山东省德州市六校2025~2026学年上册第二次月考联考九年级数学试题【附解析】

这是一份山东省德州市六校2025~2026学年上册第二次月考联考九年级数学试题【附解析】，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个圆既是轴对称图形又是中心对称图形是必然事件
B．在单词（数学）中任选一个字母，选中字母为“a”是不可能事件
C．从2，3，4这三个数中，任意抽取两个数，积为偶数是随机事件
D．随意翻到一本数学书的某页，这页的页码是奇数是不可能事件
2．如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ）
A．1.5B．4.5C．7.5D．10.5
4．如图，圆锥体的高，底面半径，则圆锥体的侧面积为（ ）．
A．B．C．D．
5．点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则的值为（ ）
A．6B．C．D．
6．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断与相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的关系是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
11．如图，反比例函数的图象上有一点，经过点作轴的垂线，交轴于点，连接．若，则 ．
12．生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑域的面积为 ．
13．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ．
14．看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ．
15．如下图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为…．弧、弧、弧、弧…的圆心依次按点、、、循环，则弧的长是 （结果保留）
三、解答题
16．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：．音乐社团；．体育社团；．美术社团；．文学社团；．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了__________名学生，参加“美术社团”的学生有__________名；（要求在条形图上方注明人数）
（2）扇形统计图中圆心角__________度，扇形统计图中所占百分比为__________；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
17．如图，点为线段上一点，满足，，．
（1）求长度；
（2）求证：．
18．如图，在中，，点O在斜边上，以O为圆心，的长为半径的圆交于点D，交于点E，为的切线．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径的长．
19．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．

（1）求的值；
（2）当时，求与的函数关系式；
（3）当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？
20．如图，已知是圆的直径，，与圆相切于点，
（1）求证：是的角平分线；
（2）若点是弧的中点，连接，若，，求线段的长．
21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．
（1）求函数和的表达式；
（2）若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标．
22．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G．
（1）证明：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）若，在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．
23．在中，，E是上的一点，过点E作于点D．
（1）如图1，求证：．
（2）连接，平分，G是上的一点，与交于点F，，．
①如图2，当时，求的值．
②如图3，当F为的中点时，求的值．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查事件的分类．在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件；必然不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生也有可能不发生的事件叫随机事件，据此可得答案．
【详解】解：A、任意画一个圆既是轴对称图形又是中心对称图形是必然事件，原说法正确，符合题意；
B、在单词（数学）中任选一个字母，选中字母为“a”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
C、从2，3，4这三个数中，任意抽取两个数，积为偶数是必然事件，原说法错误，不符合题意；
D、随意翻到一本数学书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，原说法错误，不符合题意；
故选A．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．由与相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出与四边形的面积比，即可解答．
【详解】解：∵，且相似比为，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．先根据平行线分线段成比例可得，则可得的长，再根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
【详解】解：圆锥的母线长是，
底面周长是，
则圆锥体的侧面积是：．
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，利用反比例函数图象上点的坐标特征，建立方程求解即可．
【详解】解：∵点和点是同一个反比例函数图象上的两点，
∴，
解得，
∴，
∴；
故选D．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，结合相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：．∵，，∴，故该选项不符合题意；
．∵，，∴，故该选项不符合题意；
．∵∴，∴，故该选项不符合题意；
．∵，而与不一定相等，不能使和相似，故该选项符合题意；
故选D．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
，
点，在第二象限，
，
，
在第四象限，
，
、、的大小关系是，
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【详解】解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故选B．
9．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可．
【详解】解：设点，可得，，
∵，
，，
轴，，
∴轴，
∴，
∴，
∵，四边形的面积为8，
∴，解得：．
故选D．
10．【正确答案】C
【分析】连接，由直角三角形斜边中线的性质可得，即可判断①；证出是的垂直平分线，即可判断，即可判断②；根据题意得到，，在中，即可判断，即可判断③；根据题意证出是的垂直平分线，然后得到为等腰直角三角形，再由勾股定理求解的长度，即可判断④；先证出，，则，即可判断⑤．
【详解】解：如图所示，连接．
∵，分别为的中点，
∴，
∴、、、四点共圆，故①正确；
∵N是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴．故②正确；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，
，
∴．故③正确；
∵在，
，
∵，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，即
∴（舍负），故④错误；
∵，
，
，
，
∴，
∵
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
∴正确的有4个，
故选C．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键．设点的坐标为，则，，根据点在反比例函数的图象上，得到，再结合求解即可．
【详解】解：设点的坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白域的频率稳定在左右
则
∴点落入黑色部分的频率稳定在左右，
据此可以估计黑色部分的面积为
13．【正确答案】或
【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值．
【详解】解：由题意知，，，
，，
当时，，
，解得：；
当时，，
，解得.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A的概率利用列举法求概率，列出田忌所有可能的出场顺序，找出其中赢比赛的情况，计算概率．
【详解】解：齐王的三匹马出场顺序固定为10，8，6；
田忌的三匹马为5，7，9，所有可能的出场顺序共有6种：
；
其中只有出场顺序为时，田忌赢第二场和第三场，从而赢得比赛；
因此田忌能赢得比赛的概率为；
故答案为．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了弧长公式，正确规律类推出一般规律是解题关键.先分别求出弧、弧、弧的半径，再归纳出一般规律，然后利用弧长公式计算即可得．
【详解】解：由题意得：弧的半径，
弧的半径，
弧的半径，
归纳类推得：弧的半径(为正整数)，
则弧的长为．
16．【正确答案】（1），，补全条形统计见详解
（2），
（3）图见详解，恰好选中甲、乙两名同学的概率为
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
()用类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去四个类型社团的人数得到类型社团的人数，即可补全条形统计图；
()用乘以类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数，用类型社团的人数除以总人数占比即可求出；
()先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：(人)，
类型社团的人数为(人)，补全条形统计图如图，
（2）解：，
所占百分比为.
（3）解：画树状图如下：
∵共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
17．【正确答案】（1）4
（2）见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，证明，则，即，计算求解即可；
（2）由勾股定理得，，，由， ，可证结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长度为4；
（2）证明：∵
∴由勾股定理得，，，
∴，
∵， ，
∴．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）⊙O的半径为
【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等得到，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）通过证明求得线段的长，连接，由圆周角定理可得，可知，易证，可得，求得，根据勾股定理得，进而可求的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，

∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∴．
∴的半径为．
19．【正确答案】（1）6
（2）
（3）8min
【分析】（1）依据题意，将代入可以得解；
（2）由（1）得坐标，再设反比例函数解析式，从而将代入反比例函数解析式可以得解；
（3）依据题意，令，结合函数的性质可得有效时间．
【详解】（1）解：由题意，，即为，．
（2）解：由（1）可得．
设熏蒸完后函数的关系式为：，
．
熏蒸完后函数的关系式为：．
（3）解：药物浓度不低于，
当时，，
当时，，
有效时长为，
答：有效杀灭病毒的时间持续．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】此题考查了切线的判定、圆的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键．
() 连接，利用切线性质、平行线判定得出，根据等腰三角形性质及平行线的性质推导；
()连接求出，证明，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，
∵与圆相切点，
∴(切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径)，
∵，即，
∴(垂直于同一直线的两条直线平行)，
∴
又∵ (同圆的半径相等)
∴，
∴，
即：是的角平分线；
（2）如图，连接．
∵点是弧的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1），
（2）或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：；
（2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，
得；
∴反比例函数的解析式为：，
将点分别代入一次函数的解析式，
得，
，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，
设，
由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：．
，
，
令，，
，
∴，
∵，
∴，
即，
解得或，
∴点C的坐标为或．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）4
（3）
【分析】（1）如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线；
（2）连接，过点作于，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到；
（3）先解直角三角形求出，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，过点作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）①；②
【分析】（1）根据题意可证，由此即可求证；
（2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得，可证，由此即可求解； ②根据平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点C作，与延长线交于点H，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴
又，
∴，
∴，
即；
（2）解：①∵在中，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
②∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则，
由（1）知，，
则，
∵，
∴，
解得，
过点C作，与延长线交于点H，如图，
则，
∴，
又点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9