2024版人教版七年级上册数学专题13 期末解答题真题百练通关13大题型（期末复习专项训练含答案）

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【题型1化简绝对值求最值问题】
1．（2024·25七上·云南昭通绥江县·期末）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．
【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x．
(1)求点A，B之间的距离；
(2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示）
②求的最小值；
(3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值．
【答案】(1)6
(2)①；；②14
(3)的最小值为14，最大值为22
【分析】
【详解】（1）解：点，之间的距离；
（2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为；
故答案为：；；
②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和，
当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14；
（3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和，
当时，的值最小，最小值为14；
当时，的值最大，最大值为22；
的最小值为14，最大值为22．
2．（2024·25七上·广东广州花都区·期末）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：
(1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____．
(2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____．
【答案】(1)，0
(2)1，
【分析】
【详解】（1）解：根据题意得：，
仅当时，
即,.
当时，有最小值，这个最小值为0.
（2）解：，
，
仅当时，即，
，
当时，有最大值，这个最大值为2025.
【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键.
3．（2024·25七上·四川达州·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．请借助数轴解决以下问题：
(1)3与在数轴上的对应点的距离是_____________．
(2)若数轴上的点A表示的数是x，点B表示的数是，则A与B两点间的距离可以表示为_____________．
(3)借助数轴，求的最小值．
(4)若，直接写出x的值．
【答案】(1)5
(2)
(3)5
(4)、4
【分析】
【详解】（1）解：由题意知，3与在数轴上的对应点的距离是：，
故答案为：5．
（2）解：当时，
A与B两点间的距离可以表示为：；
当时，
A与B两点间的距离可以表示为：；
所以A与B两点间的距离可以表示为．
故答案为：．
（3）解：因为可表示数轴上表示x的点与表示3和的点的距离之和，
当x在的左边或3的右边时（不包括端点），；
当x在3和之间时（包括端点），；
所以的最小值为5．
故答案为：5．
（4）解：可表示数轴上表示x的点与表示2和的点的距离之和，
如图所示，，
因为当表示x的点在M和N之间时（包括端点），，
又，
所以表示x的点在点M的左边两个单位或者再点N的右边两个单位，
即x的值为、4．
故答案为：、4
4．（2024·25七上·上海奉贤区·期末）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索：
(1)表示数轴上数x与数 两点间的距离；
(2)的最小值是 ；
(3)计算的最小值．
【答案】(1)；
(2)5
(3)1001000
【分析】
【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离，
故答案为：；
（2）解：可理解为数轴上表示数 �� 的点到表示数和 2的点的距离之和，当点 �� 位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5．
故答案为：5；
（3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和，
当时，距离之和最小，
最小值为：
.
【题型2数轴上的动点问题】
5．（2024·25七上·湖北孝感云梦县·期末）已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为．
(1)求A、B两点间的距离；
(2)若点C在点A的左侧，且，求点C表示的数；
(3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，经过多少秒后，P、Q两点相遇？
【答案】(1)10
(2)
(3)2秒
【分析】
【详解】（1）解：，
则A、B两点间的距离为；
（2）解：点C在点A的左侧，且，
点C表示的数为；
（3）解：（秒），
故经过秒后，P、Q两点相遇．
6．（2024·25七上·云南文山砚山县·期末）如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且．
(1)应用： ， ；
(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；
(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．
【答案】(1)6；10
(2)；或；
(3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
【分析】
【详解】（1）解：，，
故答案为：6；10；
（2）解：t秒时点A表示的数是，
此时或，
故答案为：；或；
（3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，
当点A与点B重合时，，解得，
当时，，，
∴，此时的值随着时间t的变化而改变；
当时，，，
∴，此时的值不随着时间t的变化而改变，
综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
7．（2024·25七上·河南洛阳·期末）如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，P，Q在数轴上运动，且点P从点A出发以每秒2个单位长度沿数轴正方向运动，点Q从点B出发以每秒1个单位长度沿数轴正方向运动，点P，Q同时运动，设运动时间为，点P与点Q之间的距离表示为，点P与点B之间的距离表示为．
(1)运动3秒时，求点P表示的数及P、Q两点之间的距离；
(2)当点P，点Q运动到点M时，所需的时间分别是多少；
(3)点P，Q同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值．
【答案】(1)3
(2)6,6
(3)变化，理由见解析
【分析】
【详解】（1）点P运动3秒所对应的数是，点Q运动3秒所对应的数是，所以两点之间的距离是；
（2）根据题意可知，
∴（秒），（秒）．
所以需时间分别是6秒，6秒；
（3）变化，理由如下：
，
当时，
∴；
当时，
，
∴；
当时，
，
∴．
8．（2024·25七上·湖南岳阳岳阳县·期末）已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出A、B两点之间的距离______；
(2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数；
(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或或
