山东省潍坊市2025~2026学年九年级上册期末考试数学试题【附解析】

这是一份山东省潍坊市2025~2026学年九年级上册期末考试数学试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．可能只有一个实数根
3．如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．图1是一个“不倒翁”，图2是它的主视图，，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是8，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
6．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着实验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据，，，的平均数是，方差是，则，，，的平均数是，方差是
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
8．如图，在Rt△ABC中，，于点D，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、单选题
9．如图，在中，按下列步骤作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；（2）以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；（3）分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，交与点P，且和交于点N，连接．下列说法正确的是（ ）
A．D为的中点B．
C．垂直平分D．
四、多选题
10．已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．关于的方程有两个不等的实数根
五、填空题
11．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
12．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：
则输出结果为 ．
13．如图，正六边形边长为2，若连接对角线，则的长为 ．
14．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是 ．
六、解答题
15．（1）计算：
（2）解方程：
①
②
16．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：

请根据所给信息，解答下列问题：
（1）_________，_________；
（2）通过计算补全频数分布直方图；
（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
17．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．

（1）求反比例函数的关系式与的值；
（2）根据图象直接写出不等式时的取值范围；
（3）若动点在轴上，求的最小值．
18．已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率．
19．景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段，
（1）求景点B到公路的最短距离（结果取整数）；
（2）景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）．
参考数据：取，取，取．
20．某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
21．如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．

（1）求证：平分；
（2）若点恰好是的中点，求扇形的面积；
（3）若的长为，求的半径长．
22．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长，经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
若记2017年度为第1年度，2018年度为第2年度，……，在直角坐标系中用点表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2017年度开始的年度纯收入变化趋势： ，，，以便估算甲农户2022年度的纯收入．
（1）能否选用函数进行模拟？请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明理由；
（3）甲农户准备在2022年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数解析式，预测甲农户2022年度的纯收入能否满足购买该农机设备的资金需求．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可．
【详解】解：取格点M，连接，，如图，
根据网格特点，B、C、M共线，
因为每个小正方形的边长均为1，
则由勾股定理得，
，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
故选C．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的图象与性质可得，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
，
∴方程根的判别式为，
方程有两个不相等的实数根．
故选A．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
【详解】解：、∵直径，
∴，故不符合题意；
、∵直径，
∴，故不符合题意；
、∵直径，
∴，
∴，故不符合题意；
、∵直径，
∴与不一定相等，符合题意；
故选．
4．【正确答案】B
【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得．
【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为，
故选B．
5．【正确答案】D
【分析】设的圆心为，连接，根据切线的性质，求出的度数，进而求出的度数，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：设的圆心为，连接，
∵，分别与所在圆相切于点A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为，
∴的长是；
故选D．
6．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，由的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，熟练掌握反比例函数的性质并能求出的坐标的表达式，再由此求出的表达式是解决此题的关键．
【详解】解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，
又点的横坐标为2，
，，坐标为．
由题图象知，，，
，
，
，
，2，3，，
，
．
故选．
7．【正确答案】ABD
【分析】本题考查抽样调查与普查，频率估计算概率，平均数与方差，事件分类，熟练掌握调查方式的选择原则，用频率估计算概率，平均数与方差的计算公式，根据事件发生的可能性对事伯分类是解题的关键．
根据调查方式的选择判定A；根据频率估计算概率判定B；根据平均与方差计算公式判定C；根据事件发生的可能性判定D．
【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项符合题意；
故选ABD．
8．【正确答案】BC
【分析】根据正切函数的定义即可一一判定．
【详解】解：，
，
，
，
，
在中，，故选项A、D不正确；
在中，，故选项B正确；
在中，，
，故选项C正确；
故选BC．
9．【正确答案】BCD
【分析】本题考查三角形中位线，垂直平分线和角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据作图步骤可得：垂直平分，平分，，据此逐个分析即可．
【详解】解：根据作图步骤可得：垂直平分，平分，，是中点，
当时，D为的中点，没有条件证明，故A选项错误，不合题意；
∵平分，，
∴垂直平分，是中点，故选项C正确，
∵是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，故选项B正确，
∵平分，
∴点到、距离相等，
∴，故选项D正确，
故选BCD．
10．【正确答案】BCD
【分析】根据函数与点的关系，一元二次方程根的判别式，不等式的性质，逐一计算判断即可．
【详解】∵抛物线（是常数，）经过点（-1，-1），，当时，与其对应的函数值，
∴c=1＞0，a-b+c= -1，4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2，2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，故A错误；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
，故B正确；
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
即，故C正确；
∵，
∴△==＞0，
∴有两个不等的实数根，故D正确．
故选BCD．
11．【正确答案】0
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴
.
12．【正确答案】10
【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，根据按键的顺序得出算式，然后再进行计算即可．
【详解】解：根据按键顺序可知：．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了正多边形及等腰三角形的性质，解直角三角形的计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
作，垂足为，根据正六边形可得，再由等腰三角形得到，，再解直角三角形即可．
【详解】解：作，垂足为．
∵正六边形，
，
，
，
，
．
14．【正确答案】/0.375
【分析】根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雄鸟有3种情况，所以概率为．
15．【正确答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再合并计算即可；
（2）①利用因式分解法求解；②利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
；
（2）①解：
或
解得：；
②解：
或
解得：．
16．【正确答案】（1）60，0.15
（2）60
（3）800人
【分析】（1）利用频率频数总数，进行计算即可得到答案；
（2）结合统计表中的数据，补全直方图即可；
（3）从表中找出“优”等的频率，再利用样本估计总体的方法进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
.
（2）解：根据统计表中的数据补全频数分布直方图，如图所示：
；
（3）解：从统计图表中可知：成绩为“优”等的频率为0.40，
（人），
该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优”等的大约有800人．
17．【正确答案】（1）反比例函数解析式为；；
（2）或；
（3）10
【分析】（1）本题将代入反比例函数中，即可解出，得到反比例函数的关系式，再将代入反比例函数解析式，即可解题．
（2）本题根据不等式的解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分，再结合，即可解题．
（3）本题利用将军饮马模型求线段和的最小值，作关于轴的对称点，连接，则的最小值．过作于，再利用勾股定理即可解题．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，解得．
所以反比例函数解析式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得；
（2）解：，
其解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分，
即轴左侧和，之间的图象，
，，
或；
（3）解：作关于轴的对称点，，
连接交轴于，则的最小值．
过作于．
因为，，
所以．

