北京市文汇中学2025~2026学年上册期末统练（12月月考）九年级数学试题【附解析】

这是一份北京市文汇中学2025~2026学年上册期末统练（12月月考）九年级数学试题【附解析】，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（ ）
A．B．C．D．
3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ）
A．2或-2B．2C．-2D．
4．如图，是的外接圆，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知P是外一点，用直尺和圆规过点P作的切线．以下是甲、乙两人的作法：
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙的作法都正确B．甲、乙的作法都错误
C．甲的作法错误，乙的作法正确D．甲的作法正确，乙的作法错误
8．抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列三个结论：
①若，则；
②方程一定有两个不相等的实数解；
③若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
10．某班学生做抛掷图钉的实验，实验结果如下：
根据以上信息．估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为 （精确到0.01）
11．已知正六边形的边心距为，则它的半径为 .
12．如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ．
13．已知二次函数中的x和y满足下表：
根据图表中信息推断，方程的根为 ．
14．如图所示，在等腰直角中，，点为斜边上一点，将绕点逆时针旋转得到，则为 ．
15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．
16．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：
（1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件 个；
（2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工 套产品．
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的；
（3）求线段旋转到线段扫过的图形面积．
20．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径．
21．中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖和小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读．
（1）小华选取到《九章算术》是 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）；
（2）小颖恰好选取到《几何原本》的概率为 ；
（3）将2本《九章算术》、1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用表示，请用列表或画树状图的方法，求小颖和小华都选取到中国数学著作的概率．
22．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
23．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？
24．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BE＝5，BF＝12，求CD的长．
25．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水呈抛物线形状，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为，测量得到如表数值：
小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，画出函数的图象，并求出该函数的解析式；
（2）结合函数图象填空：出水口距地面的高度为______m，水达到最高点时与池中心的水平距离为______m；
（3）水柱落地点与池中心的距离为______m，为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整出水口的高度，其他条件不变，出水口至少需要降低______m．
26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）用含有a的式子表示b，并求抛物线的对称轴；
（2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求a的取值范围．
27．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数；
（2）当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．对于点C和给定的，给出如下定义：若上存在点B，使点C绕点B旋转的对应点A在上，此时是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C为的“等直顶点”．若O是坐标原点，的半径为2．
（1）在点，，，中，可以作为的“等直顶点”的是______；
（2）若点P为的“等直顶点”，且点P在直线上，直接写出点P的横坐标的取值范围；
（3）设的圆心C在x轴上，半径为2，若直线上存在点D，使得半径为1的上存在点P是的“等直顶点”，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
（4）直线分别和两坐标轴交于E，F两点，若线段上的所有点均为的“等直顶点”，直接写出的半径的最小值．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的概念，掌握概念是解题的关键．
轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，中心对称图形指的是一个图形绕着中心点旋转后能与自身重合的图形；按照概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2．【正确答案】B
【分析】找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．
【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1，0），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（1，-4），
∴平移后抛物线的解析式为y=（x-1）2-4．
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】由题意可知，将代入方程，求解即可．
【详解】解：由题意可知：，即
将代入方程得，解得
∴
故选C
4．【正确答案】C
【分析】由证明再利用三角形的内角和定理求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】解：



故选C
5．【正确答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选A．
6．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键．
设平均每天的票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得．
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定，直径所对的圆周角等于90度，等边三角形的判定与性质．甲：连接、，求得，即可证明、是的切线；乙：连接，不能证明是的切线．
【详解】解：甲：连接、，
由作图知，是直径，
∴，
又∵、是的半径，
∴、是的切线；
∴甲的作法正确；
乙：连接，
由作图知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
若是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定是的切线，
∴乙的作法不正确；
故选D．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根的判别式判断②③．
【详解】解：的对称轴为直线，
，
，
抛物线经过，
，即，，
若，则，
，①正确．
，
，
方程中，
时，方程有两个相同实数解，②错误．
，
，
，
与异号，
，
抛物线与轴有2个不同交点，③正确．
故选C．
9．【正确答案】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为．
10．【正确答案】0.39
【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近，
所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.39.
11．【正确答案】
【分析】本题主要考查正多边形的计算问题，解直角三角形，设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据三角函数即可求得．
【详解】解：如图，过作与，
，，
，
在中，，，
.
12．【正确答案】10
【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
根据的周长为：，结合，，，代换计算即可．
【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，，
，，，
的周长为：
，
．
13．【正确答案】或5
【分析】求出抛物线的对称轴为，当时，，根据函数的对称性，时，，即可求解．
【详解】解：由点和点知，抛物线的对称轴为，
当时，，即是的根，
根据函数的对称性，时，，
故方程的根为或5.