【分析】
【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．
∴
∴A、B两点之间的距离为；
（2）解：设点C在数轴上表示有理数c，
点C在B点的右边，则结合数轴，，
不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去；
当点C在A点与B点的之间，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
当点C在A点的左边，
∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，
则
解得，
∴点C表示的数为或；
（3）解：依题意，时间为t，
点Q表示的数是，
∵，
∴，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
即，
∴或，
解得或，
当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时，
则，
∴则点P表示的数是，
∵，
∴，
，
即或，
此时或，
当点P刚好回到，此时点Q表示的数是，
∵，
∴，
∵，
∴当点P第二次从A出发，，
则点P表示的数是，
∵，
∴，
∴，
综上或，或或．
9．（2024·25七上·湖南湘潭岳塘区·期末）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题：
已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，．
(1)填空：______，______，______．
(2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值；
(3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)或；
(3)时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变
【分析】
【详解】（1）解：，
，，
即，．
，
．
故答案为：，，；
（2）解：，，，
，
解得或；
（3）解：存在，理由如下：
经过秒点表示的数是，点表示的数是，
，，
，
由题意得，解得．
答：时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变．
【题型3有理数运算的规律探究】
10．（2024·25七上·河南新乡辉县·期末）探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；
；
；
；
；
；
；
．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
(1)观察以上式子，类比计算：_____；
(2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）；
(3)若，计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
=
；
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴
．
11．（2024·25七上·北京房山区·期末）观察下列各式的特征：
；
；
；
；
根据规律，解决相关问题：
(1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）：
① ；
② ．
(2)当时， ；当时， ．
(3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为 ．
(4)用合理的方法计算：．
【答案】(1)①；②
(2)；
(3)
(4)
【分析】
【详解】（1）解：①；
故答案为：；
②；
故答案为：；
（2）解：当时，；
当时，；
故答案为：；；
（3）解：由数轴可得，，
∴，
故答案为：；
（4）解：
．
12．（2024·25七上·甘肃兰州·期末）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：
；；；；；；
(1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整；
(2)计算：
(3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值．
【答案】(1)正或0，平方
(2)170
(3)
【分析】
【详解】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加．
故答案为：正或0，平方；
（2）解：；
（3）解：因为，
所以，
所以，
所以．
13．（2024·25七上·福建三明宁化县·期末）若，则照此规律试求：
(1)___________．
(2)计算：．
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
14．（2024·25七上·河南南阳南召县·期末）观察下列各式，回答问题
，，…
按上述规律填空：
(1)________________．
(2)计算：________．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：，
故答案为：，；
（2）解：由题意，
，
故答案为：．
【题型4有理数运算的实际应用】
15．（2024·25七上·河北沧州孟村县·期末）某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、．
(1)经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
(2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨；
(3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？
【答案】(1)经过这6天，仓库里的水泥减少了；减少了吨
(2)
(3)这6天要付元装卸费
【分析】
【详解】（1）解：
，
答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨；
（2）解：（吨），
答：6天前仓库里存有水泥吨，
故答案为：200；
（3）解：
（元），
答：这6天要付元装卸费．
16．（2024·25七上·广西南宁横州百合镇·期末）某仓库一周进出货物的吨数记录如下（“+”表示进库，“-”表示出库）：．
(1)经过这一周，仓库里的货物是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？
(2)如果进出货物的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？
【答案】(1)仓库的货物减少了，减少了32吨
(2)这一周要付1340元装卸费
【分析】
【详解】（1）解：
因此，仓库的货物减少了，减少了32吨；
（2）解：
，
（元），
因此，这一周要付1340元装卸费．
17．（2024·25七上·湖南娄底·期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量､销量都大幅增加．小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为0．
(1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价格为6.8元/升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.1元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？
【答案】(1)
小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米；
