与平面ABD所成角的大小为π6
C. sin(2∠ABE)=2 23
D. △BED的面积为 2
11.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点T(4,y0)到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点(异于原点O)，则下列说法正确的是( )
A. p=4
B. 若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的斜率为2
C. 若OA⊥OB，则直线AB恒过点(4,0)
D. 若直线AB过点F，则直线AG，BG的斜率之和为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(m+2n,2)，b=(1,2)，其中mn>0.若a//b，则mn的最大值为 ．
13.已知在(x+2x)n的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则x2的系数为 ．
14.已知函数f(x)=(x−2b)ex，g(x)=ax−2ab，若f(x)≥g(x)恒成立，则ba的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(sinx+csx,2sinx),b=(sinx−csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b+t(t为常数)．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若f(π2)=0，且在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,f(A2)=1,a2−b2−c2=6，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知动点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和P到定直线l：x=2的距离的比是常数 22，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点F′(−1,0)，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且FM//F′N，|FM|+|F′N|=87 2，求直线FM的斜率．
17.(本小题15分)
如图，在六面体ABCEF中，D为AB的中点，四边形CDFE为矩形，且EC⊥CB，AC⊥CB，AC=CB=4．
(1)求证：EC⊥平面ABC；
(2)已知AE=5，求平面EAF与平面ECB的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况．
经计算可得：y−=16i=16yi=205，i=16tiyi=4004，i=16ti2=91．
(1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn；
(3)请依据下列定义，解决下列问题：
定义：如果对于任意给定的正数ɛ，总存在正整数N0，使得当n>N0时，|an−a|kx+1−1x(k>0)在(0,+∞)上恒成立，求整数k的取值集合；
(3)求证：i=1nln[1+i(i+1)]>2n−3．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.A
6.B
7.A
8.B
9.ACD
10.ACD
11.ABD
12.18
13.60
14.(−∞,12e]
15.
16.解：(1)由题意， (x−1)2+y2|x−2|= 22，
整理化简得，x22+y2=1，
所以曲线C的标准方程为x22+y2=1．
(2)由题意，直线FM，F′N的斜率都存在，设kFM=kF′N=k，
则直线F′N的方程为y=k(x+1)，
分别延长NF′，MF交曲线C于点N′，M′，
设N(x1,y1)，N′(x2,y2)，
联立y=k(x+1)x22+y2=1，消去y整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2−2=0，
则x1+x2=−4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
根据对称性，可得|FM|=|F′N′|，
则|FM|+|F′N|=|NN′|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2⋅ (−4k21+2k2)2−4×2k2−21+2k2=2 2(1+k2)1+2k2，
即2 2(1+k2)1+2k2=87 2，解得k=± 3，
所以直线FM的斜率为± 3．
17.
18.解：(1)由题意，t−=1+2+3+4+55=3，y−=15(i=16yi−90)=15(205×6−90)=228．则b =i=1ntiyi−nt−⋅y−i=1nti2−nt−2=4004−6×90−5×3×22891−62−5×32=4.4，
a =y−−b t−=228−4.4×3=214.8，
所以y关于的经验回归方程为y =4.4t+214.8．
(2)由题意，可知P1=23，P2=23×23+13=79，
当n≥3时，Pn=23Pn−1+13Pn−2，即Pn+13Pn−1=Pn−1+13Pn−2，
又P2+13P1=79+13×23=1．
所以当n≥2时，数列{Pn+13Pn−1}为各项都为1的常数列，
即Pn+13Pn−1=1(n≥2)，
所以Pn−34=−13(Pn−1−34)，n≥2，又P1−34=23−34=−112，
所以数列{Pn−34}为首项为−112公比为−13的等比数列，
所以Pn−34=−112×(−13)n−1，即Pn=34+14×(−13)n．
(3)由第二问可知，Pn=34+14×(−13)n，
当n为偶数时，Pn=34+14×(13)n>34，且Pn随n的增大而减小，
因此Pn的最大值为P2=79；
当n为奇数时，Pn=34−14×(13)n0，总存在正整数N0=[lg13(4ɛ)]+1，其中[x]表示不超过x的最大整数，
当n>[lg13(4ɛ)]+1时，|Pn−34|=|14×(−13)n|=14×(13)nkx+1−1x(k>0)在(0,+∞)上恒成立，
即1+ln(1+x)x>kx+1在(0,+∞)上恒成立，
即k0，
令r(x)=x−1−ln(x+1)，
则r′(x)=1−1x+1=xx+1>0,x>0，
故r(x)在(0,+∞)上为增函数，
又r(2)=1−ln30，
故存在唯一的实数根a，满足r(a)=0且a∈(2,3)，其中r(a)=a−1−ln(a+1)=0，
当x>a时，r(x)>0，h′(x)>0，
当02−3n(n+1)+1>2−3n(n+1)=2−3(1n−1n+1)，
所以ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
=2−3(1−12)+2−3(12−13)+…+2−3(1n−1n+1)
=2n−3(1−1n+1)>2n−3，
故i=1nln[1+i(i+1)]>2n−3． 星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y(张)
218
224
230
232
236
90