2025-2026学年河北省邢台市九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年河北省邢台市九年级上册12月月考数学试卷 [附答案]，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（ ）
A．甲对B．乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都不对
2．已知的半径为3，点O到直线l的距离为4，则下列能够反映直线l与位置关系的图形是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ）
A．B．C．D．
4．下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（ ）
A．《 朝花夕拾》的总页数一定，已读的页数与未读的页数
B．圆柱的体积为时，圆柱的底面积与高
C．计划用50元购买笔记本和签字笔，购买笔记本的金额与购买签字笔的金额
D．时间一定，路程与速度
5．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
6．在中，，若的三边都放大2倍，则的值（ ）
A．缩小2倍B．不变C．放大6倍D．放大2倍
7．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
8．若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数的图象于点B，交函数的图象于点C，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．将一组数据1，2，3，4，5增加一个数3，则新的一组数据的（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大
C．平均数不变，方差变小D．平均数不变，方差变大
11．如图，正方形网格中每个小正方形边长为3，点A、B、C都在格点上，分别与网格线交于点D、E，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
12．对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ）
A．只有甲答案对B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
二、填空题
13．在反比例函数中，其比例系数k是 .
14．某篮球队10名队员的年龄情况如下：
已知该队队员年龄的中位数为岁，则众数是 岁．
15．如图，是的直径，，在上，若，则的度数为 （度）．
16．如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为 m．
三、解答题
17．爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?
18．已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
（1）若是该方程的一个实数根，求m的值；
（2）当时，求该方程的实数根．
19．尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．
20．如图，是的两条弦，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）连接，作直线，求证：．
21．【实验与探究】
在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格：
（1）小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式；
（2）当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离；
（3）已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点、在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图象相交于、两点，且点的坐标为，点的坐标为．点在反比例函数的图象上（点不与点、重合），其横坐标为．
（1）求的值；
（2）连接、，当的面积是该矩形面积的一半时，求点的坐标．
23．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）当时（如图2），求的长；
（3）若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积．
24．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝ ；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O′，点F的对应点为F′，设M为半圆O′上一点．
①当点F′落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O′交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O′与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O′与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是做题的关键．根据弧，半圆和等弧的定义进行分析解答即可．
【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确；
等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误，
说法正确的是甲．
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌圆与直线位置关系的判断是解题的关键．根据题意可知，点O到直线l的距离为4大于半径，故直线l与相离即可得到答案．
【详解】解：的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，所以直线l与⊙O相离，
故选 D．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
滑梯斜面的坡度，
，
，
，
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查正比例和反比例关系，根据两个量的积为定值时，两个量成反比例关系，进行求解即可．
【详解】解：A、《 朝花夕拾》的总页数一定，已读的页数与未读的页数的和为定值，不成反比例关系，不符合题意；
B、圆柱的体积为时，圆柱的底面积与高的积是定值，成反比例关系，符合题意；
C、计划用50元购买笔记本和签字笔，购买笔记本的金额与购买签字笔的金额的和为定值，不成反比例关系，不符合题意；
D、时间一定，路程与速度的比值一定，成正比例关系，不符合题意；
故选B．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象．由图知反比例函数的图象在一、三象限，故不在图象上．
【详解】解：∵恰有三点在反比例函数的图象上，
∴由图知反比例函数的图象必经过第一象限的P，Q两点，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
又∵在第二象限，
∴四个点中点不在函数的图象上．
故选D．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了正弦函数的定义．
根据正弦函数的定义，等于的对边与斜边的比值，当三边都放大相同倍数时，比值不变．
【详解】解：∵在中，，
∴．
∵的三边都放大2倍，
∴与的比值不变，
∴的值不变．
故选B．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可．
【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心．
故选A．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
利用反比例函数的图象性质进行比较即可．
【详解】解：∵，图象经过一三象限，在每一象限内随的增大而减小，
∵，
∴，
∵在第一象限，在第三象限，
∴，
∴，
故选D．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解决此题的关键是要能够根据两点的坐标求得两点之间的长度，再求出的值即可．
【详解】解：设，
是函数的图象上的一点，是函数的图象上的一点，
，，
，，
，
，
，
故选C．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．
根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，从而做出判断．
【详解】解：∵原数据的平均数为，
∴方差为；
∵新数据的平均数为，
∴方差为
∴新数据与原数据相比平均数不变，方差变小．
故选C．
11．【正确答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定等知识﹒如图，根据题意得到，即可证明，进而得到，证明，得到，即可求出﹒
【详解】解：如图，
由题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴﹒
故选B
12．【正确答案】C
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当时，则，此时；②当时，则， ，此时；③当时，过点作于点，则，，此时；综上所述即可得出答案．
【详解】解：依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况：
①当时，如图1，
∵为等腰直角三角形，
．
在，．
②当时，如图2，
∵为等腰直角三角形，
．
，
．
在中，．
③当时，过点作于点，如图3，
∵为等腰直角三角形，
．
，
．
在中，．
综上所述，或或．
故选C．
13．【正确答案】/
【分析】根据反比例函数的定义求解即可.
【详解】∵，
∴在反比例函数y＝－中，其比例系数k= .
14．【正确答案】21
【分析】根据题意，第5个数据21，第6个数据22的平均数为中位数岁，故，继而确定众数，解答即可．
本题考查了中位数，众数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，第5个数据21，第6个数据22的平均数为中位数岁，
故，
故众数为21岁.
15．【正确答案】110
【分析】本题考查了圆的半径性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是通过连接辅助线，利用等腰三角形求出相关角的度数，再借助圆内接四边形对角互补推导结果．
连接，由（圆的半径相等）可知为等腰三角形，结合的度数求出；再根据圆内接四边形对角互补的性质，结合与的关系求出．
【详解】解：连接，
∵的半径），
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴.
16．【正确答案】4
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可．
【详解】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴.
17．【正确答案】点导火索的人是安全的．
【详解】试题分析：首先求得导火线燃烧的时间，然后求得人在这一时间内所能跑的路程，再根据点和圆的位置关系判断是否在安全地区．
试题解析：点导火索的人安全．
导火索燃烧的时间为：，
此时点导火索的人跑的路程为
因为130>120，所以点导火索的人安全．
点睛：此题考查了点与圆之间的位置关系.把实际问题抽象成数学问题进行解决：根据点和圆的位置关系和数量关系之间的联系作出判断.
18．【正确答案】（1）的值为．
（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤．
（1）代入可得出关于的方程，解之即可得出的值；
（2）代入，利用直接开平方法解一元二次方程，即可得出方程的实数根．
【详解】（1）解：将代入原方程，得：，
解得：，
的值为．
（2）解：时，原方程为，
，
，
，
解得：，，
该方程得实数根为，．
19．【正确答案】（1）如图所示见详解；（2）圆片的半径R为cm．
【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【详解】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，
∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm，
∴R2=82+（R-6）2，
解得：R=cm，
∴圆片的半径R为cm．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证；
（）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证；
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴都在的垂直平分线上，
∴．
21．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）设出解析式并利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案；
（3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表格中的数据可知，当时，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：在中，当时，，
∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为；
（3）解：在中，当时，，
∵，
∴在第一象限内，y随x增大而减小，
∴当时，，
∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为．
22．【正确答案】（1）6
（2）或
【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出值，再结合图形的性质和面积公式进行求解．
（1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积等于，列出关于的方程，进而求出值．
（2）根据的面积是该矩形面积的一半，设边上高的为，求出高，分别讨论点在下方或上方时，求解得到点的坐标．
【详解】（1）解：∵， 在反比例函数的图象上，
∴
解得，
∴， ，
∴；
（2）∵， ，
∴，
∵，
∴矩形面积，，
∴，
设中，边上高为，
∴，
解得，
点在下方时，
，则，
∴当时，，
∴点的坐标为，
点在上方时，
，，
∴当时，，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为或．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论；
（2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答；
（3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．