(2)
这七天的行驶费用比原来节省了元．
【分析】
【详解】（1）解：（千米）
答：小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米；
（2）设：汽油车和新能源车行驶七天的费用分别为和，
依据题意可知，
（元）
（元）
节省的费用为，
（元）
答：这七天的行驶费用比原来节省了元．
18．（2024·25七上·山东德州衢新区·期末）滴滴出行给人们的出行带来了很大的便利，“滴滴”快车刘师傅从上午在东西走向的大道上营运，共连续运载批乘客，若规定向东为正，向西为负，刘师傅运载批乘客的里程如下： （单位：千米）， ，， ，，， ，， ， ．
(1)将最后一批乘客送到目的地时，刘师傅在第一批乘客出发地的_______（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？
(2)若汽车每千米耗电度，则上午刘师傅的汽车一共耗电多少度？
【答案】(1)东，千米；
(2)度．
【分析】
【详解】（1）解：所有里程的代数和为：（千米），
∵结果为正，
∴最终位置在出发点的东面，距离千米，
答：东，千米；
（2）解：由题意得，（千米），
∵每千米耗电度，
∴总耗电量为（度），
答：刘师傅的汽车一共耗电度．
【题型5整式加减的应用】
19．（2024·25七上·江苏宿迁泗阳县·期末）年月日，温州市第二中学将迎来第届校园运动会，各个班级紧扣校运会主题“艺文•燃！”，开展班级喷绘设计．小艺负责数字“”的设计，她把边长为的正方形卡纸（如图）剪去两个相同的小长方形，得到一个“2”的图案，且“2”的笔画宽度均为（如图）．
(1)图案“”的周长可表示为 ．（用含字母的代数式表示）
(2)小艺计划沿着图案的边框安装装饰灯，网上装饰灯的单价是元/米．如果正方形的边长为米，笔画宽度为米，则预计需要花费多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】
【详解】（1）解：由所给图形可知，
图案的周长可表示为：．
故答案为：；
（2）由题知，当时，
（米），
则（元），
所以预计需要花费元．
20．（2024·25七上·山东日照·期末）如图，为了方便学生停放自行车，某校建了一块一边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米，门的宽度为米，门无需护栏．
(1)求所需护栏的总长度；（用含的代数式表示）
(2)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需护栏的总费用．
【答案】(1)米
(2)5800元
【分析】
【详解】（1）解：停车场的宽为：(米)，
护栏的长度为：(米)．
（2）解：当，时，
（元），
故建此停车场所需护栏的费用是元．
21．（2024·25七上·山东临沂兰陵县·期末）如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．
(1)求阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和（用含，的代数式表示）．
(2)当，时，求阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和（求出具体的数值）．
【答案】(1)．
(2)
【分析】
【详解】（1）解：设小长方形的长为，则．
∵的一条较短边，的一条较短边，
∴的一条较短边的一条较短边．
（2）解：当，时，原式（）．
22．（2024·25七上·江苏苏州苏州工业园区·期末）现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且．
(1)用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长：
(2)从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由．
【答案】(1)
(2)张或张
【分析】
【详解】（1）根据用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，可得图形如下：
由图可知，正方形的边长为；
（2）需要型长方形卡片：张或张；理由如下：
16张C型卡片可排列成的长方形，或的长方形，或的正方形
所以拼出如下三种情况：
情况一：如图所示：
需型卡片张；
情况二：如图所示：
需型卡片张；
情况三：如图所示：
此时为边长为的正方形，不符合题意；
符合条件的型卡片的张数为张或张．
23．（2024·25七上·山东淄博周村区·期末）A，B两仓库分别有水泥吨和吨，C，D两工地分别需要水泥吨和吨，已知从A，B仓库运到C，D工地的运价如下表．设从A仓库运到C工地的水泥为x吨．
(1)从A仓库运到D工地的水泥为_________吨，从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为_________元；（用含x的代数式表示）
(2)求把全部水泥从A，B两仓库运到C，D两工地的总运输费；（用含x的代数式表示并化简）
(3)如果从A仓库运到C工地的水泥为吨，总运输费为多少元？
【答案】(1)，
(2)元
(3)元
【分析】
【详解】（1）解：∵A仓库有水泥吨，从A仓库运到工地的水泥为吨，
∴从A仓库运到工地的水泥为吨；
又D工地需要水泥30吨，
∴从B仓库运到工地的水泥为吨；
∴运输费用为元；
故答案为：，；
（2）根据题意，得：B仓库往C工地水泥吨，所以总运输费用为：
元，
答：把全部水泥从A、两仓库运到、两工地的总运输费是元；
（3）当时，
（元）
答：总运费为元．
【题型6由整式加减解决整除问题】
24．（2024·25七上·甘肃兰州·期末）（1）一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能够被整除．你能说明其中的道理吗？
（2）末两位是，，，的任何数均能被整除，这是为什么？请解释其中的道理．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
【详解】解：设这个三位数为：，
则：
，
所以只要能被整除，就能被整除；
(2)解：设一个数末两位为，其他位数为，则这个数可表示为．
，，，均能被整除，
能被整除．
又能整除，
能被整除．
末两位是，，，的任何数均能被整除
25．（2024·25七上·广东深圳龙岗区·期末）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征．
【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除．
因为．
显然能被9整除，因此如果能被9整除，那么就能被9整除，所以猜想成立．
(1)【举例说明】请写出一个能被9整除的三位数______；
(2)【迁移运用】设是一个四位数，如果这个四位数能被3整除，那么需满足什么特征，试说明理由．
(3)【类比延伸】若三位数能被11整除，探索、、应满足的条件最正确的是______（填序号）．
①、、均能被11整除②能被11整除③④能被11整除
【答案】(1)108（或，答案不唯一，其他合理答案也可）
(2)能被3整除，理由见解析
(3)④
【分析】
【详解】（1）解：根据如果能被9整除，那么就能被9整除，
，且能被9整除，
则能被9整除的三位数可以是（或，答案不唯一，其他合理答案也可）；
故答案为：；
（2）解：如果这个四位数能被3整除，需满足能被3整除，理由如下：
，
能被3整除，且能被3整除，
能被3整除；
（3）解：
，
能被11整除，且三位数能被11整除，
、、应满足能被11整除；
故答案为：④．
26．（2024·25七上·河南新乡辉县·期末）设是一个四位数．若可以被9整除，则这个数可以被9整除．试说明理由．
【答案】理由见解析
【详解】解：理由如下：
依题意，
∵是整数，
则能被9整除，
∵能被9整除，
∴能被9整除，
∴能被9整除．
即若可以被9整除，则这个数可以被9整除．
