【数学】四川省泸州市2025-2026学年高二上学期期末质量检测试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
2. 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 双曲线：的左、右焦点分别为，，是上一点，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
4. 设，是一个随机试验中的两个事件，且与相互独立，若，，则（ ）
A. 0.2B. 0.5C. 0.7D. 0.9
5. 三棱锥中，点，分别为，的中点，记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽车在这两处遇绿灯的概率分别是，，假设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两处恰好遇到一次红灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 是圆：上的动点，为直线：上的动点，定点，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，，则（ ）
A. 恒过定点B. 若，则
C. 若，则D. 的倾斜角可能为0
10. 如图，正方体的棱长为2，点在线段上运动，则（ ）

A. 存在点，使得
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与所成的最小角为
D. 点到直线距离最小值为
11. 在平面直角坐标系中，过抛物线焦点的直线与相交于，两点，过作的垂线交直线于点，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 椭圆的一个焦点坐标是，则的值为______.
13. 从小到大依次排列四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______.
14. 斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于两点，且，求实数的值.
16. 为了深入开展安全教育，普及安全文明知识，某中学随机抽取1000名学生进行安全文明知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）请估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）和上四分位数（结果保留整数）；
（2）现从，两组中采用按比例分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求2人来自不同两组的概率.
17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，为的中点，是棱上的点.

（1）证明：；
（2）若，，，且与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知双曲线：离心率为，焦点到的渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）若垂直于轴的直线与的右支相交于，两点，已知点，直线和的左支交于点.
（ⅰ）若，是坐标原点，求直线的方程；
（ⅱ）求证：直线过定点.
19. 已知椭圆：，其右顶点为.
（1）已知是上动点，求到直线距离的最大值；
（2）过点的直线与相交于，两点（均不与点重合）.
（ⅰ）判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）求的外接圆圆心的轨迹方程.