14．【正确答案】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键．
由等腰直角中得到，由旋转的性质得到，，，，因此，根据勾股定理在中求出，进而在
在中求出．
【详解】解：∵在等腰直角中，，
∴，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为，半径为2的弧的和，据此即可求解．
【详解】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是．
16．【正确答案】24；106
【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；
（2）由于A、B零件要配套，则A、B零件的数量都要多；然后发现甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件24个，甲在B生产线连续工作3天最能加工B零件21个；乙在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B零件个；则每3天甲、乙轮流生产可使A、B零件的数量，最后两天甲产A零件18件，乙生产B零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．
【详解】解：（1）由题意可得：甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件的个数为：
（个）
故答案为24．
（2）∵一个A零件、一个B零件组成一套产品，
∴ 14天A、B两种零件同时产出数量最多
∵甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件24个，甲在B生产线连续工作3天最能加工B零件21个；乙在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B零件个
∴每3天甲、乙轮流生产可使A、B零件的数量，最后两天甲产A零件18件，乙生产B零件16件
∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106．
故答案为106．
17．【正确答案】，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，先移项，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
移项，得，
因式分解，得，
即，
解得：，．
18．【正确答案】（1） ;（2） 此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）;（3） x＜﹣3或x＞0.
【分析】（1）把B（1，0），C（0，﹣3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可；
（2）令y1=0，得到x2+2x﹣3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）观察图象可得当x＜﹣3或x＞0，抛物线都在直线的上方，即y2＜y1．
【详解】解：（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，
得，
解这个方程组，得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，
解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；
（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）线段旋转到线段扫过的图形面积为．
【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称、扇形面积公式．
（1）根据中心对称的性质找到对应点，作图即可；
（2）根据旋转的性质找到对应点，依次连接作图，即可得出答案；
（3）先求得，，再利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：如图所示；
（3）解：，，
∴线段旋转到线段扫过的图形面积为．
20．【正确答案】该圆形工件的半径．
【分析】此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可．
【详解】解：圆心落在上，平分，
线段垂直平分线段，
、、三点所在圆的圆心在上，
，
连接，则，
设的半径为，
，
，
，
解得：，
该圆形工件的半径．
21．【正确答案】（1）随机事件
（2）
（3）
【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，以及概率公式的应用，
（1）根据随机事件的含义可得答案；
（2）根据题意共有4中可能得结果，满足题意得只有1种，利用概率公式求解即可；
（3）利用列表法将所有可能得结果列出，找到满足题意得6种结果，结合概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，小华选取到《九章算术》是随机事件；
（2）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《几何原本》的结果有1种，则．小颖恰好选取《几何原本》的概率为；
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有6种，则小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论；
（2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【详解】（1）证明：由得，
，
∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴．
∴．
∴m的最小值为．
23．【正确答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：装裱后左右两边的边宽分别是．
24．【正确答案】（1）见详解；（2）．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质和等边对等角得到∠EAB＝∠EBA，结合⊙O的切线得出OA⊥AF，从而得出AF是⊙O的切线；
（2）先根据勾股定理求得EF的长，再根据切线的性质得出EB＝EA＝5，即可求得AF的长，然后根据切割线定理求得FC，进而得出BC的长，根据E是BD的中点，得出BD的长，最后根据勾股定理即可求得CD的长．
【详解】解：（1）连接AB，OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵DB是⊙O的切线，
∴DB⊥BC，
∴∠DBO＝90°，
在RT△ABD中，E是斜边BD的中线，
∴AE＝DE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠EAB+∠OAB＝∠EBA+∠OBA
∴∠EAO＝∠DBO＝90°，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵在RT△BEF中，BE＝5，BF＝12，
∴EF＝＝13，
∵FA、DB是⊙O的切线，
∴EA＝EB＝5，
∴AF＝EF+EA＝13+5＝18，
∵AF2＝FB•FC，
∴FC＝
∴BC＝FC﹣FB＝27﹣12＝15，
∵E是BD的中点，
∴BD＝2BE＝10，
在RT△DBC中，．
25．【正确答案】（1）见详解；
（2）3；1
（3）；
【分析】（1）先描点、然后再用待定系数法求函数解析式即可解答；掌握待定系数法是解答本题的关键；
（2）求出的函数值即可出水口距地面的高度，再根据顶点坐标即可确定水达到最高点时与地面的距离以及与池中心的水平距离，掌握二次函数图象上各点的意义是解答本题的关键；
（3）先求出时自变量的取值，即可水柱落地点与池中心的距离；再求出时得函数值，即可确定出水口至少需要降低的高度．
【详解】（1）解：先描点、再连线得到函数图象如图：

由表中数据可知，和时，相等，
则抛物线的顶点坐标为，
设该函数的解析式为，
把代入解析式可得，，
解得，
所以该函数的解析式为．
（2）解：∵当时，，
∴出水口距地面的高度为，
∵抛物线顶点坐标为
∴水达到最高点时与地面的距离为，此时与池中心的水平距离为.
（3）解：∵当时，，
解得（舍），，
∴水柱落地点与池中心的距离为，
当时，，
∴出水口至少需要降低.