27．（2024·25七上·甘肃兰州·期末）已知两个一次式分别是和．
(1)求与的和；
(2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，见解析
【分析】
【详解】（1）解：
；
（2）解：能被6整除，理由如下：
，
为正整数，
是正整数，
能被6整除，
即减去的差能被6整除．
【题型7由整式加减解决图形周长问题】
28．（2024·25七上·内蒙古鄂伦春自治·期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联（阴影部分）装裱后，如图所示，上下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左右的侧边宽相等．若某副对联长为，宽为．
(1)天头长＝______；地头长＝______；侧边宽＝______；
(2)求这幅对联装裱后的周长（用含m、n代数式表示）；
(3)若，，求这幅对联装裱后的面积．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：∵天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，
∴天头长；地头长；侧边宽，
故答案为：，，；
（2）解：装裱后的长，
装裱后的宽，
装裱后的周长；
（3）解：当，时，
答：这幅对联装裱后的面积为．
29．（2024·25七上·贵州六盘水·期末）一条长为的铝条，裁剪一部分围成一个长方形铝框（部分数据如图所示）．
(1)围成长方形铝框的周长是______（用含、的代数式表示）；
(2)若，，探索剩下的铝条是否够围成一个边长为4的正方形，请说明理由．
【答案】(1)
(2)可以围成一个边长为正方形，理由见解析
【分析】
【详解】（1）解：长方形的周长为：；
（2）解：可以围成一个边长为正方形，理由如下：
，
当，时，
，
，
∴可以围成一个边长为正方形．
30．（2024·25七上·江西新余渝水区·期末）【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_______ ；（填“图1”或“图2”）
(2)已知图1中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积；
(3)已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为和，设m为图1裁得的纸盒底面周长，n为图2方式裁得的纸盒底面周长，请求出m、n的值．
【答案】(1)图2
(2)做成的纸盒体积为
(3)，
【分析】
【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2；
（2）解：图1中裁去的小正方形边长为，
做成的纸盒的体积；
（3）解：，
．
31．（2024·25七上·福建莆田仙游县·期末）如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y，请你计算：
（1）第5个正方形的边长= ；第10个正方形的边长= （用含x、y的代数式表示）；
（2）当x、y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长为 ．
【答案】 224
【分析】
【详解】解：（1）通过正方形边长的和差关系推导：
第3个正方形边长：
第4个正方形边长：
第5个正方形边长：
第6个正方形边长：（或由长方形宽的关系推导）
第7个正方形边长：
第10个正方形边长：
故答案为：；．
（2）由边长为正整数，需满足（第10个正方形边长为正）．
第8个正方形边长为：，
第9个正方形边长为：，
∵，
∴，
结合长方形的长和宽：
长：（或由边长关系推导），
宽： ，
则周长为,
当x=5， 时（满足），周长最小，周长最小为．
故答案为：224．
32．（2024·25七上·山西晋城陵川县·期末）如图，某体育公园有一块长为70米，宽为50米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为米，②号区域的形状是长方形．
(1)当时，人行通道的宽度为________米；②号区域的周长________米；
(2)求②号区域的周长（用含的代数式表示）．
【答案】(1)5；110
(2)
【分析】
【详解】（1）解：当时，
人行通道的宽度为：（米），
②号区域的周长：（米），
故答案为：5；110．
（2）解：由题意得：人行通道的宽度为：，
②号区域的长与①号区域的长相同，
∵两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等，
∴②号区域的宽为：（米），
∴②号区域的周长为：（米）．
【题型8解特殊的一元一次方程】
33．（2024·25七上·河南商丘民权县·期末）整体法解方程：．
【答案】．
【分析】
【详解】设，原方程可转化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以，得，
即，
解得．
34．（2024·25七上·江苏扬州·期末）解方程：
【答案】或
【分析】
【详解】解：
∴
∴或
解得：或
35．（2024·25七上·江苏南京鼓楼区·期末）解方程：
【答案】或
【分析】
【详解】解：∵，
，
∴或，
∴或（不合题意，舍去），
∴，
∴或，
∴或（不合题意，舍去），
或．
36．（2024·25七上·福建南平政和县·期末）在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为．
(1)补充求解的过程．
(2)用换元法解方程．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：，
设，则原方程可变形为，
，
，
，
，
，
，
∴，
解得．
37．（2024·25七上·河南商丘宁陵县·期末）阅读下面材料：解方程：，
解：设，则原方程可变形为，解得：
所以，解得：，
以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程：
【答案】
【详解】解：设，则原方程可变为：，
解得：，
∴，
解得：．
【题型9与一元一次方程有关的新定义问题】
38．（2024·25七上·山东菏泽成武县·期末）我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”．
(1)若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ．
(2)若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于的方程与互为“漂亮方程”，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于的方程与互为“漂亮方程”，
∴，
解得，
∴方程为，
解得，
故答案为：．
39．（2024·25七上·辽宁沈阳于洪区·期末）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”．
(1)数对、中，是“相伴有理数对”的是_______；
(2)若是“相伴有理数对”，则的值是________；
(3)若是“相伴有理数对”，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解： ，，
，
，，
成立的一对有理数，为“相伴有理数对，
是“相伴有理数对”的有，
故答案为：；
（2）解：是“相伴有理数对”，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：是“相伴有理数对”，
，
则
．
40．（2024·25七上·湖南衡阳·期末）定义：若，则称x与y是关于m的相关数．
(1)若5与a是关于2的相关数，则 ．
(2)若A与B是关于m的相关数，，B的值与m无关，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：与是关于的相关数，
解得；
