云南省昭通市多校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（有解析）

这是一份云南省昭通市多校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（有解析），共18页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
4. “”是命题“，”为真命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数（且）的图象恒过定点，且角的终边过点，则（ ）
A B. C. D. 3
6. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 光线在水面的强度（单位：坎德拉）与光线在水中距离水面（单位：米）处的强度（单位：坎德拉）具有关系，其中为常数．已知某水域10米深处的光线强度是该水域水面光线强度的，若该水域最深处的光线强度是该水域水面光线强度的，则该水域最深大约有（参考数据：）（ ）
A 40米B. 30.75米C. 25.25米D. 18.75米
8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 已知，则（ ）
A. B. C. D.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 将图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为
D. 不等式的解集为
11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A. 若，则函数为奇函数
B. 若，则
C. 函数的图象必有对称中心
D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个扇形的弧长和面积的数值都是，则这个扇形圆心角（正角）的弧度数为___________rad．
13. 函数的单调递增区间是______.
14. 已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. （1）计算: ；
（2）已知，求的值.
16. 已知函数．
（1）化简；
（2）若，求的值．
17. 幂函数的定义域是全体实数.
（1）求的解析式；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围.
18. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）时，有零点，求的范围．
19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数.
（1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围.
（2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由.
2025~2026学年秋季学期高一年级质量检测
数学
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知集合表示奇数组成的集合，再根据交集的运算求解即可．
【详解】因为集合表示奇数组成的集合，
又，所以．
故选：A．
2. 下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据终边相同的角的定义计算求解.
【详解】终边相同的角为，
当时，与终边相同的角为.
故选：B.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】解分式不等式即可.
【详解】由可得且，
解得或，
即不等式的解集为或.
故选：D
4. “”是命题“，”为真命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的真假性可得命题为真时，进而根据与的关系即可判断充分不必要条件.
【详解】由，可得对，，又因为，所以，
若，则成立，即，成立；
反之，若，成立，则，不能推出.
所以“”是命题“，”为真命题的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知函数（且）的图象恒过定点，且角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数过定点的性质确定点，再由点在角的终边上，求解，再利用正切的和角公式，即可得解.
【详解】对于函数，令，得，
此时函数值，故函数过定点，
故，
则.
故选：C.
6. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】与0和1比较大小即可.
【详解】，即，
，即，
，且.
综上：.
故选： D.
7. 光线在水面的强度（单位：坎德拉）与光线在水中距离水面（单位：米）处的强度（单位：坎德拉）具有关系，其中为常数．已知某水域10米深处的光线强度是该水域水面光线强度的，若该水域最深处的光线强度是该水域水面光线强度的，则该水域最深大约有（参考数据：）（ ）
A. 40米B. 30.75米C. 25.25米D. 18.75米
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知条件求出常数的值，再利用的值和最深处光线强度与水面光线强度的关系求出水域深度.
【详解】由题意知，，.
当时，，即，解得.
当时，即，解得.
故选：D
8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
【详解】由得 ，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
综上，满足条件的的取值范围是
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，对每个选项逐一判断即可
【详解】，，A选项正确.
，，B选项错误.
，，即，又，，，又.
即，，C选项正确，D选项错误.
故选：AC
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为
D. 不等式解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先通过函数图象确定函数的解析式，然后根据函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】由图象可得：，，，.
，又的图象经过，
，，又，，A选项正确.
，令，.
令，，故不是的对称轴，B选项错误.
将的图象上的各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象解析式为，C选项正确.
，即，
，.
不等式的解集为，故D选项正确.
故选：ACD
11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A. 若，则函数为奇函数
B. 若，则
C. 函数的图象必有对称中心
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可.
【详解】对于选项A，记．
因为，所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，从而，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记．若为奇函数，则，
，即，
所以，即．
上式化简得，．
则必有，解得，
因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，．
当时，是减函数，，所以
，
故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个扇形的弧长和面积的数值都是，则这个扇形圆心角（正角）的弧度数为___________rad．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式与面积公式，列出方程，即可得解.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
由题可知，有，得，
即这个扇形圆心角的弧度数为.
故答案为：.
13. 函数的单调递增区间是______.
【答案】（也可以写作）
【解析】
【分析】利用复合型对数函数的定义域求得的定义域，再利用二次函数与复合函数的单调性即可得解.
【详解】对于，有，解得，
所以的定义域为，
令，其图象开口向下，对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，则函数在其定义域内为减函数，
所以由复合函数单调性知，的单调递增区间是.
故答案为：.
14. 已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，利用其性质化简原式，转化为关于的函数求解即可.
【详解】
若方程有4个不同的根，
由图可知，，且，，
得，，
整理得，，解得，
因此可转化为，
由图可知，，解得，
设，
由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得最小值，在处取得最大值，
则在上的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. （1）计算: ；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）应用指数幂、对数的运算性质化简求值；
（2）由立方和公式将目标式化为，结合已知求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
16. 已知函数．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用诱导公式化简求解；
（2）根据已知得出，应用齐次式弦化切计算得，计算求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
由（1）知，
则，
则，
故．
17. 幂函数的定义域是全体实数.
（1）求的解析式；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，再结合定义域即可求得；
（2）在区间上恒成立，当时，恒成立，当时，参变分离，得到在恒成立，由基本不等式求出，从而得到，得到答案.
【小问1详解】
由题意得，
解得或，当时，，此时定义域不是全体实数，故舍去；
当时，，满足题意；
【小问2详解】
在区间上恒成立，
即区间上恒成立，
当时，恒成立，满足要求，
当时，变形为在上恒成立，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
实数k的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）时，有零点，求的范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简成的形式，再根据正弦型函数的周期公式求出最小正周期.
（2）根据正弦函数的单调性，求出的单调递增区间.
（3）先求出时的值域，再根据有零点，即与的图象有交点，进而确定的取值范围.
【小问1详解】
.
的最小正周期.
【小问2详解】
由（1）知，.
令，解得.
的单调递增区间为.
【小问3详解】
已知，则，那么.
当时，即时，取得最大值；
当时，即时，取得最小值.
所以的值域为.
因为有零点，即与的图象有交点.
所以的取值范围是.
19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数.
（1）设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围.
（2）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由.
【答案】（1）
（2）能，
【解析】
【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；
（2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案．
【小问1详解】
由题意可得，，，，，
所以，
不等式在上有解，
等价于在上有解，
令，则，
由在上单调递减，
所以当时，取得最大值，故.
【小问2详解】
设，则
由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，
所以.所以
.
设，，令，则，
由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增，
在单调递增，，且当时取到“=”.
，又在区间的最小值为，
，且，此时，.所以.
关键点点睛：本题关键在于根据函数的对称性确定、的关系，化简得：，通过换元法结合已知条件确定.