四川省泸州市2026届高三第二次教学质量诊断性考试数学试题（有解析）

这是一份四川省泸州市2026届高三第二次教学质量诊断性考试数学试题（有解析），共14页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知，则（ ）
A. 62B. 64C. 79D. 81
4. 等比数列中，，，则（ ）
A. 48B. 72C. 96D. 192
5. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
6. 已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 15D. 60
7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为1B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
8. 三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（ ）
A. 极差不相等B. 中位数相等
C. 平均数相等D. 标准差可能相等
10. 在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ）
A. 与一定有两个交点
B. 点在一条渐近线上
C. 若，则离心率为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，若，则实数___________．
13. 已知椭圆左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________．
14. 已知函数，若函数恰有4个零点，则取值范围为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
16. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表：
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把：
（2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列．
附：为回归直线方程，．
17. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，已知，是棱上的点．
（1）若是棱的中点，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角的最大值．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，且．证明：
（i）在区间存在唯一的极值点；
（ii）对于（i）中的．
19. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．
（1）若的倾斜角为，求；
（2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由；
（3）若线段的中点分别为，求的取值范围．
年份t/年
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
销量/万把
7
8
10
11
14
高2023级第二次教学质量诊断性考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集和补集运算求解即可.
【详解】因为全集，集合，则，
又因为集合，所以.
故选：B.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算可得，结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为复数，
所以复数对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. 62B. 64C. 79D. 81
【答案】A
【解析】
【分析】先应用对数转化得出，再平方化简求值即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
则.
故选：A
4. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 48B. 72C. 96D. 192
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
则，可得，
所以.
故选：C
5. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.
【详解】因为且，
即，
所以.
故选：C
6. 已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 15D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式系数和可得，再结合二项展开式的通项运算求解即可.
【详解】因为展开式的二项式系数和为，解得，
且展开式的通项为，，
令，解得，可得，
所以其展开式的常数项为60.
故选：D.
7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为1B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断.
【详解】因为函数，
对于选项A：的最小正周期为，故A错误；
对于选项B：为奇函数，故B错误；
对于选项C：因为，不为最值，
所以的图象不关于直线对称，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
8. 三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可.
【详解】设，则正的外接圆半径，
因为，则，
则该三棱锥外接球半径，
当且仅当时，等号成立，
所以该三棱锥外接球表面积的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（ ）
A. 极差不相等B. 中位数相等
C. 平均数相等D. 标准差可能相等
【答案】BD
【解析】
【分析】不妨设，则，即可得新数据，结合极差、中位数的定义分析判断AB；举反例判断CD.
【详解】不妨设，则，
新数据按升序排列可得，
对于选项A：两组数据的极差均为，即极差相等，故A错误；
对于选项B：两组数据的中位数均为，即中位数相等，故B正确；
对于选项C：例如，则，平均数为，
新数据的平均数为，
显然，所以平均数不相等，故C错误；
对于选项D：例如，则，显然其标准差为0，
新数据的标准差也为0，两者相等，故D正确；
故选：BD.
10. 在锐角中，角的对边分别是，已知，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，可判定A正确；由，得到，根据正弦定理得到，可判定B错误；由余弦定理和已知条件，化简得到，将，代入求得，可判定C正确；化简得到，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A，因为，由正弦定理得，
又因，可得，
所以，
即，可得，
因为，所以或，
即或（舍去），所以A正确；
对于B，由，可得，
由正弦定理得，因为，所以，所以，所以B错误；
对于C，由余弦定理得，
因，代入可得，
整理得，即，
又因为，可得，所以，
所以，所以C正确；
对于D，由，可得，则，
因为，可得
，
因为为锐角三角形，可得，解得，
令，可得在单调递增，
当时，；当时，，
所以，
因为，所以成立，所以D正确.
故选：ACD.
11. 过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ）
A. 与一定有两个交点
B. 点在的一条渐近线上
C. 若，则的离心率为
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于B：分析可知，，进而分析斜率即可；对于A：举反例说明即可；对于C：结合双曲线定义可得，，结合勾股定理运算求解；对于D：根据题意可得，，即可得面积.
【详解】对于选项B：由题意可知：，，，
可得，则直线的斜率，
可知直线即为双曲线的其中一条渐近线，所以点在的一条渐近线上，故B正确；
对于选项A：若，则直线的斜率，且渐近线的斜率为，
可知直线与双曲线的一条渐近线平行，此时与有且仅有1个交点，故A错误；
对于选项C：设双曲线的另一个焦点为，
若，可知点为的中点，
且为的中点，则，，可得，
由勾股定理可得：，即，
可得，所以双曲线的离心率为，故C正确；
对于选项D：若，则，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，若，则实数___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合平面向量的数量积和垂直关系的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，所以，
解得.