故答案为：．
（2）解：与是关于的相关数，，
的值与无关，
，得，
41．（2024·25七上·江苏东台·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为3，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，则关于y的一元一次方程的解为________．
【答案】(1)6
(2)或
(3)2025
【分析】
【详解】（1）解：解方程得，
解方程得，
∵方程与方程是“美好方程”，
∴，
解得；
（2）解：∵“美好方程”的一个解为n，
∴“美好方程”的另一个解为，
∵“美好方程”的两个解的差为3，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：解方程得，
∵方程和是“美好方程”，
∴是方程的解，
∵方程可变形为，
∴，
∴．
42．（2024·25七上·陕西榆林高新区·期末）定义：我们称使等式成立的一对有理数为“相关有理数对”，记为．例如当，时，，，则是“相关有理数对”．
(1)判断是否为“相关有理数对”，并说明理由；
(2)若是“相关有理数对”，求m的值；
(3)若是“相关有理数对”，请你判断是否为“相关有理数对”，并说明理由．
【答案】(1)是“相关有理数对”，理由见解析
(2)
(3)是“相关有理数对”，理由见解析
【分析】
【详解】（1）解： 是“相关有理数对”，理由如下：
依题意，，，
即，
则是“相关有理数对”；
（2）解：是相关有理数对，
，
解得：；
（3）解：是“相关有理数对”，理由如下：
是“相关有理数对”，
，
，，
，
是“相关有理数对”
43．（2024·25七上·安徽合肥蜀山区·期末）定义：如果关于x的一元一次方程的解满足，我们就称这个方程为“梅合方程”．例如：方程的解为满足，方程为“梅合方程”．
(1)若关于x的一元一次方程的解为，问：该方程是“梅合方程”吗？
(2)若关于x的一元一次方程是“梅合方程”，求a的值．
【答案】(1)是
(2)
【分析】
【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为，
，解得，
方程为：，对比标准形式，
，，
，而方程的解，两者相等，
该方程是“梅合方程”；
（2）解：方程为：，对比标准形式，
，，
关于x的一元一次方程是“梅合方程”，
，
将代入，可得，
解得：．
．
【题型10与线段有关的定值问题】
44．（2024·25七上·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______；
(2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值．
【答案】(1)16，
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵数轴上点表示的数为，点表示的数为，
∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是，
故答案为：16，．
（2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是，
∴，
∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
∴点表示的数是，
∴在点到达点之前，，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴为定值．
45．（2024·25七上·安徽宿州萧县·期末）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，C是的中点，且a、b满足．
(1)求点C表示的数；
(2)若点P从A点出发向右运动，点M为的中点，在点P到达点B之前，求证为定值；
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】
【详解】（1）解：
，
点C是的中点，
点C表示的数是；
（2）证明：设点P运动的速度为v，时间是t，则点P表示的数是，
点M为的中点，
点M表示的数是，
，，
，
为定值．
46．（2024·25七上·广西贵港平南县·期末）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，．
(1)求的长；
(2)若点是的中点，用含的代数式表示的长；
(3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值．
【答案】(1)8
(2)当时，；当时，．
(3)是定值，理由见解析
【分析】
【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6，
所以．
（2）解：因为点是的中点，
所以，
则点表示的数是2．
当时，
．
当时，
．
（3）解：设运动的时间为，
则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，
因为的中点为，
所以点所表示的数为．
因为中点为，
所以点所表示的数为，
所以，，，
所以．
47．（2024·25七上·山东菏泽成武县·期末）如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点．
(1)线段是图中哪条线段的长度；
(2)若，求线段的长度；
(3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______；
(4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【分析】
【详解】（1）解：∵点是线段的中点，
∴，
∴；
（2）解：∵点和点分别是线段、的中点，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵点为线段的中点，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）解：由（2）得，．
48．（2024·25七上·四川雅安·期末）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知．
(1)求的值；
(2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由．
【答案】(1)，，．
(2)是定值，值为2
【分析】
【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b，
，，
，
，
，
，
，
，，．
（2）设点P的出发时间为t秒，
由题意得：，，，，，
当时，如图1，
，
，
∴；
当时，此时点Q与点A重合，如图2，

此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧，
，
点E对应的值为，
，
，
，
；
综上，的值是定值，值是2．
【题型11与线段有关的动点问题】
49．（2024·25七上·浙江宁波宁海县·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合）
(1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段；
(2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值；
(3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长．
【答案】(1)10；
(2)；
(3)．
【分析】
【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动．
此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条．
故答案为：10；
（2）解：当点C、D运动了时，，，
，
．
（3）解：设运动时间为t，
则，，
