2025-2026学年河南省部分学校高三（上）第四次联考数学试卷（1月份）-普通用卷

这是一份2025-2026学年河南省部分学校高三（上）第四次联考数学试卷（1月份）-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}，则∁U(A∪B)=( )
A. {1,3,4}B. {1,2,3}C. {4}D. {2,4}
2.若复数z=1+ai2+i为纯虚数，则实数a=( )
A. 3B. 5C. −3D. −5
3.函数f(x)=2csx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.“sinα=sinβ”是“csα=csβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有( )
A. 120种B. 144种C. 240种D. 288种
6.已知直线l：x−y+m=0与x轴、y轴分别交于A，B两点，与圆N：(x+1)2+(y−3)2=4交于C，D两点，且|AB|=|CD|，则m=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是( )
A. 2千克B. 3千克C. 5千克D. 7千克
8.已知直线a与平面α所成的角为π4，直线b与直线a垂直，则直线b与平面α所成角的取值范围为( )
A. [0,π4]B. (0,π4]C. (0,π2]D. [0,π2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{an}的前n项和Sn=1−2n，则( )
A. a1=1B. a2=−2
C. an=−2n−1D. 数列{1an}的前n项和Tn=−2+12n−1
10.某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成.已知AB=BF=1，则( )
A. GC=12GE+14GH
B. GC⋅GE=8
C. 设P为△ABC内一点(含边界)，GP⋅GE的最小值为6
D. 设O为等腰梯形CDHI内一点(含边界)，若FO=λFB−FG，则λ的取值范围为[1,2]
11.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，下列结论正确的是( )
A. 若f(x)=f(1x)，则x=1是f(x)的极值点
B. 若f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(1x)在(1,+∞)上单调递减
C. 若函数g(x)=f(x)+f(1x)在(0,1)上单调递增，则g(x)在(1,+∞)上单调递减
D. 若f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则函数y=f(x)+f(1x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=tan(x−φ)(0≤φ0)没有零点，则a= .
14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线C在第一象限交于点P，若6|PF2|=5|F1F2|，则双曲线C的离心率e= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为12.
(1)求C的方程；
(2)若直线x=my+4与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且B是AP的中点，求m的值.
16.(本小题15分)
如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AB=AC，E是AD的中点.
(1)证明：CE⊥BD.
(2)求二面角E−BC−D的正弦值.
17.(本小题15分)
如图，在边长为2的等边△ABC中，P为△ABC内一点，∠BPC=120∘.
(1)若PB=1，求△BCP的面积；
(2)若∠APB=150∘，求tan∠PBA的值.
18.(本小题17分)
甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立.
(1)求前三局中甲恰好参与了两局的概率；
(2)求第n局有甲参与的概率；
(3)求第n局是甲、乙对打的概率.
19.(本小题17分)
(1)求函数y=sinx(csx−1)的单调递增区间；
(2)若存在β使得对任意α，都有cs(α+β)(csβ−1)≤b，求b的最小值；
(3)已知0≤α≤π,0≤β≤π2，且α+2β≤π，求cs(α+β)(csβ−1)的最值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={1,2}，B={2,3}，
∴A∪B={1,2,3}，
∵全集U={1,2,3,4}，
∴∁U(A∪B)={4}.
故选：C.
根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：由复数z=1+ai2+i=1+ai(2−i)5=1+a5+2ai5为纯虚数，
可得1+a5=0，即a=−5.
故选：D.
由复数的除法可得z=1+a5+2ai5且为纯虚数，即可求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=2csx的定义域为R，且f(−x)=2cs(−x)=2csx=f(x)，
可知函数f(x)为偶函数，故BC错误；
又csx∈[−1,1]，则f(x)=2csx∈[12,2]，故D错误．
故选：A.
利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可．
本题主要考查了由部分函数性质求解函数图象，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：若sinα=sinβ，则α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，
若csα=csβ，则α=β+2kπ或α+β=2kπ，k∈Z，
即sinα=sinβ成立时，csα=csβ不一定成立，反之也不成立，
所以“sinα=sinβ”是“csα=csβ”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
根据sinα=sinβ，可得α，β的关系，根据csα=csβ，可得α，β的关系，根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：已知食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，
则小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，
则不同的方案共有C52A44=240种．
故选：C.
由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视为一个整体，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，即可求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意直线l：x−y+m=0与x轴、y轴分别交于A，B两点，得A(−m,0)，B(0,m)，
∴|AB|= (−m−0)2+(0−m)2= 2|m|，
圆N的方程为：(x+1)2+(y−3)2=4，
∴圆心N的坐标为(−1,3)，半径为r=2，
∴圆心N到直线l：x−y+m=0的距离为：
d=|−1−3+m| 2=|−4+m| 2，
由垂径定理可得：|CD|=2 22−d2=2 22−(|−4+m| 2)2=2 −m22+4m−4，
又∵|AB|=|CD|，
∴ 2|m|=2 −m22+4m−4，
解得：m=2.
故选：C.
利用两点间距离公式求出|AB|，利用圆心到直线的距离和半径可以求出|CD|，由|AB|=|CD|计算即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设该等差数列为{an}，公差为d，d0)的焦点为F2(c,0)，准线方程为x=−c，
则p2=c，得p=2c，得抛物线方程为y2=4cx，
设抛物线y2=4cx与双曲线C在第一象限交于点P的坐标为(m,n)，n>0，
过点P作PH⊥准线，交准线于点H，则|PF2|=m+c，
由6|PF2|=5|F1F2|，得6(m+c)=5×2c，得m=2c3，
再由n2=4cm及n>0，解得n=2 6c3，
由|PF1|−|PF2|=2a，得|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c3+c=2a+5c3，
在Rt△PHF2中，(2 6c3)2+(5c3)2=(5c3+2a)2，
整理得2c2−5ac−3a2=0，得2e2−5e−3=0，
即(2e+1)(e−3)=0，解得e=3或e=−12(舍).
故答案为：3.
先求出抛物线方程为y2=4cx，设点P的坐标为(m,n)，n>0，求出m=2c3，及n=2 6c3，在Rt△PHF2中，(2 6c3)2+(5c3)2=(5c3+2a)2，即可求解．
本题主要考查圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】x24+y23=1 ±6 55
【解析】解：(1)由题意可得c=1ca=12a2=b2+c2，
解得a2=4，b2=3，
因此C的方程为x24+y23=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x24+y23=1x=my+4，得(3m2+4)y2+24my+36=0，
Δ=(24m)2−4×(3m2+4)×36>0，解得m>2或m2或m0，得csx