河北省邢台市重点高中2025-2026学年高二上学期第三次月考试题 数学（含答案）

这是一份河北省邢台市重点高中2025-2026学年高二上学期第三次月考试题 数学（含答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．D．
2．已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ）
A．或B．C．D．或
3．双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
5．已知为抛物线上一点，且点的纵坐标为，则当变化时点到焦点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆离心率为
B．面积的最大值为
C．的取值范围为
D．若，则的最大值为
10．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
11．已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（ ）
A．C的渐近线方程为B．C的离心率为
C．M到两渐近线的距离之积为D．
三、填空题
12．已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为
13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上一点满足，则点到x轴的距离是 .
14．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．已知双曲线：的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为1的直线且与双曲线交于，两点，求的面积．
16．已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线的方程；
17．过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点．
(1)若线段中点的横坐标为1，求的值；
(2)求的取值范围．
18．如图，四棱锥中，，．
(1)证明：平面；
(2)若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
(3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.
19．已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，求证：为定值；
(3)记为轨迹上顶点，过点作相互垂直的两条直线分别与轨迹相交于两点.设直线的斜率为且，若，求的值.
1．B
根据抛物线的方程求得焦点和准线，即得答案.
【详解】由题意知该抛物线的焦点为，
准线方程为，
故焦点到准线的距离为2．
故选：B．
2．A
讨论焦点所在坐标轴求出，进而确定求出离心率.
【详解】因为椭圆的焦距等于，所以，
若椭圆焦点在轴，则，解得，所以；
若椭圆焦点在轴，则，解得，所以.
所以其离心率为或，
故选：A.
3．C
根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】依题意，，
由为双曲线的焦点，得，
所以，故渐近线方程为.
故选：C
4．A
由圆与渐近线相切得到，进而求出离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
不妨取其中一条渐近线，即，
则，即，
∴.
故选：A.
5．B
求出点的坐标，利用抛物线的定义结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】将代入抛物线的方程得，即点，其中，
抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，点到焦点的距离的最小值为.
故选：B.
6．B
设中点为，根据得到，利用圆内直角三角形得到；又由直线与圆相交得到，从而得到关于的不等式，求解即可.
【详解】设中点为，则，因为，所以，
即，又，所以，
直线与圆交于两点，所以
所以，有，因为，所以
故选：B.
7．A
先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可.
【详解】取的中点的中点，连接.
因为，所以，且.
以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，得，所以点到平面的距离为.
故选：A.
8．C
首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】因为等轴双曲线的实轴长为，
则双曲线的半焦距，
所以双曲线方程为，则渐近线方程为，
则，所以，
由，即为的中点，又为的中点，
所以，则，，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：C
9．BC
根据椭圆方程可得离心率，知A错误；当为椭圆短轴端点，面积最大，知B正确；结合椭圆定义可将化为关于的二次函数，根据的范围可求得C正确；利用椭圆定义可知，由此可求得D错误.
【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距，
椭圆离心率，A错误；
对于B，设，则，
当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确；
对于C，由椭圆定义知：，
；
，，
当时，；当或时，；
的取值范围为，C正确；
对于D，由椭圆定义知：，
（当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号），

又，，即的最大值为，D错误.
故选：BC.
10．ABD
建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，直接利用向量法即可判断C选项；证明平面，即可判断D选项.
【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，即，
则，解得，即共面，
又为公共始点，因此,,,四点共面，A正确；
，则，，
因此与所成角的余弦值为，与所成角的大小为，B正确；
对于C，假设在线段上存在，可设 ，，
则，
由，得，由，得，
即与垂直和与垂直不能同时成立，因此与平面不垂直，C错误；
，则，，又，则，
又平面，平面，因此平面，
点到平面的距离即为点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，D正确.
故选：ABD
11．BCD
设，由条件可解出，进而可判断AB；利用点到直线的距离公式计算可判断C；由双曲线的定义及，可计算出，再通过向量的运算可判断D.
【详解】设，则，有，即，
则，又，
则，，，所以C的方程为，
故渐近线方程为，A错误；
，B正确；
因为，则，即，
所以点M到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；
由双曲线定义得．由，
得，
解得，则，
所以，D正确．
故选：BCD

12．
根据焦点弦长公式，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，，
所以，所以，，
所以，
所以直线的斜率为.
故答案为：
13．
设出的坐标，利用向量垂直的坐标表示结合点在双曲线上可求的纵坐标，从而可求点到x轴的距离.
【详解】由题设可得半焦距，故，
设，则，
因为，故即，
由得，故点到x轴的距离是，
故答案为：.
14．
结合椭圆的定义、圆的几何性质以及勾股定理列方程，化简求得椭圆的离心率.
【详解】连接，由于线段是圆的直径，所以，
设，所以，，
在直角三角形中，，①，
在直角三角形中，，整理得，代入①得：
，.
故答案为：
15．(1);
(2).
（1）利用渐近线方程和焦点坐标可求出值，从而可得双曲线方程；
（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式来求解三角形面积即可.
【详解】（1）由于双曲线：的渐近线方程为，
且一条渐近线的倾斜角的正切值为，所以，
又因为一个焦点坐标为，所以，
联立上两式解得：，
故双曲线的方程为；
（2）
设过点作斜率为1的直线的方程为：，
与双曲线联立，消元得：，
设，则
所以，
焦点到直线的距离为，
所以的面积为.
16．(1)
(2)或.
（1）设圆心坐标为，根据题意由求解；
（2）易得圆心C到直线的距离，再分直线斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】（1）解：设圆心坐标为，
则，
解得：，
圆的半径，
圆C的方程为：.
（2）为直角三角形，，
，
则圆心C到直线的距离；
当直线斜率不存在，即时，满足圆心C到直线的距离；
当直线斜率存在时，设，即，
，解得：，
，即；
综上所述：直线的方程为或.
17．(1)3；
(2).
（1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解.
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解.
【详解】（1）抛物线的焦点，设，
由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得，
所以.
（2）由直线过点，设直线的方程为，
由消去并整理得，
由，得，且，
则，
所以的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3).
（1）由题意可知，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，确定球心位置，然后利用线面角的坐标求法求解即可；
（3）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD和平面PBC的法向量，利用法向量数量积为0可得b的范围，进而求解.
【详解】（1）在平面ABCD中，因为，，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，所以外心为AC中点，
故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设，
又因为，所以，故，所以，
所以，又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，所以，，设平面PAD的一个法向量为，
于是令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，
所以，所以，所以
又因为，，且，
所以，所以或
当时，，
当时，，
故.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)或或
【详解】（1）由题有，化简得到，
即，所以动点的轨迹的方程为.
（2）设，
由，消得到，由，解得,
此时，
又，
则，
所以为定值.
（3）易知两条直线的斜率存在且不为，设，
设直线的方程为，则直线的方程为，
由，消得到，解得或
所以，同理可得，
又，
同理可得，
由题可得，整理得到，
即，解得或或，
又，所以的值或或.