上海市静安区2025-2026学年上学期初三一模数学试卷（原卷版+解析版）

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（满分150分，用卷时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A. 两个直角三角形B. 两个矩形
C. 两个等腰梯形D. 两个正五边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、两个直角三角形不一定相似，该选项不符合题意；
、两个矩形不一定相似，该选项不符合题意；
、两个等腰梯形不一定相似，该选项不符合题意；
、两个正五边形所有内角均为，对应角相等；所有边成比例，故一定相似，该选项符合题意；
故选：D．
2. 如果将抛物线向下平移若干个单位，那么下列结论中错误的是（ ）
A. 顶点坐标不变B. 开口方向不变
C. 对称轴不变D. 与轴交点个数不变
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：设抛物线的顶点式为，向下平移个单位，则平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的解析式为，
∴平移后抛物线的顶点坐标为，
∴顶点坐标发生变化，故选项错误；
∵的值不变，
∴抛物线开口方向不变，故选项正确；
∵平移后抛物线的顶点坐标为，
∴平移后抛物线的对称轴为直线，与平移前的相同，故选项正确；
∵当时，对应的值只有个，
∴平移前后抛物线与轴的交点个数都是，故选项正确；
综上，结论中错误的是，
故选：．
3. 已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中能判定与相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定，掌握各判定定理的内容是关键；选项C中可转化为，且为公共角，满足三角形相似的判定条件，因此；其他选项均因对应边或夹角不匹配而不能判定相似.
【详解】解：∵点、分别在边、上，
∴（公共角）．
对于选项C：∵ ，即，且，
∴．
对于选项A：，但与的对应关系不明确，且夹角不一定是公共角，故不能判定相似．
对于选项B：，类似地，对应边和夹角不匹配，不能判定相似．
对于选项D：，但的夹角为，的夹角为，夹角不相等，故不能判定相似．
因此，能判定相似的是C．
故选：C．
4. 已知一个三角形三边之比为，与它相似的另一个三角形最短边的长为，那么另一个三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例，可得新三角形三边比也为，进而根据新三角形最短边为新三角形的其他两边长，再相加即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵相似三角形对应边成比例，且原三角形三边比，
∴新三角形三边比也为，设新三角形三边分别为、、，
∵新三角形的最短边，
∴，
∴新三角形的另两边长分别为，
∴新三角形的周长为，
故选：B．
5. 已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数函数值大小的比较；通过计算抛物线在各点的函数值，比较大小关系．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴，
，
，
∵ m为常数，
∴．
故选：B．
6. 如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．首先求出的半径的取值范围为，再根据两圆的圆心距是10，分内切和外切两种情况进一步即可求出答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，，
∴，
∵点在内，点在外，
∴的半径的取值范围为，
当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即，
∴，
解得，
当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即，
∴，
∴，
综上可知，的半径的取值范围是或，
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知，则，则______．
【答案】
【解析】
【分析】直接用同一未知数表示出、的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．
8. 二次函数的图象与轴交点坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点坐标，把代入函数解析式求出的值即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴二次函数的图象与轴交点坐标是，
故答案为：．
9. 已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式；根据二次函数顶点坐标公式，结合最低点条件，确定解析式形式，进而即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图像最低点坐标为，可知顶点为，且抛物线开口向上，即．
设二次函数解析式为，其中为顶点坐标，
代入，得．
取，得．
故答案为．
10. 二次函数的部分对应值如下表：
当时，对应的函数值______．
【答案】-8
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性根据表中数据即可求出答案．
【详解】∵x=﹣3和x=5时，y=7，
∴对称轴，
∴x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，
∵x=0时，y=﹣8，
∴x=2时，y=﹣8，
故答案为：﹣8．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，要求掌握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点．
11. 如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理直接解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图，已知中，点在边上，，那么_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴或（不符合题意，舍去），
经检验，是所列方程的解，
∴．
故答案为：．
13. 如图，已知点是的重心，点，分别在边、上，线段经过点，且，设，，那么用向量、表示向量为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，重心的性质等知识，求出，再根据相似三角形的判定和性质证明，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
连接并延长交于点，
∵点是的重心，
∴
∵点，分别在边、上，线段经过点，且，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：
14. 传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面2.5米高的地方，那么该物体所经过的路程是________米．
【答案】6.5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、坡度问题；根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为1:2.4，已知垂直高度为2.5米，可求水平距离，再利用勾股定理求斜坡长度．
【详解】解：由坡度，如图，垂直高度米，
则水平距离满足，即，
解得（米）．
斜坡（米）．
故答案为：6.5．
15. 已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解．
【详解】解：圆心到x轴的距离为，
由于圆与x轴无公共点，
故圆心到x轴的距离大于半径，即；
圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点，
故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即；
因此，r的取值范围是．
故答案为：．
16. 如图，已知平行四边形中，点在边上，，射线交于点，交射线于点，那么________．（结果化为最简整数比）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，，
∴，
∴；
故答案为： ．
17. 如图，中，，，是中线，那么的值是________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角函数等知识．
作于点E，作于点F，由三线合一得，由勾股定理得．证明可求出，，然后根据求解即可．
【详解】解：作于点E，作于点F，
∵，，
∴．
∴．
∵是中线，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
18. 如图，等边中，点、分别在边、上，，交于点于点．如果，且的长为，那么等边的边长为________．（结果用含的代数式表示）
【答案】
【解析】
