四川省泸州市泸县2026年中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省泸州市泸县2026年中考一模数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了全卷分为第I卷两部分，共4页等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟．
2．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试和答题卡一并交回．
3．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
第I卷（选择题共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1. 下列各选项是方程的解的是（ ）
A. 1B. C. 2D. -2
2. 从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
4. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴为直线
C. 最小值为1D. 当时，随的增大而增大
5. 若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A. 3：4B. 4：3
C ：2D. 2：
6. 如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（ ）
A. 74°B. 45°
C. 55°D. 51°
7. 如图，，与相交于点O，若，，则的长为（ ）
A 9B. 8C. 6D. 4
8. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
9. 如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（ ）
A B. C. D.
11. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，与交于点，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共102分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 抛物线的顶点坐标是___________．
14. 一元二次方程的两根为，则___________．
15. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为___________．
16. 中，，，．把它沿边所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是___________

三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
18. 解方程：．
19. 化简（+a﹣2）÷ ．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20. 计算：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积．
22. DeepSeek横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）
23. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为元/件时，第一周销售件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到件．
（1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
（2）经市场预测，在售价不变情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？
24. 如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．
（1）求证：是的切线：
（2）若，求切线的长．
25. 综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值．
泸县初中2023级第一次学业水平模拟考试
数学试题
注意事项：
1．全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟．
2．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试和答题卡一并交回．
3．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
第I卷（选择题共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置）
1. 下列各选项是方程的解的是（ ）
A. 1B. C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
利用因式分解法进行求解即可．
【详解】解：


故选B．
2. 从这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查概率公式和无理数的判断，需准确识别无理数个数，解题的关键是熟练掌握无理数的概念即无限不循环小数．
先找出无理数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：这5个数中无理数有和，
∴抽到无理数的概率是，
故选：B．
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：A．
4. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 开口向上B. 对称轴为直线
C. 最小值为1D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
5. 若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A. 3：4B. 4：3
C. ：2D. 2：
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2.
故选C
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
6. 如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（ ）
A. 74°B. 45°
C. 55°D. 51°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
根据第一张图先求出边的对角，再结合全等三角形的性质可得出的度数．
【详解】解：由第一张图先求出边的对角为，
∵两个三角形为全等三角形，
第二张图中的对角为，
即，
故选D．
7. 如图，，与相交于点O，若，，则的长为（ ）
A. 9B. 8C. 6D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
8. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的计算公式是关键．
一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，计算判别式并求解方程．
【详解】解：∵ 方程 有两个相等的实数根，
∴ 判别式 ，即 ，
∴，
解得，．
故选：B．
9. 如图，四边形内接于，为的直径，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径对直角求解即可．
【详解】解：四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故选：C．
10. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正六边形与圆的相关计算，涉及等边三角形的判定和性质，连接，过点O作于点G，先证明为等边三角形，再求出的面积，根据正六边形的面积为6倍的面积，求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】如图，连接，过点O作于点G，
∵正六边形的中心角，
∴等边三角形，
∴，
中，，
∵，
∴，
∴，
∴圆内接正六边形的面积为，
故选：B．
11. 如图，将绕点逆时针方向旋转得到，与交于点，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，．
，，
，
由三角形的外角性质可知，．
，
．
故选B．
12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入，得：，
将代入，得：，
设，如图：

联立，
整理得：，
当时，抛物线与直线有两个交点，即，
解得：，
当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得：，
把代入，得：，
，
解得：，
，
故选：B．
第II卷（非选择题共102分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 抛物线的顶点坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，熟练掌握一般式化顶点式的过程是解题关键．
通过配方法将一般式转化为顶点式来求解．
【详解】解：，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
14. 一元二次方程的两根为，则___________．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了根与系数关系定理，完全平方公式的变形计算，熟练掌握定理是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，．
∴．
故答案为：11
15. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的平移问题，熟练掌握平移口诀是解题关键．
根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”进行变换．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度，得到 ．
故答案为：．
16. 中，，，．把它沿边所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为______．
【答案】36π
【解析】
【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可．
【详解】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
∴AB＝5，
Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，
所以所得到的几何体的全面积＝π×422π×4×5＝36π．
故答案为36π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是___________

【答案】3
【解析】
【分析】结合垂径定理以及与坐标轴的交点来判断三角形和三角形都是等腰直角三角形，由等腰三角形的三线合一得，，由三角形三边关系得：，当P、O、Q共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可．
【详解】解：作于Q，连接、、，如图：

∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
由得，
当时，；当时，
即点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是的中线，
则，
由三角形三边关系得：，
由题得，当P、O、Q共线时，此时，最大，
∵P为中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了圆的相关知识点的应用：垂径定理，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点坐标；综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，利用因式分解法求解可得．
详解】解：，
，
，
∴或，
．
19. 化简（+a﹣2）÷ ．
【答案】
【解析】
【详解】分析：首先将括号里面的部分进行通分，再利用完全平方公式、平方差公式进行化简，之后进行约分即可.
详解：原式=•
=
点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算、二次根式的加法等知识，熟练掌握二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂是解题的关键．先化简二次根式，计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加法即可．
【详解】解：
，
．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于原点对称的；
（2）将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析，．
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换，勾股定理，扇形面积计算，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据中心对称的性质作图即可；
（）根据旋转的性质作图即可，利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
由网格可得，
∵，
∴线段旋转过程中所扫过的面积为．
22. DeepSeek横空出世，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
【答案】（1）50，
（2）见解析 （3）全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为人
（4）
【解析】
【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键．
（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，
（2）求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可；
（3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可；
（4）列表，根据列表共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，用概率公式计算所选的两位同学恰为甲和丙的概率即可．
【小问1详解】
解：本次共抽取了（名）学生模型设计成绩，
组所对应圆心角的度数为．
故答案为：50，；
【小问2详解】
补全频数分布直方图如图所示．
【小问3详解】
全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为（人）；
【小问4详解】
列表如下：（或画树状图）
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分）
23. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，当该坦克模型售价为元/件时，第一周销售件，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到件．
（1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
（2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场可获得最大利润，最大利润为多少？
【答案】（1）第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为
（2）当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．
（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，根据题意列出方程求解的值即可；
（2）设该坦克模型每个的售价降价元，根据题意利润与函数关系式，根据函数开口方向以及函数顶点坐标判断最大利润所对应得值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，
依题意，得：，
解得：或（舍去），
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%．
【小问2详解】
解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元，
依题意，得：，
整理得，
∵
∴当时，有最大值，为，
答：当该坦克模型每件降价1元时，商场第四周销售该坦克模型可获最大利润元．
24. 如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．
（1）求证：是的切线：
（2）若，求切线的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解；
（2）由三角形的中位线得到，，
在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解，
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键．
25. 综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值．
【答案】（1）；
（2），；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质．
（1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式；
（2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为；
（3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值．
【小问1详解】
解：把点和点的坐标代入，
得到：，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如下图所示，过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
整理得：，
可知当时，的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点的坐标为；
【小问3详解】
证明：设直线的解析式为，
解方程组，
可得：，
整理得：，
一元二次方程中，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为、，
则有，
是一个定值．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）