18．【正确答案】
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键．
根据列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
共有9种等可能结果，其中乘积为3的倍数有5种：，
∴抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为．
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点B作于E，设，分别解直角三角形求出的长，再根据建立方程求解即可
（2）过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形，则可得的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解；如图所示，过点B作于E，设，
在中，，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：景点B到公路的最短距离为；
（2）解：如图所示，过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：景点D到公路的最短距离为．
20．【正确答案】（1）当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
（2）按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元
【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；
（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可．
【详解】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元
（2）解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）2或
【分析】（1）连接，由切线可得，可得，进而得到，由可得，因此，以此即可证明；
（2）连接、、，易得，根据直角三角形的性质的，因此为等边三角形，则，根据平行线的性质得，于是可证明为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可；
（3）连接，过点作于点，则四边形为矩形，根据垂径定理可得，设的半径为，则，，，易证，根据相似三角形的性质可得出方程，求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接、、，如图，
，是的中点，
，
在中，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
（3）解：连接，过点作于点，如图，

则，四边形为矩形，
，
设的半径为，则，，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得或，
的半径长为或，
22．【正确答案】（1）不能，理由见详解
（2）选用，理由见详解
（3）能满足
【分析】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用．
（1）计算后判断即可；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2022年即第6年度的纯收入y万元，然后比较可得结论．
【详解】（1）解：不能选用函数进行模拟，理由如下：
∵，
∴，
即的乘积不确定，
∴不能选用函数进行模拟；
（2）解：选用，理由如下，
由（1）可知不能选用函数，
由可知，
x每增大1个单位，y的变化不均匀，
∴不能选用函数，
故只能选用函数模拟；
（3）解：把代入，
得：，
解得：，
∴，
当年度为2022即时，，
∵，
∴甲农户2022年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
成绩/分
频数
频率
10
0.05
20
0.10
30
0.30
80
0.40
年度
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）