分析】过点作于点，证明，则．，求出，得到，，．得到，证明，得到，得到，设，则，再根据等积法列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，
∵为等边三角形，
∴，
在和中
，
∴，
∴．，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且的长为，
∴，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴
解得（不合题意，舍去）
∴等边的边长为
故答案：
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是关键；由特殊角的三角函数值及二次根式的运算即可求解．
【详解】解：原式
．
20. 如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线，依据作图痕迹：
（1）判断下列结论正确的是_________．
①；②；
③．请填写编号）
（2）如果，求的长．
【答案】（1）①③ （2）
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可判定①正确；无法判定②正确；证明，得出，即可判定③正确；
（2）设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，，根据，得出，根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：①根据作图可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵E点不一定是的中点，
∴不一定垂直平分，
∴不一定等于，故②错误；
③根据作图可得平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上，正确的有①③；
【小问2详解】
解：∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
根据解析（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，尺规作垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
21. 如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、．
（1）求证：；
（2）连接、，如果，，，求小圆半径的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证；
（）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解；
本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
即；
【小问2详解】
解：如图，连接、，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
中，∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
即小圆半径的值为．
22. 问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点处的仰角为，8秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点处，测得仰角为，15秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点、、在同一个垂直于地面的平面内．你能依据所提供数据，求出、两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为340米/秒）
分析解决
（1）建立模型：小海画出示意图，表示地面（如图所示），他将雷声传播速度米/秒记作，得到，请根据他的思路，求出之间的距离是多少米．
（2）反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点、的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）米．
（2）存在，图见解析，米．
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）证明，利用勾股定理即可求出答案；
（2）根据题意可画出图形，如图，过点作于点，求出，，再利用勾股定理即可求出之间的距离．
【小问1详解】
解：由题意可知，，
∴，
在中，
∴，
∵雷声传播速度米/秒记作，
∴（米），
即之间的距离是米．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，则，
在中， ，
∴，，
∴，
∴，
∵雷声传播速度米/秒记作，
∴（米），
即之间的距离是米．
23. 探究活动：“奇异四边形”的特征值．如果一个四边形的四条边和两条对角线这6条线段中只有两种不同的长度，我们把这样的四边形叫做“奇异四边形”，其中较短线段与较长线段长度的比值称为特征值，记作．例如，如图所示，四边形中，，，我们就可将它称为奇异四边形，它的特征值为与的比值．请解答：
（1）正方形是奇异四边形吗？________；如果是，它的特征值为_______；如果不是，请说明理由．
（2）请构造一个符合奇异四边形特征的梯形，画出这个梯形的草图，写出在四条边和两条对角线中相等的线段，并求出它的特征值．
【答案】（1）是，
（2）作图见详解，
【解析】
【分析】本题考查了奇异四边形的理解与应用，正方形的性质及相似三角形的判定与性质．
（1）根据题意画出正方形，得出，，从而求得特征值；
（2）根据题意可画出梯形，其中，，设，利用等腰三角形的性质求得，从而证得，利用相似三角形的性质设，，列出线段比例方程求解x的值，此时x的值即为特征值．
【小问1详解】
解：如图，在正方形中，
，，
∴符合题中的奇异四边形定义，
∴特征值，
故答案为：是，．
【小问2详解】
解：如图所示，梯形即为所求，
其中，，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
∴．
24. 已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线．
（1）求证：抛物线的顶点在直线上．
（2）如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接．
①试说明：；
②当为等边三角形时，求的值及的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②，
【解析】
【分析】（）把函数解析式转化为顶点式，求出顶点的坐标，进而代入一次函数解析式即可求证；
（）①求出点和点坐标，连接，可得，即得，进而即可求证；②由点和点坐标可得，进而由等边三角形和平行线的性质得到，，又由点、得，由锐角三角函数得，即得，得到，再分和两种情况，分别画出图形，根据正弦的定义解答即可求解；
本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的几何应用，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴顶点，
把代入直线，得，
∴抛物线的顶点在直线上；
【小问2详解】
①证明：令，得，
即，
∵，
∴，
解得，，
∴，
把代入，得，
∴，
连接，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
②∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
当时，，，
如图，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，则，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当时，，，
如图，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，则，
同理可得；
综上，，．
25. 在中，，已知射线在内部，射线与射线在边的两侧，，点、分别在射线、上，．
（1）如图，连接、，求证：．
（2）如果平分，线段与边的公共点为，，，，求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果，垂足为点，且，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（）分别证明和，得到和，进而即可求证；
（）过点作于，由已知可得，，即得，，进而得到，，再利用即可求解；
（）分点在点下方和上方两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解；
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点作于，则，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
【小问3详解】
解：当点在点下方时，如图，过点作于，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得；
当点在点上方时，如图，
则，
同理可得；
综上，的长为或．x
…
－3
－2
0
1
3
5
…
y
…
7
1
－8
－9
－5
7
…