吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷及参考答案

这是一份吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷及参考答案，共11页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，以下四个命题是错误的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为
A．B．C．D．
2．在等比数列中，，则
A．2B．3C．4D．8
3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
4．已知数列满足，，则
A．B．C．D．
5．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为
A．B．C．D．
6．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为
A．4B．3C．D．5
7．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，第二象限的点满足，且.若，且，则的离心率为
A．B．4C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
9．以下四个命题是错误的是
A．直线恒过定点(3,6)
B．若直线与互相垂直，则
C．已知直线与平行，则
D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为
10．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有
A．数列为等差数列B．数列为等比数列
C．D．
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，其中两点位于第一象限，下列说法正确的是
A．若，则的周长为18
B．若，则实数的值可以为
C．点到两条渐近线的距离之积为定值
D．若,的内切圆的半径分别为，则恒成立
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为 ．
13．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为 ．
14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则
．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知抛物线过点，且点A到其准线的距离为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线交于异于原点的P，Q两点，求的面积.
16．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若直线与曲线交于A，B两点，求.
17．如图，在四棱锥中，侧面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.
(1)取线段中点，连接，证明：;
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，.
(1)求的方程；
(2)求证：的值为定值；
(3)设，的中点分别为求证：直线过定点.
19．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，.
(1)求，的值；
(2)已知数列满足.
①求的前项和；
②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围.
2025-2026学年上学期期末考试
高二年级数学学科参考答案
单选题
多选题
填空题
12．【答案】或
13．【答案】
14．【答案】
解答题
15．(1)；(2).
（1）根据题意知过点，
所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4，
，
即，抛物线的方程为；……………………………………5分
（2）由得，，
设，，为直线与轴交点，
则，，
．
……………………………………13分
【答案】(1)(2)
（1）设，因为，满足，即，
即，整理得，所以曲线的轨迹方程为.
……………………………………8分
（2）圆心到直线的距离，所以.
……………………………………15分
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.
（1）在四棱锥中，取中点N，连接，
由为 的中点，且，，得，，
则四边形为平行四边形，所以，
而平面，不在平面内，所以平面.
……………………………………4分
取 的中点O，连接，
由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面.
由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
……………………………………9分
令，，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
平面的法向量为，
于是，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
……………………………………15分
18．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
（1）设椭圆的焦距为，则由题意得，解得.
所以，所以的方程为.
……………………………………4分
（2）由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时，
，（或，），此时.
若直线与直线的斜率都存在时，如图：
设直线的方程为，，，
由，得，
所以，.
所以
因为，将换成，得，
所以.
综上所述，的值为定值.
……………………………………11分
（3）由（2）得，，
因为是的中点，所以，
将换成，得，即
若直线的斜率存在，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点
若直线的斜率不存在，则，解得，
此时直线的方程为，直线也过定点.
综上，直线过定点.
……………………………………17分
19．【答案】(1)，；
①；②
（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以，
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以.
……………………………………4分
①所有不超过正整数的正整数有个，
其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，
所以，
……………………………………7分
所以
两式相减得
所以；
……………………………………10分
②由①可知，所以 ，
所以由 得 恒成立，
令 ，则 ，
所以可得 ；
当 时，即，
所以的最大值为，
故.
……………………………………17分1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
B
C
A
D
B
9
10
11
ACD
BCD
ACD