在和中，
∴，
∴，
∵切于点C，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．

当时，四边形为矩形．
又∵，
∴四边形为正方形．
∵，
∴，即
∴，
∴．
（3）解：如图3，连接，设，则，

∵四边形是菱形，
∴．则，
∵是的切线，即．
∴，即．
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
24．【正确答案】（1）6
（2）①1；②；③或
【分析】（1）连接OG，如图1，先由正方形的边长与已知线段求得半径OE，再由勾股定理求得DG，进而得AG；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，由三角形的中位线求得O′Q，进而由线段和差求得MH便可；
②由弧长公式求得∠PO′Q的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可；
③分两种情况：当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时；当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时．分别求出结果便可．
【详解】（1）连接OG，如图1，
∵正方形ABCD中，AB＝10，
∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，
∴DG，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，
故6；
（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，则∠QHC＝90°，
根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，
∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．
∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，
∵DE＝8，
∴，
∴O'H＝6，
∵CE＝2，DQ＝3，
∴O′E＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，
∴MH＝1，
即点M到BC的最短距离为1；
②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，
由题意得，的长为，
∴∠PO'R＝60°，
∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，
∴，
∵O'R＝PO'，
∴△O'RP是等边三角形，
∴，
∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；
③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，
∴O′G＝5﹣2＝3，
∴CN＝GE，
∴，
NE，
∵，
∴，
∴NH，
∴tan∠END；
当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF′⊥CD，
∴tan∠END，
综上，tan∠END．年龄/岁
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
托盘B与点O之间的距离
10
20
30
40
托盘B中砝码的总质量
60
30
20
15