26．【正确答案】（1）；对称轴
（2）①6；②或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数值的计算与线段的长度，二次函数的最值，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）将点和点代入抛物线方程即可得a与b的关系，再由求解对称轴即可；
（2）①根据，，可将点M与点N的坐标求解出来，再求解长度即可；
②先将点M与点N的坐标表示出来，再表示的长，根据二次函数的对称轴求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，即，
可得；
∴对称轴；
（2）解：①若，，
则点，抛物线为，直线，
∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M，
∴当时，，即点，
∵过点作x轴的垂线，交直线于点N，
∴当时，，即点，
∴的长度为；
②∵，，
∴抛物线为，
∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M，
∴当时，，即点，
∵过点作x轴的垂线，交直线于点N，
∴当时，，即点，
∴，
∴对称轴为，如图，
∵点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，由图象得
∴或，
即或，
∴或．
27．【正确答案】（1），见详解；
（2），理由见详解，见详解．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系．
（1）当点D与点B重合时，是等腰三角形，等边对等角， 可求的度数，可求的度数．
（2）在的延长线上截取连接，以点B为圆心为半径作弧，交于点N，连接， 证明可得即可得到和的等量关系．
【详解】（1）解：补全图形见图：
∵点与点重合， ，
∴，
在中， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：补全图形如图：
，理由如下：
如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在等腰中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
28．【正确答案】（1）和．
（2）或
（3）
（4）
【分析】（1）先假设点B是定点，论证此时“等直顶点”需满足的条件，再根据圆的对称性，把结论推广到一般情况．使用得出的结论，逐一判断每个点是否符合“等直顶点”的条件；
（2）分为点P可以在第一象限或者第三象限两种情况讨论，根据（1）中的结论，计算出点P的横坐标的取值范围；
（3）分为圆心C在非负半轴或者负半轴两种情况讨论，使用（1）中的结论，并结合线段的性质，计算出圆心C的横坐标的取值范围；
（4）设点P是线段上的任意一点，将（1）的结论推广到任意半径，算出点P到圆心O的距离的取值范围．当最小，且此时点P是所有“等直顶点”中最远的点时，最小，计算出此时的半径即可．
【详解】（1）解：先论证的“等直顶点”需满足的条件，
如图，假设点 B坐标为，点A在y轴左侧，设点A坐标为，的半径为r，
过点B作x轴的平行线，分别过点A、C作的垂线，垂足为E、F，连接，，
由题意可知，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点 B坐标为，点A坐标为，
∴，，
∴点C的坐标为，
由勾股定理可得，，，
设，则，
∵，
∴，
化简得，，
将该方程看作关于b的一元二次方程，则其判别式，
∴，
化简得，，
结合二次函数的图象可知，，
当时，，即；
当时，，即；
∴，即；
当点A和点B在圆周上运动时，由于圆的对称性，上述结论依然成立．
综上所述，若点C是的“等直顶点”，则需满足：．
根据结论来判断题干中的点，
对于点， ，故点不是的“等直顶点”；
对于点，，满足，故点是的“等直顶点”；
对于点，，故点不是的“等直顶点”；
对于点，，满足，故点是的“等直顶点”.
（2）解：由（1）可知，点P为的“等直顶点”，需满足．
①当点P在第一象限时，
∵点P在直线上，
∴，
由勾股定理可知，，
∴，
解得，；
①当点P在第三象限时，
同理，此时，
∴，
解得，；
综上所述，点P的横坐标的取值范围为或．
（3）解：①当点C在y轴右侧或与y轴重合时，由（1）可知，点P需满足，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，
∵直线是一三象限的角平分线所在的直线，
∴，
∵垂直直线，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
∵，
又∵，，
∴，
∵，
∴，即，当点D与点E重合，且D、P、C三点共线时取等，
当时，由于点D在直线上运动，则必然存在点，满足，故满足题意；
②当点C在y轴左侧时，
同理可得，需满足；
综上所述，圆心C的横坐标的取值范围为．
（4）解：如图，作，垂足为，点为线段任意一点，
将，代入直线，得，
∴点坐标为，，
将，代入直线，得，解得，
∴点坐标为，，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∵点在线段上，
∴，即，
由（1）可知，点P为的“等直顶点”，需满足．
当时，
，
解得，；
当时，
，
解得，；
两个不等式的公共部分为，
综上所述，的半径的取值范围为．
∴的半径的最小值为．甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于A，B两点．
②连接，，，就是的切线．
乙：①如图2，连接，交于点A．以点A为圆心，为半径画弧，交于点B．
②连接，就是的切线．
抛掷次数n
400
500
600
700
800
900
1000
钉尖着地的频数m
158
193
231
274
311
352
389
钉尖着地的频率
0.3950
0.3860
0.3850
0.3914
0.3888
0.3911
0.3890
x
…
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
0
1
2
3
3
3
B
C
B
C