，，
又，
，
即，
，
，
；
∵，
50．（2024·25七上·广东深圳南山·期末）综合运用
【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
【综合运用】
(1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________；
(2)求当___________秒时，两点相遇；
(3)求当为何值时，；
(4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
【答案】(1)8，2；
(2)；
(3)或4；
(4)长度不变化，为4．
【分析】
【详解】（1）解：∵表示，表示，
∴的长度为，
故的长度为，
则中点中点表示的数为
∴中点表示的数为．
（2）解：的长度为，的长度为，
若、点相遇，则，
即，解得．
（3）在、点未相遇的情况下：
，
若，即，
解得；
在、点相遇后的情况下：
，
若，即，
解得；
故当的值为或时，．
（4）解：当点未经过点时：
，，
为的中点，点为的中点，
∴，，
点在、之间，
故；
当点经过点后：
，，
为的中点，点为的中点，
∴，，
点在、之间，
故；
所以长度不会发生变化，的长度始终为．
51．（2024·25七上·山东济南历城区·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则．
(1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______．
(2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为．
①请用含有的代数式分别表示和．
②当为何值时，．
③若线段的中点为，直接写出时的值．
【答案】(1)2
(2)①，或；②或；③或
【分析】
【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和，
∴，即
∴
（2）解：①依题意，，或
∴，或
②∵
∴或
解得：或；
③相遇时，
当时，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：
当时，如图所示，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
点的速度大于的速度，当时，
当点在点的右侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
当点在点的左侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴．
解得：．
综上所述，的值为或．
52．（2024·25七上·河南新乡辉县·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）
(1)若，当点C、D运动了，求的值．
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________．
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或1
【分析】
【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，，
，，，
．
（2）解：设运动时间为t，
则，，
，，
又，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：当点N在线段上时，如图
，
又，
，
，即．
当点N在线段的延长线上时，如图：
，
又，
，即．综上所述的值为或．
【题型12三角板中的角度计算】
53．（2024·25七上·黑龙江哈尔滨·期末）把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，．
(1)求图1中的度数；
(2)如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
54．（2024·25七上·云南文山·期末）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方．
(1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______；
(2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数；
(3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵恰好平分
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
55．（2024·25七上·广东佛山顺德区·期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，同学们以一个固定的角和一个直角三角板为背景，探究有关角的问题，将直角三角板的角的顶点与的顶点重合，三角板其余两边记为、，其中是的平分线．
(1)特例分析：如图1，在的内部，若，则的度数为____________；
(2)拓展探究：在图1的基础上，将三角板绕点顺时针旋转，使得在的外部，在的内部，其余条件不变，如图2所示．蔡蔡提出如下问题，请你解答：判断和的数量关系，并说明理由；
(3)深度思考：受到蔡蔡的启发，璐璐将图2中的三角板绕点顺时针旋转一周，并进行了如下思考：当三角板旋转到的外部时，请直接写出与存在的数量关系．请完成璐路的思考（均指小于平角的角）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）解：，，
，
，
平分，
，
；
故答案是：．
（2）解：，理由如下：
设，则，
平分，
，
，
，
；
（3）解：设，则，
平分，
，
，
．
56．（2024·25七上·广东清远英德·期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
(1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则___________；
(2)如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
(3)将三角板绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：，是的角平分线，
，
，，
即；
（3）解：如图，

∵，
，
，
，
，
，
，
；
∴
的度数为
57．（2024·25七上·内蒙古包头固阳县·期末）综合与探究
问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转．
计算与观察：
（1）①若，则的度数为___________
②若，则的度数为___________．
猜想与证明：
（2）猜想与有何数量关系？请说明理由．
拓展与运用：
（3）若射线平分，且，直接写出的度数．
【答案】（1）①②（2），理由见解析（3）
【分析】
【详解】解：（1）①，，
，
；
②，，
，
；
故答案为：，；
（2），理由如下：
，
，
；
（3）∵，
设，则，
由（2）知
，
，
∵射线平分，
∴，
∴．
【题型13几何图形中的角度计算】
58．（2024·25七上·辽宁大连瓦房店·期末）已知：O是直线上的一点，是直角，平分．

(1)如图1，若．则 ________°．
(2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)；
(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)15
(2)
(3)，见解析
【分析】
【详解】（1）解：∵是直角，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：∵是直角，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：．