故答案为：.
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】设，根据椭圆定义可得，，进而可得，即可得结果.
【详解】由题意可知：，，
设，则，，
若，则，解得，
可得，，所以.
故答案为：3.
14. 已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知为奇函数，根据对称性可得函数在内恰有2个零点，构造，，整理可得与在内恰有2个交点，利用导数分析的单调性和极值，结合函数图象分析求解.
【详解】由题意可知：函数的定义域为，
且，可知为奇函数，
若函数恰有4个零点，则函数在内恰有2个零点，
当，则，可得，
令，可得，
构造，，则与在内恰有2个交点，
因为，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
当趋近0时，趋近于1；当趋近时，趋近于；
作出函数的图象，如图所示：
由图象可得：，所以的取值范围为.
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知是公差不为0的等差数列，，是和的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立求得的值，即可求得的通项公式；
（2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，可得，
又因为是和的等比中项，可得，即，即，
因为，所以，代入，可得，
所以，所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：由（1）知：，可得，
所以
.
16. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表：
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把：
（2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列．
附：为回归直线方程，．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中公式求出关于的线性回归方程，再运用代入法进行求解即可；
（2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可.
【小问1详解】
，
，
，
，
，
所以关于的线性回归方程为；
当，
所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把.
【小问2详解】
该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，
所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为，
由题意可知：，
所以，
，
，
，
所以其中线上售出数量的分布列为：
17. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，已知，是棱上的点．
（1）若是棱的中点，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式转化为求二次函数的最小值.
【小问1详解】
由平面平面，且底面为正方形，得，根据面面垂直的性质定理得平面，
因为，是中点，由等腰三角形三线合一，得，
又，结合平面，得平面，
因为平面，所以，
由于，根据线面垂直的判定定理，可得平面；
【小问2详解】
由二面角的大小为，结合平面，可知，
如图以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
由，得各点坐标：，
设（），则，故的坐标为，
向量，设平面的法向量为，由得；
由得，令，则，故法向量，
直线的方向向量为，
设直线与平面所成角为，则，
二次函数（开口向上），其最小值在顶点处取得，最小值为，故的最小值为，
代入得的最大值为：，
因此，.
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，且．证明：
（i）在区间存在唯一的极值点；
（ii）对于（i）中的．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来讨论函数的单调性，需要对的取值范围进行分类讨论；
（2）（i）先求出的表达式，再对求导，根据导数的性质判断在区间上的单调性，进而证明存在唯一的极值点；
（ii）根据（i）中得到的极值点的性质，对进行化简，然后通过构造函数并利用导数研究函数单调性来证明.
【小问1详解】
已知函数，其定义域为，
求导得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
当时令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
（i）已知，定义域，
当时，单调递减，又因为，所以单调递增，
而也单调递增，故在上单调递增，无极值点；
求导得，设，
，
因为，所以在上为增函数，
而，，
故在上存在一个零点，且时，，
时，，故在上为减函数，在为增函数，
而，，故在上存在唯一一个零点，
且时，即，时，即，
所以在区间上存在唯一的极值点.
（ii）由（i）得，即，
则，
令，，
求导得，
令，
求导得，
整理得
因为，所以，即在上单调递增，
所以，
所以，在上单调递增，
所以，
即.
19. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．
（1）若的倾斜角为，求；
（2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由；
（3）若线段的中点分别为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，结合抛物线关系化简出直线的方程，由于直线过，代入得，由的倾斜角得出斜率关系，得，结合抛物线定义求弦长；
（2）结合（1），设，得出，，，得出直线所过定点；
（3）结合（1）（2），令，设与轴交于，逐步表示出点的坐标，利用得出的表达式，换元求范围即可.
小问1详解】
设，
当不与轴垂直时，直线的两点式方程为，
代入整理得，
当与轴垂直时也符合，
故直线的方程为.
由于直线过，代入得，
若的倾斜角为，则，则，，
则.
【小问2详解】
设，由（1）同理可得直线的方程为，
由于直线过点，代入得，
设，则直线的方程为，
由于直线过，代入得，
则，
直线的方程为，
即，过定点.
【小问3详解】
由（1）（2），令，则，，，
则，，
，，
设与轴交于，
直线的两点式方程为，
代入得，
则，
设，则，
则，
由于，则单调递增，
则，
的取值范围为.
年份t/年
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
销量/万把
7
8
10
11
14