（3）解：．理由如下：
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
59．（2024·25七上·河北保定曲阳县·期末）如图，，，，．求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
60．（2024·25七上·广东佛山高明区·期末）已知内部有三条射线，其中，平分，平分．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)若将题中的“平分”的条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
同理，，
∴（）；
（3）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
61．（2024·25七上·江苏扬州·期末）如图点为直线上一点，射线与点在直线的同一侧，且点在内部．
(1)请按要求进行尺规作图：作射线，并在内部作，使得（不写作法和结论，只保留作图痕迹）．
(2)小风发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程．
解：（已知），
．
① ．
② ，（已知）
．（角平分线的定义）
又（邻补角的定义），
③ ④ ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②平分；③；④90
【分析】
【详解】（1）解：如图，即为所求作的角；
（2）解：∵（已知），
∴，
∴，
∵平分，
∴，（角平分线的定义）
又∵，（邻补角的定义）
∴．
故答案为：①；②平分；③；④90．
62．（2024·25七上·河南商丘梁园区·期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点．
(1)若，则 ．
(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由．
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线，分别平分和．
①若，，求的度数；
②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系，直接写出你的结论．
【答案】(1)12
(2)线段EF的长度不变，理由见解析
(3)①；②，理由见解答过程
【分析】
【详解】（1）解：，，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
故答案为：12．
（2）解：线段的长度不变，理由如下：
设，则，
，分别是，的中点，
，，
；
（3）解：设，，，
射线，分别平分和，
，，，，
，，
①，，
，，
，
；
②，和三个角之间的数量关系是：，理由如下：
，
，
又，
．
【点睛】此题主要考查了线段中点的定义，角平分线的定义，线段的计算，角的计算，准确识图，理解线段中点的定义，角平分线的定义，熟练掌握线段的计算，角的计算是解决问题的关键．
1．【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟．
【问题提出】
（1）①巴黎和北京时钟上时针与分针所成角的度数分别为 ， ；
②每经过一分钟，时针转过多少度？分针转过多少度？
【问题推广】
（2）如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度．
【答案】（1）①，；②每经过一分钟，时针转过，分针转过；（2）
【分析】
【详解】解：（1）①∵表盘一周表示的角，钟表上有12个数字
∴每两个数字与表的中心所成夹角为，
∴巴黎时间时针与分针的夹角是；
北京时间时针与分针的夹角是；
故答案为：，；
②由①可知，时针每60分钟转过，分针每5分钟转过，
则每经过一分钟，时针转过，分针转过；
答：每经过一分钟，时针转过，分针转过．
（2）由（1）可知，依题意得，，，
，
平分，平分，
，，
．
2．2024年11月10日，郑州市人工智能机器人锦标赛在郑州举行．某中学开展了“人工智能机器人”知识网上答题竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表：
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了_____名学生，_____，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为______度；
(3)人工智能在跨境电商发展中起到关键作用，该校同学查阅到某数据中心给出的202019·2025年中国跨境电商出口规模及预测图，哪一年的同比增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条．
【答案】(1)；，作图见解析
(2)
(3)年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长
【分析】
【详解】（1）解：本次共调查学生（名），
（名），
补全图形如下：
故答案为：；；
（2）扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为，
故答案为：；
（3）从年中国跨境电商出口规模及预测图中发现，年的同比增长率最高；从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长．
3．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足．
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)如图1，点与点之间的距离表示为，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，、之间的距离为2，请求出的值；
(3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．请问、两点有没有可能在上坡或下坡时上相遇，若有可能，请直接写出相遇点所表示的数为__________．
【答案】(1)；8；16
(2)或
(3)
【分析】
【详解】（1）解：，
，，
解得：，，
，，
，
．
故答案为：；8；16．
（2）解：由（1）可知，，，，
点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，
当时，
或
∴或
即当为或时，、之间的距离为．
（3）解：由题意得：、、、，
点P运动到点O时，所需时间为，运动到点B的时间为，运动到点C的时间为；
点Q运动到点C的时间为，运动到点B的时间为，运动到点O的时间为，
∴、两点有可能在上坡时相遇，即在线段上相遇，
∴，
解得：，
∴相遇点所表示的数为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化．
4．【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数3721表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数10000转化为十进制数为：．
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数10111转换为十进制数为______；其他进制也有类似的算法．
(2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满4进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？
【答案】(1)23
(2)30只
【分析】
【详解】（1）解：将二进制数10111转换为十进制数为；
（2）解：∵满4进1，图示表示的四进制数为132，
∴转化为十进制数为，
他所放牧的羊的只数是30只．
5．定义：若，则称与是关于数的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数．与是关于的伴随数．
(1)填空：2024与____是关于的伴随数，____与是关于5的伴随数；
(2)若与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数，求的值；
(3)现有与（为常数）始终是数的伴随数，求的值．
【答案】(1)2025，
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴2024与2025是关于的伴随数，与是关于5的伴随数，
故答案为：2025，；
（2）解：∵与是关于2的伴随数，与是关于的伴随数，与是关于6的伴随数，
∴，，，
∴
；
（3）解：
，
∵与（为常数）始终是数的伴随数，
∴，
∴的值与无关，
∴，
解得，
∴．
6．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知两家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠：
A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠；
B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）；
(1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付_________元．
若在B店铺5条被子作一单购买，需支付_________元．
(2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买）
【答案】(1)3200，3190；
(2)在A店铺需支付：元；在B店铺需支付：元．
【分析】
【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元），
在B店铺5条被子作一单购买，需支付：（元），
故答案为：3200，3190；
（2）解：在A店铺a条被子作一单购买，需支付：（元），
在B店铺a条被子作一单购买，需支付：．
7．一个四位自然数，其中千位数字是个位数字的两倍，百位数字与十位数字之和为10，则称这个四位数为“倍和数”，记，例如：四位数6193，因为，，所以6193是“倍和数”，；四位数8154，，，所以8154不是“倍和数”
(1)请判断6423，4552是否是“倍和数”，并说明理由；
(2)若是“倍和数”，的两倍与的各位数字之和能被11整除，请求出这个四位数．
【答案】(1)6423不是“倍和数”，4552是“倍和数”．
(2)2551、4282、8734
【分析】
【详解】（1）解：，
∴6423不是“倍和数”，
，
∴4552是“倍和数”；
（2）设，
∵是“倍和数”，
∴，
∵的两倍与的各位数字之和能被11整除，
又∵
，
∴能被11整除，
由题意可知：，，且均为整数，
∴当时，，此时，；
当时，，此时，；
当时，，此时，；
综上：这个四位数可以为：2551、4282、8734．
8．已知O为直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________．
(2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由
(3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系．
【答案】(1)，，
(2)存在，
(3)
【分析】
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
∴，
故答案为：，，；
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
设，则，，
∵平分，
∴，
∴，
即．
9．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是13．
(1)求的长；
(2)点是数轴上一点，且，求点在数轴上表示的数；
(3)点表示原点，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点，分别从点，出发分别以每秒6个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．当点，，三点中，有一个点到另两个点的距离相等时，求的值．
【答案】(1)
(2)3或
(3)1或28
【分析】
【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数是，点表示的数是13，
∴；
（2）解：①当在线段上时，如图：
，
，
点表示的数为；
②当在的左边时，如图：
，
是的中点，
，
点表示的数为；
故点在数轴上表示的数是3或；
（3）解：经过时间t秒，P对应的数为，Q对应的数为，R对应的数为．
①当时，如图：
则，解得；
②当时，如图：
则，解得；
故t的值为1或28．
10．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
素材一：如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材二：动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时，速度变为初始速度的；当运动到点B与点C之间时，速度变为初始速度的3倍；经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决：
(1)动点P从点A运动至点B需要________秒；
(2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间．
【答案】(1)15
(2)
(3)13秒或17秒
【分析】
【详解】（1）解：根据题意，得，速度为3个单位长度，
故运动时间；
又，速度为个单位长度，
故时间；
故，
故答案为：15；
（2）解：根据题意，动点P在点B和点C之间运动时间为，速度为个单位长度，此时运动路程为个单位长度，
故点P表示的数为，且在B，C之间运动时间为，此时，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
当点P在之间运动时，，不符合题意；
当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，
此时运动路程为，此时点P表示的数为，，,
根据题意，得，
解得，符合题意；
当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，
此时，此时不符合题意；
当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，此时点P表示的数为，，,
根据题意，得，
解得，符合题意；
故点P运动13秒或17秒时，满足
【题型1化简绝对值求最值问题】
【题型8解特殊的一元一次方程】
【题型2数轴上的动点问题】
【题型9与一元一次方程有关的新定义问题】
【题型3有理数运算的规律探究】
【题型10与线段有关的定值问题】
【题型4有理数运算的实际应用】
【题型11与线段有关的动点问题】
【题型5整式加减的应用】
【题型12三角板中的角度计算】
【题型6由整式加减解决整除问题】
【题型13几何图形中的角度计算】
【题型7由整式加减解决图形周长问题】
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程
0
到C工地
到D工地
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每吨元
每吨元
B仓库
每吨元
每吨9元
组别
A
B
C
D
成绩（x/分）
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